Лекции по линейной алгебре (2 семестр) / ЛА(л) 2 семестр - (до ФНП).doc

Лекции по линейной алгебре.

2 семестр.

Лекция №1:

№1.Переход к новому базису линейного пространства:

Пусть имеется два базиса

(e1,e2,…,en) B

(e'1,e'2,…,e'n) B'

пусть координаты произвольного вектора в старом базисе (В) X=, в новом (В') X'=

=x1e1+x2e2+…+xnen=BX

=x'1e'1+x'2e'2+…+x'ne'n=B'X' BX=B'X'

Опр.1:Матрицей перехода от базиса В к базису В' наз. матрица TBB', столбцами которой являются координаты новых базисных векторов в старом базисе, т. е.

e'1=t11e1+t21e2+…+tn1en

…………………….

e'n=t1ne1+t2ne2+…+tnnen

TBB'=

эта матрица не вырожденная - определитель не равен нулю, т. е. векторы нового базиса линейно независимы.

Т1: X=TX'

BX=B'X' BX=(BT)X'=B(TX') X=TX'

B'=BT

(e'1,e'2,…,e'n)= (e1,e2,…,en)

№2:Евклидово пространство:

Опр.2:Евклидовым пространством наз. подпространство линейного пространства, для которого выполнены требования:

-имеется правило, по которому двум произвольным векторам Евклидово пространства ставится в соответствие число, которое наз. скалярным произведением и обозначается:

для любого x,y прин. En (x,y)

-это правило удовлетворяет четырём аксиомам:

1: (x,y)=(y,x)

2: (x1+x2,y)=(x1,y)+(x2,y)

3: (x,y)= (x,y)
4: (x,x) 0 и (x,x)=0 x=0

Пример: рассмотрим линейное пространство функций, непрерывных на [a;b] (C[a,b])

Данное пространство является бесконечномерным.

Скалярное произведение на этом пространстве определяется как

для любого f(x),g(x) сущ. C[a,b]

(f(x),g(x))=

Норма вектора: II f(x)II= =

Т2: (Неравенство Коши - Бунековского ) скалярное произведение двух векторов En всегда ,чем произведение норм этих векторов.

для любого x,y прин.En (x,y) IIxII IIyII

для любого прин. R

(x+ y, x+ y)= +2(x,y)+

D==

I(x,y)I IIxII IIyII (x,y) IIxII IIyII

Следствие1:

-11

Отсюда корректно вводить понятие угла между векторами:

Cos(x^,y)=

Лекция №2:

№1:Норма вектора. Ортогональность.

Следствие1из теоремы Коши - Бунековского (неравенство треугольника):

IIxII+IIyII IIx+yII

IIx+yII= =

IIxII+IIyII

Т1:(Линейная независимость ортогональной системы векторов): Пусть e1,e2,…,en - ортогональная система ненулевых векторов, тогда e1,e2,…,en - линейно

независима.

Пусть e1,e2,…,en линейно зависимы, тогда хотя бы один из них будет выражаться в виде линейной комбинации остальных:

например, e1= 2e2+…+ nen

2e2 e1=0 nen e1=0

получили противоречие.

Опр.1:Базис e1, e2 ,…, en наз. ортонормированным,

если все векторы базиса попарно ортогональны и

норма каждого вектора равна единице.

Ортогонализация системы векторов (процедура Шмидта):

пусть имеется система не ортогональных векторов

b1, b2 ,…, bn , на базе этих векторов построим

систему ортогональных векторов:

e1= b1

e2= b2-( b2 e1) e1/

e3= b3 -( b3e1) e1/ -( b3 e2) e2/

en= bn -( bn e1) e1/-( bn e2) e2/ -…-( bn en-1) en-1/

Пример: ортогонализировать систему векторов

=(1,0,0)

=(1,1,0)

=(1,1,1)

Решение:

e1=(1,0,0)

e2=(1,1,0)-1*(1,0,0)/1=(0,1,0)

e3=(1,1,1)-1*(1,0,0)/1-1*(0,1,0)/1=(0,0,1)

e1 e3=0

e2 e3=0

e2 e1=0

№2 Линейные операторы:

Опр.1:Оператор, действующий на линейном пространстве Ln, наз. линейным, если:

(1): для любого x,y прин. Ln a(x+y)= ax+ ay

(2): прин. R a (x)= a(x) , где a- оператор.

Замечание: Оператор есть отображение линейного пространства Ln Lm (с помощью a ),

при котором для любого x прин. Ln y= ax прин. Lm

Примеры лин. операторов:

(1) Оператор дифференцирования

(2) Оператор проектирования геометрических

векторов на плоскость.

Матрица оператора:

Пусть в пространстве Ln задан базис e1, e2 ,…, en,

в пространстве Lm _ g1, g2 ,…, gm и есть лин. оператор,

который преображает Ln в Lm. (с помощью a)

Опр. 2:Матрицей оператора наз. матрица,

столбцами, которой являются координаты образов базисных векторов e1, e2 ,…, en в базисе g1, g2,…, gm.

Образы лежат в Lm.

Образ базисного вектора:

a e1=a11 g1+ a21 g2+…+am1 gm

…………………………..

a en=a1n g1+ a2n g2+…+amn gm

A=

Т. 2. Пусть - произвольный вектор Ln,

a - лин. оператор, действующий из Ln в Lm

с матрицей A, тогда образ вектора (y= ax)

имеет координаты, которые вычисляются по

формуле

=

a e1=a11 g1+ a21 g2+…+am1 gm

…………………………..

aen=a1n g1+ a2n g2+…+amn gm

A=

y-образ

y= ax = a(x1e1+…+xnen)= = =

=(a11x1+…+a1nxn)g1 +…+(am1x1+…+amnxn)gm

y1=(a11x1+…+a1nxn)

…………………

yn=(am1x1+…+amnxn)

=

Лекция №3.

№ 1. Действия над линейными операторами:

пусть даны два лин. оператора a и b,

с матрицами соответственно A ; B.

Опр. 1. Суммой операторов наз. оператор a+b ,

такой , что действие которого на произвольный

вектор дает ax+bx:

a+b (a+b)x=ax+bx

Опр. 2: Оператором наз. оператор , действие которого на вектор равносильно произведению на образ ax.

*x(ax)

опр. 3: Композицией операторов a,b,c наз. оператор, действие которого равносильно воздействию a(b(cx)).

abc a(b(cx)).

В определениях 1-3 матрицы операторов удовлетворяет равенство :

(удовлетворять усл. пр-я матриц).

Т. 1 :Операторы в опр. 1-3 также явл. линейными.

a линейный оператор.

(a+b)(x+y)=a(x+y)+b(x+y)=ax+ay+bx+by=

=(a+b)x+(a+b)y

Аналогично в Опр. 2 и Опр. 3.

Пусть в базисе e1, e2 ,…, en матрица оператора a

имеет вид A.

т.к. базисов в пр-ве Ln бесконечно много, то возникает задача об изменении матрицы оператора при переходе к новому базису.

Т. 2 : Пусть в базисе B: e1, e2 ,…, en a имеет матрицу A , а в базисе B': e'1,e'2,…,e'n a имеет матрицу A' , тогда связь между матрицами

A'= B-B' AT B-B'

Y'=Y=AX=ATX'

Y'=A'X'

A'=AT

Следствие : detA'=detdetAdetT=(1/detT)*detAdetT=detA

Определитель матрицы не меняется при переходе к новому базису.

№ 2. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора:

Опр. 4:Подпространство линейного пространства наз. инвариантным для лин. оператора a , если для любых

x прин. L'n образ опять лежит в этом подпространстве.

L'n включает Ln x прин. L'n ax прин. L'n

Пример: пусть - оператор поворота вектора вокруг заданной оси на заданный угол, тогда множество всех векторов , параллельных этой оси явл. инвариантом для оператора поворота.

Рассмотрим одномерное инвариантное для оператора а , наз. подпространством собственных векторов лин. пространства, пространство.

Опр.5:Ненулевой вектор линейного пространства наз. собственным вектором линейного оператора, если действие на него оператора переводит этот вектор в коллинеарный.

x прин. Ln ,x< >0

ax= x , прин. R

При этом число наз. собственным числом линейного оператора.

Нахождение собственных чисел и собственных векторов линейного оператора.

AX= X AX- EX=0

(A- E)X=0 (2)

т.к. x< >0, то |A- E|=0 (1)

|a11- a12…….a1n |

|……..a22- …a2n | =0

|an1…………ann- |

В Ln имеем уравнение n-ой степени , относительно (наз. характеристическим уравнением).

Для нахождения собственных векторов найденные подставить в выражение (2).

Лекция №4.

№1:нахождение собственных чисел и собственных векторов.

Пример: Найти собственные числа и векторы:

a A=

Решение:

|A- E|=0

|2- 2 -1 |

|-1 -3- 0 | =0

| 2 4 -1-|

1=-2

2=-1

3=1

Первое собственное число 1 =-2, найдем собственный вектор:

AX'-1EX'=0

(A-1E)X'=0-однородная система.

=0

r=2

x3=c

x2=-c/2

x1=c/2

Проверка: =-2*

Аналогичным образом находим собственные векторы, отвечающие 2 и 3.

Для 2

Для 3

Данные собственные векторы линейно независимы, образуют базис трёхмерного пространства L3 . В этом базисе матрица имеет вид:

A'==

№2:Сопряжённые операторы.

Рассмотрим подпространство линейного пространства. Евклидово пространство - это подпространство , на котором определена операция скалярного произведения векторов , подчиняющаяся четырём аксиомам(см. 1 семестр).

Опр.1: Оператор a* наз. сопряжённым оператору a,если для любых векторов , лин . пространства имеет место равенство:

(a ,)=( ,a*) (1)

Т1: Если a и a* сопряжённые операторы , то A*=

Имеем (1). aAXY=Y

a*A*YA*Y

Y-A*Y=0

(-A*)Y=0

Поскольку и произвольные векторы (не обязательно нулевые) ,то

-A*=0

=A*

Опр.2: Оператор a наз. самосопряженным , если имеет место равенство:

Для любого x,y прин. En (ax,y)=(x,ay)

Свойства самосопряженного оператора:

(1): Все собственные числа оператора обязательно действительны.

(2): Собственные векторы ,отвечающие различным собственным значениям самосопряженного оператора ортогональны.

Пусть и - два собственных значения ()

Собственному числу отвечает собственный вектор X, собственному числу отвечает собственный вектор Y.

Скалярное произведение: XY=0

aX=X

aY=Y

(aX,Y)=(X,aY)

(X,Y)-(X, Y)=0

(X,Y)- (X,Y)=0

(X,Y)( -)=0 (X,Y)=0

Для обычного линейного оператора аналогом этой теоремы явл. теорема : Собственные векторы линейного оператора , отвечающие разным , линейно независимы.

Пусть a - линейный оператор, которому отвечают 1, 2,… n собств. чисел, тогда докажем, что собственные векторы ,…, линейно независимы.

Пусть 1,…, k линейно зависимы, тогда сущ. нетрив.=0

11+ 2 2+…+ nn=

Подействуем линейным оператором на эту линейную комбинацию:

a( 11+ 22+…+ kk)=0

1a 1+ 2a 2+…+ ka k=0

111+ 22 2+…+ kk k=0

1k1+ 2k 2+…+ kk k=0

(1)-(2): 11+2 2+…+ k-1 k-1=0

Имеем линейную комбинацию, в которой k-1 слагаемых. Повторяем предыдущий алгоритм и получаем линейную комбинацию, где k-2 слагаемых. В итоге получим нетривиальную линейную комбинацию:

P11=0

Противоречие!!!

Т3: Самосопряженный оператор всегда имеет базис из собственных векторов.

Обычный оператор не всегда имеет базис из собственных векторов.

Лекция № 5.

№1: Линейные операторы и самосопряженные линейные операторы.

Т. 1:Если собственное число лин. оператора a имеет кратность S , то ему отвечает не более чем S лин. незав. собственных векторов.

Пусть собственному числу отвечает k лин. нез. собственных векторов

,,…, C

Дополним эти векторы до базиса векторами

ek+1,…,en в пространстве .

Матрица оператора a в этом базисе имеет вид:

A=

k-строк. k-столбиков

Для матрицы A составим характеристическое уравнение.

| 0- 0 … 0 | …….. |

| 0 0- …….| …….. |

| ….. 0 ..0- | …….. | =0

| 0 …. 0……..0 | …….. |

| 0 ….. 0 …….0 | ……. |

*P()=0 (*)

Т.к. по условию теоремы кратность корня =S, то из уравнения (*) вытекает, что ( если P()=0 , то

k<S , а если , то k=S ) .

Т. 2: Для самосопряженных операторов собственному числу с кратностью S соответствуют ровно S лин. нез. собственных векторов.

Таким образом, для самосопряженного оператора всегда сущ. ортогональный базис из собственных векторов, действительно разным отвечают ортогональные собственные векторы. Если кратность =S ,ему отвечают ровно S лин. нез. собственных векторов, которые можно ортогонализировать.

В целом получится ровно n ортогональных собственных векторов и именно они задают ортогональный базис.

Опр. 1: Лин. оператор наз. изоморфизмом, если он является соответствием взаимооднозначным.

Для изоморфизма существует обратный оператор.

y=ax x=y

a-изоморфизм.

Т. 3: Оператор, имеющий собственное число =0 не является изоморфизмом.

Пусть =0 , тогда характеристическое уравнение

| A-E | = 0 |A|=0

сущ. не сущ.

К свойствам самосопряженного оператора относится т. 2 (лекция 5), опр. 2 (лекции 4), собственные числа всегда действительны.

4. Сумма двух самосопряженных операторов явл. самосопр. оператором

a- с.с. оператор

b- с.с. оператор.

((a+b)x,y)=(ax+bx,y)=(ax,y)+(bx,y)=

(x,ay)+(x,by)=(x,(a+b)y)

5.Если a и b с.с. операторы, то композиция операторов явл. с.с. только в одном случае:

ab-с.с.оператор <=> ab=ba

6.Обратный оператор также явл. с.с.

Ортогональные матрицы и ортогональные операторы.

Опр. 2: Матрица A наз. ортогональной, если

=E

Свойства ортогональных матриц:

1. = =E

2. =|1| det detA =1=> =1=>

=> =|1|

det= detA

3. Матрица также явл. ортогональной.

4. Ортогональные матрицы и только они служат матрицами перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному.

e1,e2,…,en -ортонормированный базис e'1,e'2,…,e'n -ортонормированный базис.

T=

e1' e2' …. en'

=

(a11……an1)= e1'

……………..

(a1n……ann)= en'

e1' e1'=1 e2' e2'=1 ….. en' en'=1

T=

Опр.4: Оператор a, действующий в евклидовом пр-ве наз. ортогональным, если

(x,y)=(ax,ay)

Скалярное пр-ние образов= скалярному пр-нию прообразов.

Свойства ортогонального оператора:

1.Ортогональный оператор сохраняет матрицу пр-ва (углы между векторами и нормы).