Краткий курс математического анализа в лекционном изложении / Матем.анализ 3 семестр.doc

Галкин С.В.

Краткий курс математического анализа

в лекционном изложении

для студентов МГТУ им. Н. Э. Баумана

(третий семестр)

Москва 2005.

Часть1 Кратные и криволинейные интегралы, теория поля.

Лекция 1.

Двойной интеграл.

Задача об объеме цилиндрического тела.

К определенному интегралу мы пришли от задачи о площади криволинейной трапеции. К двойному интегралу мы приходим, решая задачу об объеме цилиндрического тела.

Пусть надо вычислить объем цилиндрического тела, в основании которого лежит область с площадью , а высота изменяется от точки к точке так, что конец ее описывает некоторую поверхность (). Тогда логично разбить область на области малого размера - организовать разбиение области на области - элементы разбиения. На каждом элементе отметим точку M(x,y) и построим над этим элементом прямой круговой цилиндр, высота которого постоянна для всех точек элемента и равна . Вычислим объем этого элементарного цилиндра. Просуммируем объемы всех элементарных цилиндров. Эта сумма и даст приближенно искомый объем цилиндрического тела тем точнее, чем меньше будут размеры элементов разбиения. Этот алгоритм используем для построения двойного интеграла

Двойной интеграл

.

Теорема существования.

Пусть функция непрерывна в замкнутой односвязной области D. Тогда двойной интеграл существует как предел интегральных сумм.

.

Замечание. Предел этот не зависит от

Свойства двойного интеграла.

1. Линейность
а) свойство суперпозиции .=+

б) свойство однородности.=

Доказательство. Запишем интегральные суммы для интегралов в левых частях равенств. Они равны интегральным суммам для правых частей равенств, так как число слагаемых конечно. Затем перейдем к пределу, по теореме о предельном переходе в равенстве получим желаемый результат.

2. Аддитивность.
Если, то = +

Доказательство. Выберем разбиение области D так, чтобы ни один из элементов разбиения (первоначально и при измельчении разбиения) не содержал одновременно как элементы D₁, так и элементы D₂. Это можно сделать по теореме существования (замечание к теореме). Далее проводится доказательство через интегральные суммы, как в п.1.

3. - площадь области D.

4. Если в области D выполнено неравенство , то (неравенство можно интегрировать).

Доказательство. Запишем неравенство для интегральных сумм и перейдем к пределу.

Заметим, что, в частности, возможно

5. Теорема об оценке.

Если существуют константы , что , то

Доказательство. Интегрируя неравенство (свойство 4), получим . По свойству 1 константы можно вынести из-под интегралов. Используя свойство 3, получим искомый результат.

6. Теорема о среднем (значении интеграла).

Существует точка , что .

Доказательство. Так как функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве , то существует ее нижняя грань и верхняя грань . Выполнено неравенство . Деля обе части на , получим . Но число заключено между нижней и верхней гранью функции. Так как функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве , то в некоторой точке функция должна принимать это значение. Следовательно, .

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что существует цилиндр постоянной высоты , объем которого равен объему цилиндрического тела

Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат.

Предположим, что D - плоская область, лежащая в некоторой плоскости и введем в этой плоскости декартову систему координат.

Область D назовем правильной, если любая прямая, параллельная декартовым осям, пересекает ее не более чем в двух точках.

Можно показать, что замкнутую ограниченную область с кусочно-гладкой границей можно представить в виде объединения правильных областей, не имеющих общих внутренних точек. Поэтому интеграл по области D можно вычислять как сумму интегралов (свойство 2) по правильным областям. Будем считать, что нам надо вычислить двойной интеграл по правильной области.

Подставляя в формулу для объема, получим . Это повторный интеграл, вернее один из них. Второй повторный интеграл можно получить, вводя сечения, параллельные оси OX. По аналогии . По смыслу двойного интеграла (объем цилиндрического тела)

==

Примеры. Записать двойной интеграл по заданной области и повторные интегралы.

1.

Геометрический и физический «смысл» двойного интеграла.

К двойному интегралу .мы пришли от задачи об объеме цилиндрического тела, расположенного над областью D с переменной высотой .

В этом и состоит его геометрический смысл.

Можно рассмотреть задачу о массе плоской пластины, представляющей собой плоскую область D, плотность которой равна , т.е. меняется от точки к точке. Достаточно ассоциировать переменную плотность с переменной высотой в задаче об объеме, чтобы понять, что мы имеем ту же модель.

Поэтому физический смысл двойного интеграла заключается в том, что равен массе плоской области D, плотность которой равна .

Пример. Вычислить объем V цилиндрического тела, ограниченного двумя параболическими цилиндрами z = 1-y² и x = y² и площадь его основания D, расположенного в плоскости OXY..

Лекция 2. Приложения двойного интеграла.

Теорема. Пусть установлено взаимно однозначное соответствие областей D_xy и D_uv с помощью непрерывных, имеющих непрерывные частные производные функций . Пусть функция f(x,y) непрерывна в области D_xy. Тогда

, где - якобиан (определитель Якоби).

Доказательство (нестрогое). Рассмотрим элементарную ячейку в координатах u, v: Q₁, Q₃, Q₄, Q₂ - прямоугольник со сторонами du, dv. Рассмотрим ее образ при отображении - ячейку P₁, P₃, P₄, P₂.

Приближенно будем считать ячейку P₃, P₄, P₁, P₂.параллелограммом, образованным сторонами . Вычислим площадь этой ячейки как площадь параллелограмма.

.

Подставляя в интеграл площадь параллелограмма в качестве площади ячейки dxdy, получим .

Следствие. Рассмотрим частный случай - полярную систему координат : . .

Пример. Вычислить площадь внутри кардиоиды .

.

Пример. Вычислить объем внутри прямого кругового цилиндра , ограниченный плоскостью в первом октанте.

.

Для каждой задачи можно выбрать ту систему координат, в которой вычисления проще. Декартова система координат удобна для прямоугольных областей. Если стороны прямоугольника параллельны координатным осям, то пределы интегрирования в повторном интеграле постоянны. Полярная система координат удобна для круга, кругового сектора или сегмента. Если центр круга находится в начале координат, то пределы интегрирования по углу и радиусу постоянны.

Приложения двойного интеграла.

С помощью двойного интеграла можно вычислить объем цилиндрического тела, площадь и массу плоской области. От этих задач мы и пришли к двойному интегралу.

Но возможны и менее очевидные приложения.

С помощью двойного интеграла можно вычислять площадь поверхности, определять статические моменты, моменты инерции и центр тяжести плоской области.

Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла.

то можно считать справедливым соотношение Δv_k cosγ_k = Δs_k. Выразим отсюда

Δv_k=Δs_k/ cosγ_k. Будем измельчать разбиение при условии max diam Δσ_k →0, что для кусочно-гладкой поверхности, не ортогональной плоскости OXY, равносильно max diam Δd_k →0. Вычислим площадь поверхности как двойной интеграл

.

Сюда остается лишь подставить .

Если поверхность σ задана уравнением F(x, y, z) = 0, то

Поэтому в этом случае , .

.

Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), то уравнение это можно

свести к уравнению F(x, y, z) = 0 и применить выведенную формулу:

.

Пример. Вычислить площадь поверхности конуса , ограниченной плоскостями

Вычисление статических моментов, координат центра тяжести, моментов инерции.

Пусть задана плотность вещества плоской материальной области D ρ(x, y). Выделим элементарную ячейку с массой dm и применим к ней известные формулы для материальной точки:

Статические моменты относительно осей OX, OY dm_x = y dm = y ρ(x, y) ds,

dm_y = x dm = x ρ(x, y) ds.

Моменты инерции относительно осей OX, OY dJ_x = y² dm = y² ρ(x, y) ds,

dJ_y = x² dm = x² ρ(x, y) ds.

Момент инерции относительно начала координат dJ₀ = dJ_x + dJ_y.

Двойным интегралом по всей области D вычисляем те же характеристики для области D.

, , , , J₀ = J_x + J_y.

Координаты центра тяжести , где - масса области D.

Пример. Вычислить координаты центра тяжести полукруга с заданной плотностью .

(это было ясно заранее, по симметрии полукруга относительно OYи независимости плотности от координаты x).

Поэтому .

Пример. Вычислить момент инерции полукруга с заданной плотностью относительно прямой .

.

Эта формула известна в теоретической механике.

Замечание о несобственных двойных интегралах.

Точно так же, как и в определенных интегралах, вводят несобственные двойные интегралы двух типов: интеграл от непрерывной функции по неограниченной области (первого рода) и интеграл от разрывной функции по ограниченной области (второго рода).

Интеграл первого рода определяют как предел последовательности двойных интегралов от непрерывной функции по «расширяющимся» областям, стремящимся к заданной неограниченной области. Если предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся, если предел не существует или бесконечен, то интеграл называется расходящимся.

Интеграл второго рода определяют как предел последовательности интегралов от непрерывной функции по «расширяющимся» областям, стремящимся к заданной области и исключающим точку разрыва. Если предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся, если предел не существует или бесконечен, то интеграл называется расходящимся.

Пример. Показать, что несобственный интеграл первого рода по области сходится при и расходится при .

Показать, что несобственный интеграл первого рода по области сходится при и расходится при .Вычислим этот интеграл по области .

.

=

=

Часто расширение математических знаний позволяет решать задачи, которые не получались старыми методами.

Пример. Вычислить интеграл Пуассона .

Неопределенный интеграл «не берется». Но двойной интеграл по области равен

I =.

С другой стороны, переходя к полярным координатам, получим

I = .

Поэтому = . По четности .

Лекция 3 Тройной интеграл.

Задача о массе пространственного тела.

Пусть есть некоторое пространственное материальное тело, занимающее область V, в каждой точке которой задана объемная плотность f(x, y, z). Надо вычислить массу пространственного тела.

Эта задача приводит к понятию тройного интеграла.

Введем разбиение области V на элементарные области, не имеющие общих внутренних точек (условие А) Δv_k с малым объемом (обозначение области и ее объема обычно одно и то же, это принято уже более 200 лет и не вносит путаницы).

На каждом элементе разбиения - элементарной области отметим точку M_k(x_k, y_k, z_k). Вычислим плотность в этой точке f(x_k, y_k, z_k) = f(M_k) и предположим, что плотность постоянна в элементарной области. Тогда масса элементарной области Δv_k приближенно равна = f(M_k) . Суммируя все такие массы элементарных областей (составляя интегральную сумму), приближенно получим массу области V

Для того, чтобы точно вычислить массу области, остается перейти к пределу при условии (условие B).

.

Так задача о массе пространственной области приводит к тройному интегралу.

Введем некоторые ограничения на область интегрирования и подинтегральную функцию, достаточные для существования интеграла.

Потребуем, чтобы функция f(M) была непрерывна в области V и на ее границе.

Потребуем, чтобы область V была замкнутой, ограниченной, пространственно-односвязной областью с кусочно-гладкой границей.

Область назовем пространственно-односвязной, если ее можно непрерывной деформацией стянуть в точку.

Теорема существования. Пусть область V и функция f(M)=f(x, y, z) удовлетворяют сформулированным требованиям. Тогда тройной интеграл существует как предел интегральных сумм.

.

Замечание. Предел этот не зависит:

1) от выбора разбиения области, лишь бы выполнялось условие А

2) от выбора отмеченных точек на элементах разбиения

3) от способа измельчения разбиения, лишь бы выполнялось условие B.

Свойства тройного интеграла.

б) =
Эти свойства, как и для двойного интеграла, доказываются «через интегральные суммы». Составляют интегральную сумму для интегралов, стоящих в левой части равенства, в ней делают нужную операцию (это возможно, т.к. число слагаемых конечно) и получают интегральные суммы для интегралов в правой части. Затем, по теореме о предельном переходе в равенстве, переходят к пределу, и свойство доказано.