Билет 24
Проинтегрировать дифференциальное уравнение 2xy'y''=1+(y')2 при начальных условиях y(1)=0 y'(1)=1
Y'=p 2xpp'=1+p2
2x=(1+ p2)/(pp')
(2x)\(dx)=(p dp)/(1+p2)
1\2∫ (1\x)dx=∫ (p dp)/( 1+p2)
ln |x| =∫ d(p2+1)/(1+p2)
ln |x| = ln |1+p2| + ln |c1|
x =1+ p2+ c1
y'=Sqrt(x-1- c1)
y=∫ Sqrt(x-1- c1)dx
y=∫ Sqrt(x-1- c1)d(x-1- c1)
y=2/3(x-1- c1)+c2
c1 =-1
c2 =-2/3
Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox одной арки циклоиды
X=t-sin t
Y=1-cos t
S =2π 0∫2π (1-cos t) Sqrt((1-cost)2+sin2t) dt = 4π 0∫π (1-cost) Sqrt(2-2cost) dt=
= 8π 0∫π (1 -cos t )Sin t/2 dt = 16π 0∫π (sin3t/2) dt =
= 8π 0∫π(sin3t/2) d t/2 = -8π 0∫π(sin2t/2) d(cos t/2)= -8π 0∫π(1-cos2t/2) d(cos t/2) =
= -8π(cos t/2 0|π - 0∫π(cos2 t/2) d(cos t/2) = -8π(cos t/2 0|π - (cos3 t/2)/3 0|π =(16 π )/3