Шпора по аналитической геометрии / ag-2-[ш 1-1].doc

пр_ua=|a|cosϕ; cos²α+cos²β+cos²γ=1; <a,b>=|a||b|cosϕ=|a|пр_ab; cosϕ=<a,b>/(|a||b|) =ϕ (x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂)/√((x₁²+y₁²+z₁²)(x₂²+y₂²+z₂²)). [a,b]=-[b,a]; |[a,b]|=S; a={X1,Y1,Z1}, b={X2,Y2,Z2}⇒[a,b]=dit|i,j,k; X1,Y1,Z1; X2,Y2,Z2| (a,b,c)=<[a,b],c>=<a,[b,c]>=V_abc(a,b,c-правая)=-V(левая). (a,b,c) = dit|X1,Y1,Z1; X2,Y2,Z2; X3,Y3,Z3|.

y=kx+b, k=tgα; Ax+By+C=0⇒k=-(A/B). y-y₀=k(x-x₀) - проходит через M₀(x₀,y₀) и имеет коэф-т k. Если M1 и M2 ∈ l, то k=(y2-y1)/(x2-x1), l: (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1); tgϕ=(k2-k1)/(1+k1k2). l₁||l₂⇒k1=k2; l₁⊥l₂⇒k1k2=-1. μ=±1/√(A²+B²) - нормирующ. множ-ль (sgn(μ)=-sgn(C)).

Эллипс. x²/a²+y²/b²=1; b=√(a²-c²); F(±c,0); ε=c/a; r_1,2=a±εx - фокальные радиусы F₁M и F₂M, M(x,y); дир-сы: ±a/ε. r/d=ε, r-фок-й радиус, d-расстояние от точки э-са до односторонней с этим фокусом д-сы.

Гип-ла. x²/a²-y²/b²=1; b=√(c²-a²); асимптоты: y=±(b/a)x; ε=(c/a); Фок-е радиусы прав. ветви: r_1,2=εx±a, лев. ветви: r₁=-εx-a, r₂=-εx+a; x=±a/ε - дир-сы. r/d=ε.

П-ла. y²=2px; x=-(p/2)-дир-са; r=x+(p/2)-фок-й радиус.

Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0. S(x0,y0) -центр⇔ (Ax0+By0+D=0)∧(Bx0+Cy0+E=0) (2). δ=dit|A,B; B,C| - дискр-нт старших членой ур-я (2). Если δ≠0 ⇒ ∃!решение: x0=dit|B,D; C,E|/ dit|A,B; B,C|, y0=dit|D,A; E,B|/dit|A,B; B,C|. Если S(x0,y0) -центр, то при x=x(~)+x0, y=y(~)+y0 ур-е линии принимает вид: Ax²(~)+2Bx(~)y(~)+Cy²(~)+F(~)=0, F(~)=Dx0+Ey0+F. F(~)=Δ/δ, где Δ=dit|A,B,D; B,C,E; D,E,F|. Если δ=0 и Δ=0, то центров ∞, если δ=0 и Δ≠0, то центров нет.

Ур-е (2): Ax²(~)+2Bx(~)y(~)+Cy²(~)+F(~)=0 (δ≠0). (x(~)=x`cosα-y`cosα)∧(y(~)=x`sinα+y`cosα) - поворот осей на α. Если α такой, что коэф-т при x`y` равен 0 (Btg²α-(C-A)tgα-B=0), то в новых коорд-х ур-е примет вид: A`x`²+C`y`²+F(~)=0, (A`C`=AC-B²)∧(A`+C`=A+C) . Если δ>0 - эл-й тип, δ<0 - ги-й, δ=0 - параб-й.