Решенные задачи билета №7 (2 семестр) / 7.doc

Билет 7

3) Вычислить обьем тела, образованного вращением вокруг оси OX плоской фигуры, ограниченой линиями X=Y²-2Y+1 и X=1

Заменяем Y на X и X на Y

Y=X²-2X+1, Y=1 и вращение вокруг OY

V_Y=2π_a∫^bXydX, X²-2X+1=1 => X(X-2)=0, X₁=0, X₂=2

V=2π₀∫²X(X²-2X+X)dX = 2π₀∫²(X³-2X²+X)dX=2π(X⁴/4-2X³/3+X²/2)₀|² =

=2π(4-16/3+2)= 2π(18/3-16/3)= 4π/3

Ответ. 4π/3

4)Проинтегрировать дифференциальное уравнение Y*Y''+(Y')²=(Y')³ при начальных условиях Y(0)=1, Y'(0) = 1

Обозначаем y'=P(y), y''=P*dP/dy, y*PdP/dy+P²=P³, P=0-тривиальное решение

y*dP/dy+P=P², dP/(P²-P)=dy/y, dP/(P²-P+1/4-1/4)=dy/y,

∫d(P-1/2)/((P-1/2)²-(1/2)²)= ∫dy/y

1/(2*(1/2))*ln|(P-1/2-1/2)/(P-1/2+1/2)|=lny+lnC₁

(P-1)/P=C₁y => 1-1/P=C₁y, P=1/(1-C₁y), y'=1/(1-C₁y), dy/dx=1/(1-C₁y)

∫(1-C₁y)dy=∫dx y-C₁y²/2=x+C₂ 1=1/(1-C₁)=>C₁=0, y=x+C₂ =>

=> C₂=1 => y=x+1