Шпора по МатАн'у (1 семестр) / Shpargalka_1.doc

Осн. понятия

Грани числовых мн-в

Числовые последовательности

Непр. ф-ции на пр-ке

Сходящиеся и расходящиеся посл-ти

Св-ва сходящихся посл-тей

Теорема «Об единственности пределов»

Теорема «Сходящаяся посл-ть ограничена»

Теорема «О сходимости монотон. посл-ти»

Экспонента или число е

Ф-ции одной переменной

Обратные ф-ции

Предел ф-ции в точке

Свойства предела ф-ции в точке

Односторонние пределы ф-ции в т-ке:

Предел ф-ции в т-ке

Предел и непрерывность функции

Предел. Односторонний предел.

Пределы ф-ции на бесконечности

Два замечательных предела

Б/м ф-ции и их сравнения

Непрерывные ф-ции. Непрерывность.

1. Осн. понятия

Мат.модель - любой набор кр-ний; неравенств и иных мат. Соотношений, которая в совокупности описывает интересующий нас объект.

Мн-во вещест. чисел разбивается: на рационал. и иррац. Рац. - число, которое можно представить в виде p/q где p и q - цел. числа. Иррац. - всякое вещественное число, которое не явл. рационал.

Любое вещ. число можно представить в виде бесконеч. десят. Дроби а, а1,а2…аn… где а -люб. число, а а1, а2 … аn числа, приним. целые знач.

Некоторые числовые множества.

Мн-ва - первичное понятие, на уровне здравого смысла, его не возможно точно определить.

Для описания мн-в единая символика, а именно, если в мн-во А входят только эл. х, которые обладают некоторым св-вом S(x), то тогда мн-во А описывается А={х вып-ся усл S(x)}.

Подмн-ва - если А и В 2 мн-ва и все эл-ты мн-ва А сод-ся в В, то А наз-ся подмн-вом В, А В, если в В сод-ся эл-ты отличные от эл-тов мн-ва А, то В строго шире А, то А наз-ся собственным подмн-вом В. А⊂В. А=В- мн-ва совпадают.

Операции с мн-воми А В={х!х принадл. либо А, либо В} - обьединение мн-в А и В.

А∩ В={хх∈А и х∈В} пересечение мн-в А и В.

А\ В={хх∈А, но х∉В}дополн. к м-ву В во мн-ве А

Числовые мн-ва

R,N,Z,Q - стандартные обозначения мн-в на числ. прямой. (а,в)= {ха<х<в} - интервал из R (открытый промежуток, т.к. не содержит границ)

[а,в] - замкнутый промежуток сод. гранич. т-ки.

(а,в] - полуинтервал.

Окрестностью т-ки х наз-ся любой интервал содержащий т-ку х, необязательно симметричную.

2. Грани числовых мн-в

Пусть Х - непустое мн-во веществ. чисел.

Мн-во Х назся огран. сверху(снизу), если сущ-ет число с такое, что для любого х Х вып-ся неравенство с≥х(х≥с). Число с наз-ся верхн.(нижн.) гранью мн-ва Х. Мн-во, огран. сверху и снизу наз-ся ограниченым

Если мн-во имеет 1 верхнюю грань то она имеет их бесчисленное мн-во.

Пример X=R+ - ограничено снизу, но не сверху, значит не ограничено.

Точные грани числовых мн-в

Пусть мн-во Х ограничено сверху, если это мн-во содержит макс число, т.е. наименьшую из своих верхних граней, то это число назся макс мн-ва Х и обозначается Х*=maxX. Если мн-во содержит мин число Х_* , то оно min мн-ва Х

Пример Х=[0,1) то max[0,1) не ∃. min [0,1)=0

Число Х* наз-ся точной верхн. гранью, мн-ва Х, если во-первых оно явл. верхн. гранью этого мн-ва, а во-вторых при сколь угодном уменьшении Х* получ. число перестает быть верх. гранью мн-ва.

Верхн. грань - supX=x*, а нижн. грань infX=x_*

Теорема. Любое непустое ограниченное сверху (снизу) числ. мн-во имеет точную верх(ниж) грань.

Таким образом у огран. мн-ва обе грани ∃, док-во основано на непрерывности мн-ва действит. чисел.

3. Числовые последовательности

Если для каждого нат. числа n определено некоторое правило сопоставляющее ему число xn, то мн-во чисел х1,х2, … ,хn, … наз-ся числовой последовательностью и обозначается {xn}, причем числа образующие данную посл-ть наз-ся ее эл-ми, а эл-т хn общим эл-том посл-ти .

!Порядок следования эл-тов оч. важен, перестановка хотя бы 2-х эл-тов приводит к др. посл-ти.

Основные способы задан. посл-ти:

а) явный, когда предъявляется ф-ла позволяющая по заданному n вычислить любой эл-т n, т.е. xn=f(n), где f- некоторая ф-ция нат. эл-та.

б) неявный, при котором задается некоторое рекуррентное отношение и несколько первых членов посл-ти.

Пример:

а) xn=5n x1=5, x2=10

б) x1=-2 xn=4n-1 -3, n=2,3… х2=-11, х3=-47

Ограниченные последовательности(ОП)

Посл-ть {xn} наз-ся огран. сверху(снизу), если найдется какое-нибудь число {xn} M(m) xn≤M ∀n (xn≥m ∀n) посл-ть наз-ся огранич., если она огранич. сверху и снизу.

Посл-ть {xn} наз-ся неогранич., если для любого полного числа А сущ-ет эл-т хn этой посл-ти, удовлетворяющий неравенству xn>А.

4. Сходящиеся и расходящиеся посл-ти

Большое внимание уд-ся выяснению вопроса: обладает ли данная посл-ть сл-щим св-вом (сходимости) при неогранич. Возрастании номеров посл-ти эл-ты посл-ти сколь угодно близко приближаются к некоторому числу а или же этого св-ва нет.

Опр Если для любого ε >0 найдется такой номер N, для любого n >N:xn-a< ε

Все посл-ти имеющие предел наз-ся сходящимися, а не имеющее его наз-ся расходящимися.

Связь сходящихся посл-тей и б/м.

Дает сл. теорему

Теорема Для того чтобы посл-ть xn имела пределом число а необходимо, чтобы эл-ты этой посл-ти можно было представить в виде xn=a+αn, где посл-ть {αn}→0, т.е. является б/м.

Док-во

а) Допустим, что xn→a и укажем посл-ть αn удовл. равенству xn=a+αn. Для этого просто положим αn=xn-a, тогда при n→∞xn-a равно растоянию от xn до а → 0 => αn б/м и из равенства преобразования определяю αn получаем xn=a+αn.

Свойство б/м

Если {xn},{yn}- любые посл-ти, то их сумма {xn+yn}, это есть пос-ть с общим членом xn+yn. Аналогично с разностью, частным и умножением.

Т-ма о св-вах б/м

а) {xn}и{yn}-б/м пос-ти, б/м

1) их сумма, разность и произведение являются б/м

2) Произведение любой огранич. посл-ти на б/м являются б/м

!О частном не говорят, т.е. частное б/м может не быть б/м.

Посл-ть {xn} явл. б/б, если для любого числа с>0 сущ-ет номер N для всех номеров n>N xn>c.

!Понятие б/б не совпадает с неограниченной: посл-ть может быть неогранич., но не является б/б.

Пример 1,1/2,3,1/4,5,1/6,7… явл. неогранич., т.е. принимает сколь угодно большие по модулю значения, однако в ней имеются эл-ты со сколь угодно большими номерами принимающие дробные знач. и сколь угодно малые по модулю.

Св-ва сходящихся посл-тей

Теорема «Об единственности пределов»

Если посл-ть xn сходится, то она имеет единственный предел.

Док-во (от противного)

{xn} имеет два разл. Предела a и b, а≠b. Тогда согласно определению пределов любая из окрестностей т. а содержит все эл-ты посл-ти xn за исключением конечного числа и аналогичным св-вом обладает любая окрестность в точке b. Возьмем два радиуса ε= (b-a)/2, т.к. эти окрестности не пересекаются, то одновременно они не могут содержать все эл-ты начиная с некоторого номера. Получим противоречие теор. док-на.

Теорема «Сходящаяся посл-ть ограничена»

Пусть посл-ть {xn}→а ε >о N:∀n>Nxn-a<ε эквивалентна а-ε<xn<a+ε ∀n>N => что каждый из членов посл-ти удовлетворяет неравенствуxn≤ c = max {a-ε,a+ε,xn,…,xn-1}

Теорема «Об арифметических дейсьвиях»

Пусть посл-ть {xn}→a,{yn}→b тогда арифметические операции с этими посл-тями приводят к посл-тям также имеющие пределы, причем:

а) предел lim(n→∞)(xn±yn)=a±b

б) предел lim(n→∞)(xn∗yn)=a∗b

в) предел lim(n→∞)(xn/yn)=a/b, b≠0

Док-во:

а)xn±yn=(а+αn)±(b+βn)=(a±b)+(αn±βn) Правая часть полученная в разности представляет сумму числа a+b б/м посл-тью, поэтому стоящая в левой части xn+yn имеет предел равный a±b. Аналогично др. св-ва.

б) xn∗yn=(а+αn)∗(b+βn)=ab+αnb+aβn+αnβn

αn∗b - это произведение const на б/м

а∗βn→0, αnβn→0, как произведение б/м.

=> поэтому в правой части стоит сумма числа а∗b+ б/м посл-ть. По т-ме О связи сходящихся посл-тей в б/м посл-ти в правой части xn∗yn сводится к a∗b

Практический вывод состоит в том, что нахожд. пределов посл-тей заданных сл. выражениями можно сводить к более простым задачам вычисления lim от составляющих этого выр-ния

Посл-ть {xn} наз-ся возр., если x1<…<xn<xn+1<…;

неубывающей, если x1≤x2≤…≤xn≤xn+1≤…; убывающей, если x1>x2>…>xn>xn+1>…; невозр., если x1≥x2≥…≥xn≥xn+1≥…

Все такие посл-ти наз-ся монотонными. Возр. и убыв. наз-ся строго монотонными

Монотонные посл-ти ограничены с одной стороны, по крайней мере. Неубывающие ограничены снизу, например 1 членом, а не возрастыющие ограничены сверху.

Теорема «О сходимости монотон. посл-ти»

Всякая монотонная посл-ть явл-ся сходящейся, т.е. имеет пределы.

Док-во Пусть посл-ть {xn} монотонно возр. и ограничена сверху. X - все мн-во чисел которое принимает эл-т этой посл-ти согласно усл. Теоремы это мн-во огранич., поэтому по соотв. Теореме оно имеет конечную точную верх. грань supX xn→supX (обозначим supX через х*). Т.к. х* точная верх. грань, то xn≤x* ∀ n. ∀ ε >0 вып-ся нер-во ∃ xm(пусть m- это n с крышкой):xm>x*-ε при ∀ n>m => из указанных 2-х неравенств получаем второе неравенство x*-ε≤xn≤x*+ε при n>m эквивалентно xn-x*<ε при n>m. Это означает, что x* явл. пределом посл-ти.

6. Экспонента или число е

Р-рим числ. посл-ть с общим членом xn=(1+1/n)^n (в степени n)(1) . Оказывается, что посл-ть (1) монотонно возр-ет, ограничена сверху и сл-но явл-ся сходящейся, предел этой пос-ти наз-ся экспонентой и обозначается символом е≈2,7128…

Док-ть сходимость посл-ти (1)

Для док-ва введем вспом-ю ф-цию y=(1+x)^1/x, x>0 Ясно что при знач. x=1,1/2,1/3,…,1/n,… значение ф-ции y совпадает с соответствующими эл-ми (1).

Док-м что ф-ция у монотонно убывает и огран. сверху => монотонное возр. посл-ти (1) и ограниченность ее сверх. Поскольку lg x явл-ся монотонно возр., но монотонное убыв. ф-ции у и ее огранич. сверху эквивалентны том, что ф-ция lgy, которая равняется 1/хlg(1+x) (2) имеет те же самые св-ва, т.е. 0<x1<x2, то тогда 1/x1∗lg(1+x1)>1/x2∗ ∗lg(1+x2) (3). Огранич. сверху ∃ M:1/xlg(1+x)≤lgM ∀x>0 (4). Возьмем любую лин. ф-цию вида y=kx которая превосходит lg(1+x) при всех x>0.

tgα1=(lg(1+x1))/x1 α1>α2=>tgα1>tgα2

tgα2=(lg(1+x2))/x2

Поскольку α1>α2, то tgα1>tgα2, а это равносильно равенству (3). Поскольку y>lg(1+x) ∀x>0 => kx>

>lg(1+x) ∀x>0

Принимая во внимания ф-ции у с пос-ть xn приходим к нужному утверждению. Число е явл-ся неизбежным спутником динамических процессов: почти всегда показатели изменяющиеся во времени характеризующие такие процессы зависят от времени через экспонициальную ф-цию y=e^x и ее модификации.

Пр-р: если ставка сл-ных % равна r и инвестор положил в банк первоначальный вклад равный Р причем % начисляются m раз в год (r- годовая ставка) тогда через n- лет наращенная сумма нач-ся по ф-ле сл. % при m кратном их начислению.

Sn=P(1+r/m)^mn (5) Предположим теперь % нач-ся непрерывным образом, т.е. число периодов нач-ния неограничено ув-ся. Мат-ки это соотв-ет тому, что выражение (5) надо р-равать, как общий член посл-ти Xm, а непрерывному нач-нию соот-ет наращенная ф-ция lim(n→∞)P(1+r/m)^mn=Pe^rn

Lg(e)x имеет спец. Обозначение lnx.

Принцип вложенных отрезков

Пусть на числовой прямой задана посл-ть отрезков [a1,b1],[a2,b2],…,[an,bn],…

Причем эти отрезки удовл-ют сл. усл.:

1) каждый посл-щий вложен в предыдущий, т.е. [an+1,bn+1]⊂[an,bn], ∀n=1,2,…;

2) Длины отрезков →0 с ростом n, т.е. lim(n→∞)(bn-an)=0. Посл-ть с указанными св-вами наз-ют вложенными.

Теорема Любая посл-ть вложенных отрезков содержит единную т-ку с принадлежащую всем отрезкам посл-ти одновременно, с общая точка всех отрезков к которой они стягиваются.

Док-во {an}-посл-ть левых концов отрезков явл. монотонно не убывающей и ограниченной сверху числом b1.

{bn}-посл-ть правых концов монотонно не возрастающей, поэтому эти посл-ти явл. сходящимися, т.е. сущ-ют числа с1=lim(n→∞)an и с2=lim(n→∞)bn => c1=c2 => c - их общее значение. Действительно имеет предел lim(n→∞)(bn-an)= lim(n→∞)(bn)- lim(n→∞)(an) в силу условия 2) o= lim(n→∞)(bn-an)=с2-с1=> с1=с2=с

Ясно что т. с общая для всех отрезков, поскольку ∀n an≤c≤bn. Теперь докажем что она одна.

Допустим что ∃ другая с` к которой стягиваются все отрезки. Если взять любые не пересекающиеся отрезки с и с`, то с одной стороны весь «хвост» посл-тей {an},{bn} должен нах-ся в окрестностях т-ки с``(т.к. an и bn сходятся к с и с` одновременно). Противоречие док-ет т-му.

Принцип вложенных отрезков

Т-ма. Любая пос-ть вложенных отрезков содержит единств. т-ку с∈всем отрезкам посл-ти одновременно, к которой они стягиваются.

Док-во. {an} пос-ть левых концов явл. монотонно неубыв. И огран. свеху числом b1; посл-ть правых концов {bn} монотонно не возр. и ограничена снизу а1, поэтому эти посл-ти сходящ., т.е. ∃ числа c1=lim(n→∞)an и c2=lim(n→∞)bn.

Докажем что с1=с2 и сл-но их общая знач. может обозначить через с. Действ. имеется предел lim(n→∞)(bn-an)= lim(n→∞)bn→ lim(n→∞)an=c2-c1=c ясно что с общая для всех отрезков поскольку для ∀ n an≤c≤bn. Осталось доказать единство данной т-ки (от противного). Допустим есть c`≠c к которой стягиваются все отрезки. Если взять любые пределы окр. точек с и с`, то с одной стороны весь «хвост» {an}, {bn}, должен нах-ся в окрестности т-ки с, а др. в с`, т.к. an и bn→ c и c` одновр. Противореч. док-ет т-му.

7.Ф-ции одной переменной

Если задано правило по которому каждому значению перем. Величины х из мн-ва Х ставится соответствие 1 значению перем. У то в этом случае говорят, что задана ф-ция 1-й переменной.

Y=f(x); x -аргумент независ. перемен., y- зав. пер.

X=Df=D(f) y={y;y=f(x),x∈X} x1∈X1, y1=f(x1)

1) аналит. способ; 2)Табличный способ;

3) Графический способ;

4)Min и max ф-ции: ф-ция f(x) ограничена, если огран. ее мн-во знач У, т.е. ∃ m,M: m≤f(x)≤M ∀x∈X

m≤f(x) ∀x∈X => огр. сн.; f(x)≤M, ∀x∈X=> огр. св.

Обратные ф-ции

Если задано правило по которому каждому значению y∈Y ставится в соответствие → ед. знач. х, причем y=f(x), то в этом случае говорят, что на мн-ве Y определена ф-ция обратная ф-ции f(x) и обозначают такую ф-цию x=f^-1(y).

Предел ф-ции в точке

y=f(x) X

опр. ∀ {xn} ⊂X, xn→x0

f(xn)→A,=> f(x) в т. x0 (при , xn→x0) предел = А

А=lim(x→x0)f(x) или f(x)→A при x→x0

Т-ка x0 может ∈ и ∉ мн-ву Х.

Свойства предела ф-ции в точке

1) Если предел в т-ке сущ-ет, то он единственный

2) Если в тке х0 предел ф-ции f(x) lim(x→x0)f(x)=A

lim(x→x0)g(x)≤B=> то тогда в этой т-ке ∃ предел суммы, разности, произведения и частного. Отделение этих 2-х ф-ций.

а) lim(x→x0)(f(x)±g(x))=A±B

б) lim(x→x0)(f(x)∗g(x))=A∗B

в) lim(x→x0)(f(x):g(x))=A/B

г) lim(x→x0)C=C

д) lim(x→x0)C∗f(x)=C∗A

Док-во xn→x0, ∃ lim(x→x0)f(x)=A по опр. f(xn)→A {f(xn)}

Односторонние пределы ф-ции в т-ке:

Опр. А - предел ф-ции f(x) справа от точки х0, если f(x)→A при х→х0, и x>x0

Формально это означает, что для любой посл-ти {xn}→x0, вып-ся условие xn>x0, f(x)→A. Обозначим f(x0+0) и f(x0+) lim(x→x0+0)f(x)→

И также с минусами.

Признак ∃ предела

Т-ма Для того чтобы f(x) имела предел в т-ке х0 необх., тогда в этой т-ке ф-ция f имеет совпадающ. Между собой одностор. предел (f(x0+)=f(x0-) (1), которые равны пределу ф-ции.

Док-во. f(x) имеет в т-ке х0 предел А, тогда f(x)→A независимо от того приближается ли х к х0 по значению больше х0 или меньше это означает равенство (1)

Предел ф-ции в т-ке

Число А наз-ся пределом ф-ции в т-ке х0 если ∀ε>0 найдется такое число В>0, для всех х отличных от х0 и (х-х0)<0 должно f(x)-A<ε

∀ ε >0 из х-х0<δ должно быть

Пусть f(x)-x0<ε, если δ=ε, то х-х0<δ => f(x)-x0<ε

Свойства пределов. Непрерывность ф-ции.

Ф-ция f(x) непрерывна в т-ке х0 если предельное значение в этой т-ке равно самому знач. в этой точке.

Предел и непрерывность функции

Пусть ф-ция f(x) определена на некотором пр-ке Х* и пусть точка х0∈Х или х0∉Х.

Опр. Число А наз-ся пределом ф-ции f(x) в точке х=х0, если для ∀ ε>0 ∃ δ>0 такое, что для всех х∈Х, х≠х0, удовлетвор. неравенству х-х0<ε, выполняется неравенство f(x)-A<ε.

Пример Используя определение, док-ть что ф-ция f(x)=C(C-некоторое число) в точке х=х0(х0-любое число) имеет предел, равный С, т.е. lim (x→x0)C=C