Решенные задачи билета №1 (2 семестр) / 1.doc

Билет№1

y=ln(x)

y=0

2ln(x-2)=ln(x)

ln(x-2)²=ln(x) ОДЗ : x-2>0

x>2

(x-2)²=ln(x)

(x-2)²=x

x² -4x+4=x

x²-5x+4=0

x₁ = 1 ; x₂ = 4 ;

Точка пересечения: x=4

( Вывод формулы ∫ (ln(x)dx) = x(lnx-1): )

( ∫ (ln(x)dx) = ∫ u*dv = xln(x)- ∫ (x*d(ln(x))) = xln(x)-∫(x*(1/x)) = x(lnx-1) )

₄

S₁ =₁∫⁴ (ln(x)dx)= x(lnx-1)₁ = 4(ln4-1)-ln1-1 = 4ln4-4-1 = 4ln4-5;

₄

S₂ = 2*(₃∫⁴(ln(x-2)dx)) = 2*(₃∫⁴(ln(x-2)d(x-2))) = 2(x-2)(ln(x-2)-1) ₁ =

= 2*2(ln2-1)-2ln1= 4ln2-4;

Искомая площадь:

S = S₁-S₂ = 2ln2-5-4ln2+4 = 2(ln4-ln2)-1 = 4ln2-1

Ответ: S = 4ln2-1.

(x-1)(x-2)(x-i)(x+i) = 0

(x²-3x+2)(x²+1) = 0;

x⁴+x²-3x³-3x+2x²+2 = 0

x⁴-3x³+3x²-3x+2 = 0

y′′′′-3y′′′+3y′′-3y′+2y = 0

y₁=e^x; y₂=e^2x; y₃ =e⁰ cos(x) = cos(x); y₄ = sin(x);

Общее решение составленного дифференциального уравнения:

Y = c₁y₁+c₂y₂+c₃y₃+c₄y₄ = c₁e^x+c₂e^2x+c₃cos(x)+c₄sin(x) ;

Ответ: Y = c₁y₁+c₂y₂+c₃y₃+c₄y₄ = c₁e^x+c₂e^2x+c₃cos(x)+c₄sin(x) ;