Шпора по МатАн'у (2 семестр) / Shpargalka/1-4.doc

1.

Определённым интегралом от ф-ии f(x) на отрезке (a; b) называется предел интегральной суммы Sn, когда n→∞ (Δxi→0)

Аддитивность:

Линейность:

Оценка модуля:

Cв-ва опр. интеграла:

(все интегралы на отрезке от А до В)

1 ∫C·f(x)dx=C·∫f(x)dx

2 ∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx

3 ∫-f(x)dx=-∫f(x)dx

4 Если f(x)≤g(x) на (A,B), то ∫f(x)dx≤∫g(x)dx

5 Если на (А,В) m=minf(x) M=maxf(x)то

m(B-A)≤∫f(x)dx≤M(B-A)

6 Если f(x) непрерывна на (A,B) то сущ. также точка

С∈(A;B) ∫f(x)dx=f(C)·(B-A)

7 Если f(x) непрерывна на (А,В) то ∫f(x)dx существует

8 ∫f(x)dx=∫(a→d)f(x)dx+∫(d→b)f(x)dx

9 Формула Ньютона-Лейбница:

∫f(x)dx=F(B)-F(A)→F`(x)=f(x)

Неоднородные системы ЛДУ:

Теорема: Общее решение неоднородной системы dx/dt = A(t)x+g(t) есть сумма общего решения, соответствующей ей однородной системы dx/dt=A(t)x (g(t)*0) и частного решения неоднородной системы dx/dt = A(t)x+g(t): x(t) = x^*(t)+, где x^*(t) - частное решение неоднородной системы, g(t) - вектор-функция, A(t) - квадратная матрица, называемая матрицей систему ОДУ.

x_k(t) - ФСР соответствующей однородной системы dx/dt=A(t)x; C_k - некоторые постоянные коэффициенты.

Док-во: x(t) = x^*(t)+ является решением неоднородной системы dx/dt = A(t)x+g(t). Если x(t) какое-либо решение неоднородной системы dx/dt = A(t)x+g(t), то, согласно теореме (1), x(t)-x^*(t) - решение однородной системы dx/dt=A(t)x, которое можно представить в виде x(t)=. Эта формула определяет структуру общего решения неоднородной системы dx/dt = A(t)x+g(t) как совокупность всех частных решений этой системы.

Теорема(1): Разность любых двух решений неоднородной системы ОДУ есть решение однородной системы.

2.

Первообразная:

Функция F называется первообразной функции f на промежутке *, если F дифф-ма на * и в каждой точке этого промежутка производная фун-ции F равна зн-нию фун-ции f. F*(x)=f(x), x∈*

Св-во: Пусть F₁(x) и F₂(x) - две первообразные ф-ции для f(x) на (a,b), тогда разности этих ф-ций постоянна.

Док-во: Ф(x)=F₁(x)-F₂(x); Ф(x) - диф-ма на (a,b); Ф*(x) = F₁*(x)-F₂*(x)=f(x) - f(x)*0 на (a,b), следовательно Ф(x)=const (след. из теор. Лагранжа)

Однородные и неоднородные системы ЛДУ 1-ого порядка:

Нормальной системой линейных обыкновенных ДУ (ОДУ) называют норамальную систему ОДУ вида: (1): , где x_i(t) - неизвестная ф-ция, a_ij(t) и g_i(t) - известные ф-ции аргумента t*Т. Перепишем (1) в виде (2): dx/dt=A(t)*x+g(t), если g(t)*0 в Т, то (3): dx/dt=A(t)*x.

Систему (3) называют нормальной однородной системой линейных ОДУ, соответствующей системе (2). При g(t) не равно 0 в Т, система линейных ОДУ будет неоднородной.

Теорема (1): Линейная комбинация решений однородной системы (3) также является решением этой системы.

Док-во: Пусть x1(t), x2(t) - решение системы (3), т.е. dx1/dt=A(t)x1, dx2/dt=A(t)x2. Рассмотрим линейную комбинацию этих решений: x(t)=*x1(t)+*x2(t), *,**R. Имеем dx/dt=*dx1/dt+*dx2/dt=*A(t)x1+*A(t)x2=A(t)(*x1(t)+*x2(t)), т.е. *x1(t)+*x2(t) также является решением системы (3).

Теорема (2): Разность любых двух решений неоднородной системы ОДУ (2) есть решение однородной системы (3).

Док-во: Пусть x1(t), x2(t) - решение системы (3), т.е. dx1/dt=A(t)x1+g(t), dx2/dt=A(t)x2+g(t). Вычтем из первого равенства второе и получим: d(x1(t)-x2(t))/dt=A(t)(x1(t)-x2(t)), т.е. x1(t)-x2(t) - решение однородной системы (3). Аналогично можно доказать и теорему (3).

Теорема (3): Сумма решения неоднородной системы (2) и решения соответствующей ей однородной системы (3) есть решение неоднородной системы (2).

Теорема (4): Если x1(t) и x2(t) - решения нормальных систем линейных ОДУ соответственно dx1/dt=A(t)x1+g(t), dx2/dt=A(t)x2+f(t), то x(t)=x1(t)+x2(t) является решением нормальной системы ЛОДУ dx/dt=A(t)x+g(t)+f(t).

Док-во: dx/dt=dx1/dt+dx2/dt=A(t)x1+g(t)+A(t)x2+f(t)=A(t)(x1+x2)+g(t)+f(t)=A(t)x+g(t)+f(t), что доказывает утверждение теоремы.

3.

Определённым интегралом от ф-ии f(x) на отрезке (a; b) называется предел интегральной суммы Sn, когда n→∞ (Δxi→0)

Аддитивность:

Линейность:

Теорема об оценке модуля:

Док-во: Если f(x) непрерывна, след. |f(x)| - непр. на [a,b], след |f(x)| интегрируема на [a,b].

-|f(x)|*f(x)*|f(x)|, для любых x*[a,b]; -*|f(x)|dx**f(x)dx**|f(x)|dx; |*f(x)dx|**|f(x)|dx

Cв-ва опр. интеграла:

(все интегралы на отрезке от А до В)

1 ∫C·f(x)dx=C·∫f(x)dx

2 ∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx

3 ∫-f(x)dx=-∫f(x)dx

4 Если f(x)≤g(x) на (A,B), то ∫f(x)dx≤∫g(x)dx

5 Если на (А,В) m=minf(x) M=maxf(x)то m(B-

-A)≤∫f(x)dx≤M(B-A)

6 Если f(x) непрерывна на (A,B) то сущ. также точка

С∈(A;B) ∫f(x)dx=f(C)·(B-A)

7 Если f(x) непрерывна на (А,В) то ∫f(x)dx существует

8 ∫f(x)dx=∫(a→d)f(x)dx+∫(d→b)f(x)dx

9 Формула Ньютона-Лейбница:

∫f(x)dx=F(B)-F(A)→F`(x)=f(x)

Теорема: Если вектор - функции x_k(t)=(x_1k(t),…,x_nk(t))^T определенные в промежутке Т числовой прямой R образуют в нем ФСР однородной системы ЛОДУ (3): dx/dt=A(t)*x, то общее решение этой системы имеет вид (1): x(t)= c некоторыми постоянными коэф-ми C_k.

Док-во: Рассмотрим частное решение x(t) системы (3), удовлетворяющее при t₀*T условию x(t)=x₀. Такое решение существует и единственно. Векторы x_k(t₀) - линейно независимы в силу линейной независимости в промежутке T ФСР и их можно рассматривать как базис евклидова(векторного) пространства Rⁿ. В базисе разложения вектора (2): x₀=единственно в том смысле, что коэф-ты линейной комбинации (2) определены однозначно. Вектор-функция (4): x^*(t)=, будучи линейной комбинацией решений системы (3) является решением этой системы, которое удовлетворяет условию x*(t₀)=x(t₀)=x₀. В силу единственности решения системы (3), удовлетворяющего этому условию, имеем x*(t)≡x(t) и учитывая (4), получаем (1).

Линейная комбинация (1) определяет структуру общего решения однородной системы (3) как совокупности всех частных решений, так как из (3) можно получить любой частное решение в этой области, вычислив по заданным t₀ и x₀ коэф-ты С_k.

4.

Несобственные интегралы: Функция верхнего предела интегрирования, a**<b и обозначается . Если существует конечный предел , то несобственный интеграл называется сходящимся, а если этот предел не существует - расходящимся.

Признак сравнения: Пусть 0*g(x)*f(x), x*[a,b). Тогда, если интеграл сходится, то сходится и интеграл и, если расходится, то расходится.

Док-во: Для любого **[a,b) в силу неравенства 0*g(x)*f(x), x*[a,b) имеем *. Поэтому, если интеграл сходится и ограничены сверху интегралы , то будут ограничены сверху и интегралы , откуда, интеграл сходится. Если же расходится , то в силу уже доказанного интеграл не может сходится, так как тогда бы сходился и интеграл , а это противоречит условию. След. расходится.

Неоднородные системы ЛДУ:

Теорема: Общее решение неоднородной системы dx/dt = A(t)x+g(t) есть сумма общего решения, соответствующей ей однородной системы dx/dt=A(t)x (g(t)*0) и частного решения неоднородной системы dx/dt = A(t)x+g(t): x(t) = x^*(t)+, где x^*(t) - частное решение неоднородной системы, g(t) - вектор-функция, A(t) - квадратная матрица, называемая матрицей систему ОДУ.

x_k(t) - ФСР соответствующей однородной системы dx/dt=A(t)x; C_k - некоторые постоянные коэффициенты.

Док-во: x(t) = x^*(t)+ является решением неоднородной системы dx/dt = A(t)x+g(t). Если x(t) какое-либо решение неоднородной системы dx/dt = A(t)x+g(t), то, согласно теореме (1), x(t)-x^*(t) - решение однородной системы dx/dt=A(t)x, которое можно представить в виде x(t)=. Эта формула определяет структуру общего решения неоднородной системы dx/dt = A(t)x+g(t) как совокупность всех частных решений этой системы.

Теорема (1): Разность любых двух решений неоднородной системы ОДУ есть решение однородной системы.