Лекции по теории вероятности / Матем анализ 3 семестр вероятность.doc

Галкин С.В.

Краткий курс математического анализа

в лекционном изложении

для студентов МГТУ им. Н. Э. Баумана

(третий семестр)

вероятность

Москва 2005

Лекция1.

Вероятность

В теории вероятностей рассматриваются такие явления или опыты, конкретный исход которых не определяется однозначно условиями опыта (случаен), но по результатам большого числа экспериментов в среднем может быть предсказан (свойство статистической устойчивости).

Элементарным событием (элементарным исходом) называется любое событие - исход опыта, которое нельзя представить в виде объединения других событий. Так как исход опыта случаен, то и любое элементарное событие случайно, далее будем говорить просто о событиях, не подчеркивая их случайность.

Пространством элементарных событий Ω (исходов) называется множество всех элементарных событий (исходов). {ω₁, …ω_{n …}}, если в результате опыта обязательно наступает какой-либо из элементарных исходов и только один (один исход исключает любой другой). Пространство элементарных событий может содержать конечное, счетное и даже бесконечное множество элементарных событий.

Случайным событием (событием) называется подмножество пространства элементарных событий. Любое множество - это совокупность элементов. Элементами события являются элементарные события, образующие это событие.

Пример. Бросается одна монета, она может упасть гербом (ω₁=Г) или решкой (ω₁=Р). Ω=(Г,Р).

Пример. Бросаются две монеты Ω = {(Г, Г), (Г,Р), (Р,Г), (Р,Р)}

Пример. Капля дождя падает на прямоугольную площадку.

Ω= {(x,y), a<x<b, c<y<d}

Достоверное событие - событие, которое всегда происходит в результате данного опыта, оно содержит все элементарные события и обозначается Ω.

Невозможное событие - событие, которое не может произойти в результате данного опыта, оно не содержит элементарных событий и обозначается ∅.

Действия над событиями.

События определены как множества, поэтому действия над ними аналогичны действиям над множествами и хорошо иллюстрируются диаграммами Венна.

Пространство Ω будем обозначать прямоугольником, элементарное событие - точкой прямоугольника, а каждое событие - подмножеством точек этого прямоугольника. Результат операции над событиями будем заштриховывать.

Пусть выбираются карты из колоды карт. Событие А - выбор червонной карты, событие В - выбор десятки

Свойства операций над событиями

1. =Ø 6. А = А

2. А + А = А 7. А Ø = Ø Коротко. Если А В, то

3. А А = А 8 = А А + В = В

4. А + = 9. А В = А

5. А + Ø = А 10. = Ø

Коммутативность операций

А + В = В + А; А В = В А

Ассоциативность операций

А + (В + С) = (А + В) + С = А + В + С А(В С) = (А В) С = А В С

Дистрибутивность операции сложения относительно умножения

А (В + С) = А В + А С

Дистрибутивность операции умножения относительно сложения

А + (В С) = (А + В)(А + С)

Пример. Вычислим (A+B)(A+C)=AA+BA+AC+BC=A+BC.

В самом деле, BA⊂A, AC⊂A, AA=A, тогда AA+BA=A, A+AC=A.

Правило двойственности (теорема де Моргана)

Для всякого сложного события, выраженного через сумму и произведение (даже счетного количества) событий, противоположное событие может быть получено путем замены событий им противоположными и замены знака произведения на знак суммы, а знака суммы на знак произведения, при оставлении порядка операций неизменным

Пример.

Алгебра событий.

Пусть Ω - пространство элементарных событий. Алгеброй событий S называется такая система случайных событий S, что

Следствие ∅= Ω\Ω ⊂ S

Пусть Ω содержит конечное число элементов, Ω= {ω₁,…ω_n}. Тогда алгебру S можно построить как множество всех подмножеств Ω.

S={∅, {ω₁}, … {ω_n}, {ω₁,ω₂}, …{ω₁,ω_n}, …{ω_n-1,ω_n}, …{ω_{1, …,}ω_n}}, в ней всего 2ⁿ элементов

Аналогично стоится алгебра для счетного числа событий.

Если в результате опыта стало известно, произошли или нет события A, B, то можно заключить, произошли или нет события , A+B, AB, A\B, поэтому события должны выбираться из определенного класса - алгебры событий.

Для бесконечного (не счетного) числа событий класс событий должен быть сужен. Вводится σ- алгебра событий.

Сигма-алгеброй (σ-алгеброй) событий Β называется непустая система подмножеств пространства элементарных событий, такая что

2) A₁, A₂, …A_n, …⊂Β⇒( A₁+A₂+ …+A_n+, …)⊂Β, …⊂Β.

Любая сигма-алгебра событий является алгеброй событий, но не наоборот.

Вероятность.

Классическое определение вероятности события

В классическом определении вероятности исходят из того, что пространство элементарных событий Ω содержит конечное число элементарных исходов, причем все они равновозможные.

Случаями называются равновозможные, несовместные события, составляющие полную группу.

В классическом определении вероятности мы находимся в рамках схемы случаев в том смысле, что элементарные события равновозможны, т.е. представляют собой случаи.

Пусть N - общее число случаев в Ω, а N_А - число случаев, образующих событие А (или, как говорят, благоприятствующих событию А).

Определение. Вероятностью события А называется отношение числа N_A случаев, благоприятствующих событию А к общему числу N случаев, т.е. P(A) = . Данное определение вероятности события принято называть классическим определением вероятности.

Примеры. 1. Бросание игральной кости. Ω = {ω₁, ω₂,…,ω₆} N = 6.

А - количество очков кратно трем А = {ω₃,ω₆} N_A = 2.

.

2. Бросание 2-х игральных костей. Ω = {ω₁₁, ω₁₂,…,ω₆₆}; N =36.

ω_kl = (a_k, b_l), k,l =

А - сумма цифр (очков) равна 5. А = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}; N_A = 4

.

3. В урне а белых и b черных шаров. Опыт - вынимается один шар.

А - шар черный.

Исходя из классического определения вероятностей, легко доказать свойства вероятности:

1) Р(Ω) = 1 (N_A = N);

2) 0 ( 0;

3) Если А В = Ø, то Р(А + В) = Р(А) + Р(В) ( N_A+B=N_A+N_B)

и их следствия

4) Р(Ø) = 0 (N_Ø) = 0;

5) Р() = 1- Р(А) ( = Ø, Р(А) + Р() = 1);

6) Если , то Р(А) Р(В) (N_A N_B).

При практическом применении формулы классической вероятности наиболее сложным является определение общего числа равновозможных исходов и числа благоприятствующих исходов.

Здесь используется основной принцип комбинаторики: пусть некоторая операция Р представляет собой последовательность n операций P_k (k=1, …n), каждая из которых может быть выполнена m_r способами. Тогда операция Р может быть выполнена способами.

Пусть мы делаем выборку поочередно m элементов (например, шаров) из n элементов. Мы можем возвращать очередной шар (в число n шаров), тогда при каждом очередном выборе мы будем иметь все те же n шаров. Такая выборка называется выборкой с возвращением. А можем и не возвращать шар, тогда при каждом выборе мы будем выбирать из все меньшего числа шаров. Такая выборка называется выборкой без возвращения. С другой стороны, мы можем учитывать порядок появления шаров. Такая выборка называется упорядоченной или размещением из n шаров по m шаров. Если порядок шаров при выборе не учитывается, важно лишь, какие шары выбраны, но не важно, в каком порядке, то такая выборка называется неупорядоченной или сочетанием из n шаров по m шаров. Выясним, сколькими способами можно произвести ту или иную выборку

Формулы для размещений легко получаются из принципа комбинаторики. Для того, чтобы перейти от размещений (без возвращений) к сочетаниям (без возвращений), нужно упорядочить выборки, т.е. исключить те из них, которые отличаются только порядком элементов. Выборки, отличающиеся только порядком элементов, называются перестановками. Число перестановок из m элементов равно P_m==m!. Поэтому .

Формулу для сочетаний с возвращением примем без доказательства (ее доказательство приведено в вып. ХV1 на стр. 50 - 51).

Пример. Производится выборка двух шаров (m=2) из урны, в которой находится 3 шара (n=3). Приведем эти выборки.

(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3) = 3² = 9.

Пример. Задача о выборке бракованных деталей.

В партии из N одинаковых деталей M бракованных. Выбирается (не возвращая) n деталей. Какова вероятность того, что среди них окажется ровно m бракованных?

Общее количество случаев (сочетания из N деталей по n) равно . Мы выбираем m бракованных деталей среди M бракованных, но и одновременно выбираем (n-m) деталей без брака среди N-M деталей без брака. Тогда, по основному принципу комбинаторики, такому выбору благоприятствует случаев. Поэтому искомая вероятность равна .

Геометрическая вероятность

Формула классической вероятности применяется только в схеме случаев, что встречается довольно редко. Отношение Р(А)= N_A/N представляет собой «долю» благоприятных исходов среди всех возможных исходов. Аналогичным образом подсчитывают вероятность события в некоторых более сложных случаях, когда имеется бесконечное число равновозможных исходов.

Пример. Задача о встрече. Два студента договорились встретиться от 10 до 11 часов на определенном месте, причем первый пришедший на место ждет товарища 15 минут и уходит. Какова вероятность встречи?

Выберем начало системы координат в точке (10, 10). Отложим по осям системы координат x- время прихода первого студента, y - время прихода второго студента.

Тогда множество |x-y|<1/4, 0<x<1, 0<x<1, 0<y<1

содержит точки (события) встречи студентов. Его мера (площадь) mesA равна 1- (3/4)² = 7/16. Так как mesΩ =1, то P(A) = 7/16.

Статистическая вероятность

Формулы классической вероятности и геометрической вероятности справедливы только для случая равновозможных исходов. В действительности мы на практике имеем место с неравновозможными исходами. В этих случаях можно определить вероятность случайного события, используя понятие частоты события. Допустим, что нам требуется определить вероятность того, что в испытании произойдет событие А. Для этого в одинаковых условиях проводятся испытания, в каждом из которых возможны два исхода: А и . Частотой события А будем называть отношение числа N_A испытаний, в которых зафиксировано событие А к общему числу N испытаний.

Вероятностью события А называется предел частоты события А при неограниченном увеличении числа испытаний n, т.е. . Так определяется статистическая вероятность события.

Заметим, что по классическому, геометрическому и статистическому определениям для вероятности события P(A) выполнены три основных свойства:

P(A)≥0, 2) P(Ω)=1, 3) P(A₁+ …+A_n) = P(A₁) + …+P(A_n), если A₁, A_n попарно несовместны. Однако в этих определениях элементарные события предполагаются равновозможными.

А.Н. Колмогоров отказался от предположения равновозможности элементарных событий, ввел сигма-алгебру событий и распространил третье свойство на счетное число событий. Это дало возможность дать аксиоматическое определение вероятности события.

Аксиоматическое определение вероятности (по А.Н.Колмогорову).

Вероятностью P(A) называется числовая функция, заданная на сигма - алгебре событий, удовлетворяющая трем аксиомам:

P(A₁+ …+A_n+ …) = P(A₁) + …+P(A_n) +…

(счетная аддитивность).

Итак, по А.Н. Колмогорову вероятность (вероятностная мера) это числовая неотрицательная нормированная счетно - аддитивная функция (множества - события), заданная на сигма - алгебре событий.