Теория рядов / Фунционыльные Ряды.doc

18.2. Функциональные ряды.

18.2.1. Основные определения. Пусть дана бесконечная последовательность функций .

независимой переменной х, имеющих общую область определения D. Ряд

называется функциональным рядом.

Примеры: 1. ;

2. ;

3. .

Для каждого значения функциональный ряд превращается в числовой ряд, сходящийся или расходящийся. Так, первый из примеров - геометрическая прогрессия со знаменателем х, этот ряд сходится при х=1/2 и расходится при х=2.

Определение. Значение , при котором функциональный ряд сходится, называется точкой сходимости функционального ряда. Множество всех точек сходимости функционального ряда называется областью сходимости этого ряда. Область сходимости обозначим .

Так, для первого из приведённых примеров область сходимости - интервал (-1, 1); для второго - ряда Дирихле - область сходимости - полуось х>0; третий ряд абсолютно сходится в любой точке х, так как при любом х справедливо ; следовательно, область сходимости третьего ряда ).

Для каждого мы получаем сходящийся числовой ряд, свой для каждого х, поэтому сумма функционального ряда есть функция , определённая на области . Так, для первого примера, как мы знаем, , т.е. на интервале

(-1, 1); вне этого интервала равенство не имеет места; так, в точке х=2 ряд расходится, а . Сумма второго ряда - знаменитая функция Римана , определённая на полуоси ; эта функция играет важную роль в теории чисел. Сумма третьего ряда, как мы увидим дальше при изучении рядов Фурье, равна функции периода , получающаяся в результате периодического повторения функции , определённой на отрезке , по всей числовой оси.

Коль скоро мы осознали, что сумма функционального ряда - функция, встаёт вопрос о свойствах этой функции. Так, члены ряда могут иметь свойства непрерывности, дифференцируемости, интегрируемости и т.д. Будет ли обладать этими свойствами сумма ряда? То, что это не праздный вопрос, показывает следующий пример. Пусть , , , , …, , …. Ряд состоит из непрерывных членов, найдём его область сходимости и сумму. Частичная сумма ряда . Последовательность при имеет конечный предел только, если (это и есть область сходимости ряда), при этом Таким образом, для ряда, члены которого - непрерывные функции, мы получили разрывную на области сходимости сумму.

Сумма ряда сохраняет хорошие свойства своих членов в том случае, если ряд сходится равномерно.

18.2.2. Равномерная сходимость функционального ряда. Факт сходимости ряда к своей сумме в точке сходимости х означает, в соответствии с определением предела, то, что для любого числа существует такое натуральное N, что при n>N верно . Здесь - частичная сумма ряда в точке х. Число N зависит, естественно, от , но оно зависит и от х, т.е. . В некоторых точках области сходимости ряд может сходиться к своей сумме быстро, т.е. неравенство будет выполняться при не очень больших значениях N, в других точках эта сходимость может быть медленной. Если ряд сходится к своей сумме примерно с одинаковой скоростью во всех точках х, то сходимость называется равномерной. Более точно, говорят, что ряд сходится равномерно на области G, если для любого числа существует такое натуральное число , одно и то же для всех точек ,что при n>N выполняется неравенство (или, что тоже самое, , где - остаток ряда после n-го члена).

Понятие равномерной сходимости - одно из фундаментальных понятий функционального анализа. Именно равномерная сходимость обеспечивает сохранение суммой ряда хороших свойств своих членов. Чтобы осознать смысл и значение этого понятия, требуется время, которого у нас, к сожалению, нет. К счастью, имеется простой и понятный достаточный признак равномерной сходимости - признак Вейерштрасса.

Признак Вейерштрасса. Если существует такой положительный сходящийся числовой ряд , что члены функционального ряда в любой точке удовлетворяют неравенству , то функциональный ряд сходится равномерно в области G.

Числовой ряд, удовлетворяющий неравенству , называется мажорирующим рядом, или мажорантой функционального ряда; про функциональный ряд говорят, что он мажорируется числовым рядом.

Рассмотрим примеры, приведённые в начале раздела. Геометрическая прогрессия равномерно сходится на любом отрезке , целиком лежащем в области сходимости (-1,1). Действительно, построим мажоранту для геометрической прогрессии на . Из чисел а, b выберем большее по модулю. Пусть, например, . Тогда для любого выполняется . Таким образом, сходящийся (так как ) числовой ряд мажорирует на функциональный ряд , откуда, по признаку Вейерштрасса, следует равномерная сходимость этого функционального ряда.

Ряд равномерно сходится на любой полуоси , так как на этом множестве он мажорируется рядом .

Ряд равномерно сходится на всей числовой оси (мажоранта для этого ряда уже получена - это ряд ).

18.2.3. Свойства равномерно сходящихся рядов.

18.2.3.1. Теорема о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Если члены функционального ряда - непрерывные функции, и этот ряд равномерно сходится на отрезке , то сумма этого ряда непрерывна на .

18.2.3.2. Теорема о почленном интегрировании равномерно сходящегося ряда. Пусть члены функционального ряда непрерывны на отрезке , и ряд равномерно сходится к своей сумме на этом отрезке: . Тогда , т.е. интеграл от суммы ряда равен сумме ряда, составленного из интегралов от членов равномерно сходящегося ряда.

18.2.3.3. Теорема о почленном дифференцировании равномерно сходящегося ряда. Пусть члены сходящегося ряда - дифференцируемые на отрезке функции, и ряд, составленный из производных , равномерно сходится на . Тогда ряд можно почленно дифференцировать, и , т.е. производная суммы ряда равна сумме ряда из производных.

Отметим тонкость, заключённую в этой теореме: для того, чтобы ряд можно было почленно дифференцировать, требуется равномерная сходимость не самого этого ряда, а ряда, составленного из производных его членов.

Эти свойства равномерно сходящихся рядов по нашей программе принимаются без доказательства; мы будем ими пользоваться при изучении степенных рядов. Однако уже сейчас мы можем сделать из этих теорем тонкие и важные выводы. Ряд - геометрическая прогрессия со знаменателем , поэтому его сумма равна : . Мы доказали, что этот ряд равномерно сходится на любом отрезке , целиком лежащем в области сходимости (-1,1), поэтому его можно почленно проинтегрировать в пределах от 0 до : . Вычисляя интегралы, получаем . Это не только неожиданное и красивое представление числа в виде ряда , но и удобный способ его вычисления с любой точностью с простой оценкой остатка по первому отброшенному члену, так как получен ряд Лейбницевского типа (см. раздел 18.1.4.2).

18.2.4. Степенные ряды.

18.2.4.1. Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида ,

где - постоянные (коэффициенты ряда), - фиксированное число (центр сходимости). Степенной ряд имеет по меньшей мере одну точку сходимости - точку .

Все содержательные сведения о степенном ряде содержатся в теореме Абеля.

18.2.4.2. Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке , то

Доказательство. 1. Из сходимости ряда в точке следует, что его общий член стремится к нулю при ; любая последовательность, имеющая предел, ограничена, следовательно, существует число С такое, что . Пусть точка х удовлетворяет неравенству , тогда . Оценим член ряда в точке х:

. Члены ряда в точке х по абсолютной величине не превосходят членов сходящейся геометрической прогрессии, следовательно, ряд сходится абсолютно в точке х, следовательно, он сходится абсолютно в любой точке интервала .

2. Пусть отрезок , целиком лежит на интервале . Из точек а, b выберем ту, которая находится дальше от точки , примем для определённости, что это - точка а: . Тогда для любого х из этого отрезка . В точке ряд , по доказанному, сходится абсолютно, но он является на мажорантой для ряда , следовательно, степенной ряд сходится равномерно на отрезке .

3. Пусть степенной ряд расходится в точке , и . То, что ряд расходится в точке х, докажем от противного. Если предположить, что он сходится в точке х, то, по доказанному, он сходится во всех точках, расположенных ближе к , чем х, следовательно, он сходится в точке , что противоречит условию.

18.2.4.3. Радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда. Из теоремы Абеля следует, что существует такое число R (возможно, ) такое, что при степенной ряд сходится, при ряд расходится. Действительно, пусть в точке ряд сходится, в точке ряд расходится. Рассмотрим точку , расположенную между областями, в которых установлена сходимость и расходимость. В точке числовой ряд либо сходится, либо расходится. Если он сходится, то мы можем перенести точку в точку ; если ряд в точке расходится, мы переносим в точку . Продолжая этот процесс, мы сблизим точки и , эта граница и определит число R.

Определение. Число R такое, что при степенной ряд сходится, при ряд расходится, называется радиусом сходимости. Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда.

Сходимость ряда в концевых точках интервала сходимости должна исследоваться отдельно. В зависимости от поведения ряда на концах интервала сходимости область сходимости степенного ряда может быть одной из следующих: , , , .

Итак, для определения области сходимости степенного ряда надо найти его интервал сходимости R, затем исследовать поведения ряда в концевых точках интервала сходимости .

Примеры. 1. . Для определения радиуса сходимости этого ряда целесообразно применить признак сходимости Дирихле. Однако этот признак, как и многие другие, может применяться только к положительному ряду, поэтому выпишем ряд, состоящий из абсолютных величин членов исследуемого ряда: . Применяем признак Дирихле: . Следовательно, . Мы нашли радиус сходимости R =3 и интервал сходимости . Исследуем поведение ряда на концах интервала: , ряд сходится. , ряд сходится абсолютно. Область сходимости - интервал [-7,7].

В следующих примерах решения будут излагаться кратко, без пояснений.

2. . Ряд из модулей: , признак Коши . - расходится, - расходится, область сходимости - интервал .

3.. Ряд из модулей: , признак Даламбера . - сходится условно, - расходится, область сходимости - полуинтервал .

4. . Решение такое же, как в предыдущем примере, однако ряд будет знакочередующимся в точке х =5; ответ: область сходимости - полуинтервал .

В заключение рассмотрим примеры, когда область сходимости вырождается в точку или всю числовую ось:

5. . Ряд из модулей: , признак Даламбера область сходимости - единственная точка х=0, .

6. . Ряд из модулей: , признак Даламбера в любой точке х, область сходимости - вся числовая ось .

18.2.4.4. Формулы для радиуса сходимости. Получим формулы, выражающие радиус сходимости степенного ряда через его коэффициенты. Ряд из модулей: ; применение к этому ряду признака Коши даёт .

Применение признака Даламбера даёт . Итак, .

18.2.4.5. Свойства степенного ряда и его суммы.

1. Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости.

Доказательство. Под почленным интегрированием понимается интегрирование ряда по отрезку . Результат этой операции: .

Это тоже степенной ряд, его радиус сходимости равен радиусу сходимости исходного ряда.

Ряд, получающийся в результате почленного дифференцирования тоже степенной ряд: . Его радиус сходимости тоже равен радиусу сходимости исходного ряда.

2. (Почленное интегрирование степенного ряда). Пусть сумма степенного ряда на области сходимости равна функции , т.е. . Тогда для .

Доказательство. Справедливость этого утверждения следует из равномерной сходимости степенного ряда на отрезке и Теоремы 18.2.3.2 о почленном интегрировании равномерно сходящегося ряда.

3. (Почленное дифференцирование степенного ряда). Степенной ряд можно почленно дифференцировать в любой точке интервала сходимости, и .

Доказательство. Справедливость этого утверждения следует из равномерной сходимости степенного ряда, составленного из производных членов исходного ряда, на любом отрезке, лежащем в интервале сходимости и Теоремы 18.2.3.3 о почленном дифференцировании равномерно сходящегося ряда.

4. (Бесконечная дифференцируемость суммы степенного ряда). Сумма степенного ряда в любой точке интервала сходимости имеет производные любого порядка; эти производные могут быть получены последовательным почленным дифференцированием исходного ряда.

Доказательство. Справедливость этого утверждения следует из доказанной теоремы о почленном дифференцировании степенного ряда; последовательное применение этой теоремы даёт и т.д.

18.2.5. Ряд Тейлора. Мы доказали, что сумма степенного ряда в любой точке интервала сходимости бесконечно дифференцируема. Выразим коэффициенты ряда через производные суммы (похожую задачу мы решали в разделе 7.7. Формула Тейлора).

. Положим здесь . Все члены ряда, кроме нулевого, исчезают, и .

. Положим , тогда .

. .

. .

Продолжая этот процесс, получим . Заменив коэффициенты полученными выражениями, представим ряд как

. Ряд, стоящий в правой части этой формулы, называется рядом Тейлора функции . В частном случае, когда и ряд принимает вид

, его принято называть рядом Маклорена. Напомним, что эти ряды получены в предположении, что - сумма степенного ряда и х - точка интервала сходимости.

Теперь рассмотрим обратную задачу: какой должна быть функция , чтобы её можно было представить в виде суммы степенного ряда? Первое, что очевидно, это то, что должна быть бесконечно дифференцируемой функцией (так как сумма ряда бесконечно дифференцируема). Второе - то, что коэффициенты ряда должны быть равны . Поэтому предположим, что дана бесконечно дифференцируемая функция , мы нашли коэффициенты ряда по формуле , составили формальный ряд и нашли область его сходимости. Будет ли сумма этого ряда на области сходимости равна ? Это тот вопрос, которым мы будем заниматься дальше.

Приведём пример, когда ряд Маклорена функции сходится не к , а к другой функции. Пусть Мы докажем, что все производные этой функции в точке х=0 равны нулю. При . . Такие неопределённости придётся раскрывать при вычислении любой производной; заменой t=1/x они сводятся к неопределённостям, содержащим степенные и показательные функции, значение предела во всех случаях определяется пределом показательной функции и равно нулю. Значение производной в точке х=0 находим по определению производной:

. Итак, производная непрерывна в точке х=0 и равна нулю. и т.д. Так доказывается, что все производные в точке х=0 равны нулю. Как следствие, все коэффициенты ряда Тейлора этой функции равны нулю, и на всей числовой оси ряд сходится к функции, тождественно равной нулю, а не к .

Сформулируем условия, при которых ряд Тейлора функции сходится к этой функции. Эти условия удобно сформулировать в терминах остаточного члена формулы Тейлора. Напомним результаты раздела 7.7. Формула Тейлора: если имеет в окрестности точки все производные до nго порядка включительно, то может быть представлена в виде формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: , где - остаточный член в форме Лагранжа; - точка, расположенная между х и , .

Теорема. Для того, чтобы бесконечно дифференцируемая функция в окрестности точки разлагалась в ряд Тейлора, необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство. Необходимость. Пусть в окрестности точки функция представлена в виде сходящегося к этой функции ряда Тейлора , где - частичная сумма ряда, - его остаток. Так как имеет требуемое количество производных, она может быть представлена и в виде формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: . Сравнивая эти представления, получаем . Из сходимости ряда к следует, что , что и требовалось доказать.

Достаточность. Если , то , т.е. остаток ряда стремится к нулю при , т.е. ряд сходится к функции .

18.2.6. Разложение в ряд Маклорена элементарных функций.

18.2.6.1. Стандартные разложения.

Всё начинается с геометрической прогрессии. На первой лекции по рядам (см. раздел 18.1. Основные определения) мы доказали, что эта функция является суммой ряда , и ряд сходится к функции при . Итак,

.

Выпишем несколько разновидностей этого ряда. Заменив х на -х, получим

;

при замене х на получаем

; ;

и т.д.; область сходимости всех этих рядов одна и та же: .

2. .

Все производные этой функции в точке х=0 равны , поэтому ряд имеет вид

.

Область сходимости этого ряда - вся числовая ось (пример 6 раздела 18.2.4.3. Радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда), поэтому при . Как следствие, остаточный член формулы Тейлора . Поэтому ряд сходится к в любой точке х.

3. .

Здесь

дальше производные периодически повторяются. Ряд Маклорена имеет вид

.

Этот ряд абсолютно сходится при , и его сумма действительно равна . Остаточный член формулы Тейлора имеет вид , где или - ограниченная функция, а (это общий член предыдущего разложения).

4. .

Это разложение можно получить, как и предыдущие, последовательным вычислением производных, но мы поступим по другому. Почленно продифференцируем предыдущий ряд:

.

Сходимость к функции на всей оси следует из теоремы о почленном дифференцировании степенного ряда.

5. Самостоятельно доказать, что на всей числовой оси , .

6. .

Ряд для этой функции называется биномиальным рядом. Здесь мы будем вычислять производные.

… Ряд Маклорена имеет вид

Ищем интервал сходимости: , следовательно, интервал сходимости есть . Исследование остаточного члена и поведение ряда на концах интервала сходимости проводить не будем; оказывается, что при ряд абсолютно сходится в обеих точках , при ряд условно сходится в точке и расходится в точке , при расходится в обеих точках.

7. .

Здесь мы воспользуемся тем, что . Так как , то, после почленного интегрирования,

.

Область сходимости этого ряда - полуинтервал , сходимость к функции во внутренних точках следует из теоремы о почленном интегрировании степенного ряда, в точке х=1 - из непрерывности и функции, и суммы степенного ряда во всех точках, сколь угодно близких к х=1 слева. Отметим, что взяв х=1, мы найдём сумму ряда .

8. Почленно интегрируя ряд , получим разложение для функции . Выполнить все выкладки самостоятельно, выписать область сходимости.