Решенные задачи билета №6 (2 семестр) / 6.doc

Билет 6

3)Вычислить площадь фигуры, расположенной вне окружности r=1 и одновременно внутри лемнискаты r²=2cos2ϕ

cos2ϕ=1/2, 2ϕ=π/3, => ϕ=π/6

S=S₁-S₂=1/2₀∫^π/64cos²2ϕ dϕ - (π/6)/(2π)*πr²=2₀∫^π/6(1+cos4ϕ)/2 dϕ-π/12=

=2(1/2*ϕ+1/8*sin4ϕ)₀|^π/6-π/12=π/12+sqrt(3)/8

ответ.S'=4S=π/12+sqrt(3)/8

4)Найти общее решение: y''+4y=x+cos2x

хар-е ур-е: k²+4k=0, k₁=0, k₂=-4, r=1 y_oo=C₁e^0X+C₂e^-4X

f₁(x)=x, y₁=x(Ax+B)

f₂(x)=cos2x, y₂=Dcos2x+Fsin2x

y=C₁+C₂e^-4x+x(Ax+B)+Dcos2x+Fsin2x