Решенные задачи билета №2 (2 семестр) / 2.doc

Билет№2

1.

Y = 1+x²

Y = 3-x²

V=2V₁

1+x² = 3-x²

2x²-2 = 0

x²-1 = 0

x₁ = -1 ; x₂ = 1;

V₁ = V₂ -V₃

V₂ = π*₀∫¹ ((3-x²)² dx) = π*₀∫¹ ((9-6x²+x⁴)dx) = π(9*₀∫¹(dx)-6*₀∫¹(x²dx) +₀∫¹(x⁴dx)) =

₁

= π(9x-2x³+(x⁵/5))₀ = π(9-2+(1/5)) = (36/5)π

₁

V₃=π*₀∫¹(1+x²)²dx = π(₀∫¹dx+2₀∫¹(x²dx)+ π*₀∫¹(x⁴dx) = π(x+(2/3)*x³+(x⁵/5))₀ =

= π(1+(2/3)+(1/5)) = (28/15) π

V₁ = V₂ -V₃ = (36/5)π - (28/15) π = (90/15)π = 6π

Ответ: объём вращения V=6π

Найдем общее решение однородного дифференциального уравнения

y′′+9y = 0

Составим характеристическое уравнение: k²+9 = 0

k² = -9 ; k₁ = -3i ; k₂ = 3i ;

Фундаментальная системы решений: y₁ = cos3x y₂ = sin3x

Общее решение однородного уравнения: y_o.o = c₁cos(3x) +c₂sin(3x)

Общее решение неоднородного уравнения в виде:

y_o.н = c₁(x) cos(3x) +c₂(x)sin(3x) , где c₁(x),c₂(x)- неизвестные функции

Функции c₁(x),c₂(x) определяем из системы c′₁(x) cos(3x) +c′₂(x)sin(3x) = 0

-3c′₁sin(3x)+3c′₂(x)cos(3x) = 1/sin³(3x)

^{****************************************************}

c′₁(x) cos(3x)+c′₂(x)sin(3x) = 0

c′₂(x)cos(3x)-c′₁(x)sin(3x) = 1/sin³(3x)

^{****************************************************}

c′₂ (x) = (-c′₁(x) cos(3x))/sin(3x)

(-c′₁(x)- cos²(3x))/sin(3x)- c′₁(x)sin(3x) = 1/sin³(3x)

(-c′₁(x) (cos²(3x)+ sin²(3x))/sin(3x)- c′₁(x)sin(3x) = 1/sin³(3x)

c′₁(x) = -1/sin³(3x) ; c′₂ (x) = (1/sin³(3x))*cos(3x) = cos(3x)/sin³(3x);

c₁(x) =(1/3)ctg(x)+c₁ ;

c₂ (x) = ∫ ((cos3x/sin3x)*dx) = ∫(d(sin3x)/sin³3x ) =(1/3)*∫((sin^-3(3x)* d(sin3x))

= -1/(6*sin²(3x)) +c₂

Общее решение неоднородного уравнения:

Y_о.н.= ctg(x)cos(3x) + c₁cos(3x) + c₂sin(3x) - 1/(6*sin(3x))

Ответ:

Y_о.н.= (1/3)*(cos²(3x)/(sin(3x))-1/(6*sin(3x))+c₁cos(3x)+c₂sin(3x) = cos(6x)/3sin(3x)+ c₁cos(3x) +

+ c₂sin(3x)