Домашнее задание. Электростатика / Elektrostatika.doc

МГТУ им. Н.Э. Баумана

ЭЛЕКТРОСТАТИКА

Разобранные задачи по физике

3 семестр

2become1

ICQ: 723124

Москва, 2002

Задача 1.1

Вариант 1

Условие:

Сферический конденсатор имеет радиусы внешней и внутренней обкладок R₁ и R₀ соответственно. Заряд конденсатора равен q. Величина диэлектрической проницаемости между обкладками меняется по линейному закону от значения ε₁ до ε₂ в интервале радиусов от R до R₁ и ε₃=const в интервале радиусов от R₁ до R₀ (R1=½(R₀+R)). Построить графически распределение модулей векторов электрического поля E, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектриков, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ'(r), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора.

ε₂/ε₁=2/1; ε₃/ε₁=2/1; R₀/R=2/1

По результатам вычислений построить графически зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R), P(r)/P(R), ρ'(r)/ρ'(R) в интервале значений r от R до R₀.

Решение:

Определим диэлектрическую проницаемость, как функцию радиуса

Для данного варианта .

По теореме Гаусса

и не зависит от диэлектрической проницаемости ε

.

Т.к. , то .

Поэтому , поэтому .

Т.к. , а , то ,

поэтому

Определим поверхностную плотность связанных зарядов

, где - косинус угла между нормалью между рассматриваемой поверхностью и поляризованностью, для внутренней поверхности , а для внешней поверхности .

Тогда .

Поэтому , а .

Объёмная плотность связанных зарядов , для полярных координат .

Для определения ёмкости вычислим напряжение на его обкладках

Поэтому

Вариант 2

Условие:

Сферический конденсатор имеет радиусы внешней и внутренней обкладок R₁ и R₀ соответственно. Заряд конденсатора равен q. Величина диэлектрической проницаемости между обкладками меняется по линейному закону от значения ε₁ до ε₂ в интервале радиусов от R до R₁ и ε₃=const в интервале радиусов от R₁ до R₀ (R1=½(R₀+R)). Построить графически распределение модулей векторов электрического поля E, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектриков, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ'(r), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора.

ε₂/ε₁=2/1; ε₃/ε₁=1/2; R₀/R=3/1

По результатам вычислений построить графически зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R), P(r)/P(R), ρ'(r)/ρ'(R) в интервале значений r от R до R₀.

Решение:

Определим диэлектрическую проницаемость, как функцию радиуса

Для данного варианта .

По теореме Гаусса и не зависит от диэлектрической проницаемости ε,

. Т.к. , то .

Поэтому , .

Т.к. , а , то

поэтому .

Определим поверхностную плотность связанных зарядов

, где - косинус угла между нормалью между рассматриваемой поверхностью и поляризованностью, для внутренней поверхности , а для внешней поверхности .

Тогда .

Поэтому , а .

Объёмная плотность связанных зарядов , для полярных координат .

Поэтому .

Для определения ёмкости вычислим напряжение на его обкладках

Поэтому .

Вариант 3

Условие:

Сферический конденсатор имеет радиусы внешней и внутренней обкладок R₁ и R₀ соответственно. Заряд конденсатора равен q. Величина диэлектрической проницаемости между обкладками меняется по линейному закону от значения ε₁ до ε₂ в интервале радиусов от R до R₁ и ε₃=const в интервале радиусов от R₁ до R₀ (R1=½(R₀+R)). Построить графически распределение модулей векторов электрического поля E, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектриков, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ'(r), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора.

ε₂/ε₁=2/1; ε₃/ε₁=3/2; R₀/R=2/1

По результатам вычислений построить графически зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R), P(r)/P(R), ρ'(r)/ρ'(R) в интервале значений r от R до R₀.

Решение:

Определим диэлектрическую проницаемость, как функцию радиуса

Для данного варианта .

По теореме Гаусса

и не зависит от диэлектрической проницаемости ε,

. Т.к. , то .

Поэтому , .

Т.к. , а , то ,

поэтому

Определим поверхностную плотность связанных зарядов

, где косинус угла между нормалью между рассматриваемой поверхностью и поляризованностью, для внутренней поверхности , а для внешней поверхности .

Тогда .

Поэтому , а .

Объёмная плотность связанных зарядов , для полярных координат .

Поэтому .

Для определения ёмкости вычислим напряжение на его обкладках

Поэтому

Вариант 4

Условие:

Сферический конденсатор имеет радиусы внешней и внутренней обкладок R₁ и R₀ соответственно. Заряд конденсатора равен q. Величина диэлектрической проницаемости между обкладками меняется по линейному закону от значения ε₁ до ε₂ в интервале радиусов от R до R₁ и ε₃=const в интервале радиусов от R₁ до R₀ (R1=½(R₀+R)). Построить графически распределение модулей векторов электрического поля E, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектриков, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ'(r), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора.

ε₂/ε₁=1/2; ε₃/ε₁=3/1; R₀/R=3/1

По результатам вычислений построить графически зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R), P(r)/P(R), ρ'(r)/ρ'(R) в интервале значений r от R до R₀.

Решение:

Определим диэлектрическую проницаемость, как функцию радиуса

Для данного варианта .

По теореме Гаусса

и не зависит от диэлектрической проницаемости ε,

.

Т.к. , то .

Поэтому , .

Т.к. , а , то ,

поэтому .

Определим поверхностную плотность связанных зарядов

, где - косинус угла между нормалью между рассматриваемой поверхностью и поляризованностью, для внутренней поверхности , а для внешней поверхности .

Тогда .

Поэтому , а .

Объёмная плотность связанных зарядов , для полярных координат .

Поэтому

Для определения ёмкости вычислим напряжение на его обкладках

Поэтому

Вариант 5

Условие:

Сферический конденсатор имеет радиусы внешней и внутренней обкладок R₁ и R₀ соответственно. Заряд конденсатора равен q. Величина диэлектрической проницаемости между обкладками меняется по линейному закону от значения ε₁ до ε₂ в интервале радиусов от R до R₁ и ε₃=const в интервале радиусов от R₁ до R₀ (R1=½(R₀+R)). Построить графически распределение модулей векторов электрического поля E, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектриков, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ'(r), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора.

ε₂/ε₁=1/2; ε₃/ε₁=1/2; R₀/R=2/1

По результатам вычислений построить графически зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R), P(r)/P(R), ρ'(r)/ρ'(R) в интервале значений r от R до R₀.

Решение:

Определим диэлектрическую проницаемость, как функцию радиуса

Для данного варианта .

По теореме Гаусса

и не зависит от диэлектрической проницаемости ε,

. Т.к. , то .

Поэтому , .

Т.к. , а , то ,

поэтому .

Определим поверхностную плотность связанных зарядов

, где - косинус угла между нормалью между рассматриваемой поверхностью и поляризованностью, для внутренней поверхности , а для внешней поверхности .

Тогда .

Поэтому , а .

Объёмная плотность связанных зарядов , для полярных координат .

Поэтому .

Для определения ёмкости вычислим напряжение на его обкладках

Поэтому

Вариант 6

Условие:

Сферический конденсатор имеет радиусы внешней и внутренней обкладок R₁ и R₀ соответственно. Заряд конденсатора равен q. Величина диэлектрической проницаемости между обкладками меняется по линейному закону от значения ε₁ до ε₂ в интервале радиусов от R до R₁ и ε₃=const в интервале радиусов от R₁ до R₀ (R1=½(R₀+R)). Построить графически распределение модулей векторов электрического поля E, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектриков, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ'(r), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора.

ε₂/ε₁=1/2; ε₃/ε₁=2/1; R₀/R=3/1

По результатам вычислений построить графически зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R), P(r)/P(R), ρ'(r)/ρ'(R) в интервале значений r от R до R₀.

Решение:

Определим диэлектрическую проницаемость, как функцию радиуса

Для данного варианта .

По теореме Гаусса

и не зависит от диэлектрической проницаемости ε,

. Т.к. , то .

Поэтому , .

Т.к. , а , то ,

поэтому .

Определим поверхностную плотность связанных зарядов

, где - косинус угла между нормалью между рассматриваемой поверхностью и поляризованностью, для внутренней поверхности , а для внешней поверхности .

Тогда .

Поэтому , а .

Объёмная плотность связанных зарядов , для полярных координат .

Поэтому .

Для определения ёмкости вычислим напряжение на его обкладках

Поэтому

Задача 1.2

Вариант 7

Условие:

Сферический конденсатор имеет радиусы внешней и внутренней обкладок R₁ и R₀ соответственно. Заряд конденсатора равен q. Величина диэлектрической проницаемости между обкладками меняется по закону от значения ε(r)=f(r). Построить графически распределение модулей векторов электрического поля E, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность зарядов на внутренней и внешней поверхностях диэлектриков, распределение объёмной плотности связанных зарядов ρ'(r), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора.

R₀/R=2/1, n=2.

По результатам вычислений построить графически зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R), P(r)/P(R), ρ'(r)/ρ'(R) в интервале значений r от R до R₀.

Решение:

. Определим диэлектрическую проницаемость, как функцию радиуса

По теореме Гаусса

и не зависит от диэлектрической проницаемости ε.

.

Т.к. , то .

Поэтому . .

Т.к. , а , то , поэтому

.

Определим поверхностную плотность связанных зарядов

, где - косинус угла между нормалью между рассматриваемой поверхностью и поляризованностью, для внутренней поверхности , а для внешней поверхности . Тогда

. Поэтому

, а

Объёмная плотность связанных зарядов , для полярных координат ,

Поэтому

Для определения ёмкости вычислим напряжение на его обкладках

Поэтому .