Конспект лекций по курсу "Квантовая механика" / Kvantovaya mexanika.doc

УДК 621.735

Данные лекции издаются в соответствии с учебным планом по курсу общей физики (для всех специальностей).

Лекции рассмотрены и одобрены:

Кафедрой физики (М4-КФ) 4.12.2000 г.

протокол№ ….…………………

зав. кафедрой А.К. Горбунов.

методической комиссией Калужского филиала ……..

протокол № ……………………..

председатель методической комиссии В.Т. Дегтярев

Рецензент ……………………………

Авторы: д. ф-м. н, профессор

Горбунов Александр Константинович.

ст. преподаватель

Нехаенко Раиса Владимировна

Аннотация

Кафедра сочла целесообразным издать настоящий конспект лекций в качестве учебного пособия. Для студентов это предельно ясный путеводитель по квантовой механике.

©Калужский филиал МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2001г.

© Горбунов А.К. 2001 г.

© Нехаенко Р.В. 2001 г.

Содержание:

Шкала электромагнитных волн…………………………………..……………………………..5

Закон Стефана-Больцмана (1884)………………. ……………………………………………..8

Формула Планка……………..…………………………………………………………………..8

Некоторые характеристики фотоэффекта……………………………………………………..9

Механизм передачи энергии…………………………………………………………………..10

Корпускулярный механизм передачи энергии……………………………………………….10

Квантовое объяснение эффекта Комптона……………………………………………………12

Опыты по рассеянию -частиц. Формула Резерфорда. Ядерная модель атома.. …………14

Атом Бора.. ……………………………………………………………………………………..16

Линейчатые спектры атомов…………………………………………………………………..18

Постулаты Бора…………………………………………………………………………………19

Гипотеза де Бройля (1923 г.)… ………………………………………………………………..19

Состояние микрочастицы………………………………………………………………………20

Границы применимости классической механики…………………………………………….20

Дифракция микрочастиц. Опыт Девисона и Джермера. …………………………………….20

Принцип неопределенности Гейзенберга…………………………………………………….20

Уравнение Шредингера………………………………………………………………………..21

Свойства уравнения Шредингера……………………………………………………………..22

Стационарное уравнение Шредингера………………………………………………………..22

Задача о стационарных состояниях в квантовой механике. ………………………………...22

Частица в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. …………..23

Частица в прямоугольном трехмерном потенциальном ящике. ……………………………25

Понятие о вырождении энергетических уровней. …………………………………………...25

Одномерный потенциальный барьер. ………………………………………………………...26

Гармонический осциллятор. Фотоны. ………………………………………………………..31

Математический аппарат квантовой механики. ……………………………………………..32

Основные операторы квантовой механики. ………………………………………………….34

Собственные значения и собственные функции операторов квантовой механики. ………34

Средние значения физических величин. ……………………………………………………..35

Условия возможности одновременного измерения разных механических величин. ……..36

Соотношения неопределенностей. ……………………………………………………………37

Свободная частица……………………………………………………………………………..37

Движение в центральном поле.. ………………………………………………………………39

Собственные функции и собственные значения оператора проекции момента количества движения. ………………………………………………………………………………………41

Уравнения Шредингера для атома водорода. ………………………………………………..44

Решение простейших задач в сферических координатах. …………………………………..51

Правила отбора. ………………………………………………………………………………..55

Идея квантования для объяснения законов теплового излучения, фотоэффекта и спектральных закономерностей. Гипотеза Планка, дискретный характер излучения и поглощения электромагнитного излучения веществом. Квантовое объяснение законов фотоэффекта эффекта Комптона. Опыты по рассеянию -частиц, формула Резерфорда. Ядерная модель атома. Линейные спектры атомов. Постулаты Бора.

Решения этих уравнений:

Волна распространяется вдоль оси со скоростью .

A - амплитуда, T - период ()

- фаза

Или - где

- волновое число,

путь, пройденный волной за время одного периода.

Шкала электромагнитных волн

Видимый свет:

м или 0.75 - 0.4 мкм.

Оптическое излучение: видимое излучение, ультрафиолетовое и инфракрасное излучение.

Излучение тел происходит:

Тепловое излучение.

Это испускание электромагнитных волн за счет внутренней энергии тел.

Остальные излучения (свечения) за счет любого вида энергии, кроме внутренней (тепловой), называется люминесценцией. Химилюминесценция, электролюминесценция, катодолюминесценция, фотолюминесценция.

Тепловое излучение происходит при любой температуре. При невысоких температурах излучаются лишь инфракрасные волны. На рис.1 излучающее тело окружили оболочкой с идеально отражающей поверхностью (r - коэффициент отражения равен 1). Происходит непрерывный обмен между телом и заполняющим оболочку излучением. Излучение равновесное - то есть распределение энергии между телом и излучением остается неизменным.

Единственное тепловое излучение может находиться в равновесии с излучающим телом, это обусловлено тем, что его интенсивность возрастает при повышении температуры.

Основные характеристики:

Интенсивность теплового излучения характеризуется потоком энергии, измеряемой в ваттах.

Энергетическая светимость

- поток энергии, испускаемой единицей поверхности в интервале частот .

где - испускательная способность тела, функция частоты температуры тела.

Как так зависят от температуры.

Энергетическая (или испускательная) светимость равна:

Излучение можно характеризовать вместо частоты длиной волны . Участку будет соответствовать интервал длин волн .

, так как

Продифференцируем это

Знак « - »показывает, что с возрастанием или , другая величина убывает.

Доля энергетической светимости, приходящая на интервал

Если и - один и тот же участок спектра,

,

то есть ;

С помощью этой формулы можно перейти от к и наоборот.

Пусть на элементарную площадку тела падает поток лучистой энергии

, где

- поглощательная способность тела, безразмерная величина.

- падающий поток лучистой энергии,

- поглощенная телом часть этого потока

- серое тело,

- абсолютно чёрное тело.

Закон Кирхгоффа (1859)

Отношение испускательной способности тела к поглощательной способности тела не зависит от природы тела, есть универсальная для всех тел функция частоты и температуры.

Для абсолютно черного тела

;

- универсальная функция Кирхгоффа есть не что иное, как испускательная способность абсолютно черного тела.

При теоретических исследованиях для характеристики спектрального состава равновесного теплового излучения, удобно пользоваться функцией частоты . В экспериментальных -

Обе функции связаны друг с другом

Абсолютно черных тел в природе не существует.

Малое отверстие в полости близко по своим характеристикам к а. ч. т. Практически все излучение частицы поглощается в полости по закону Кирхгоффа

где T - температура стенок.

Из отверстия выходит излучение, близкое по спектральному составу к излучению а. ч. т. при той же температуре. Разлагая это излучение в спектр при помощи дифракционной решетки и измеряя интенсивность различных участков спектра, можно построить график функции .

Кривые, относящиеся к различным значениям температуры T абсолютно черного тела.

Площадь под кривой дает энергетическую светимость а. ч. т. при соответствующей температуре, которая сильно возрастает при увеличении температуры.

В равновесном состоянии энергия излучения будет распределена в объеме полости с определенной плотностью .

Спектральное распределение этой энергии характеризуется функцией , определенной условием

,

где - доля плотности энергии приходящаяся на интервал частот

Полная плотность энергии равна:

Экспериментально получили

Эта формула связывает испускательную способность а. ч. т. с равновесной плотностью энергии. Max испускательной способности а. ч. т. с увеличением температуры смещается в сторону более коротких волн . С классической точки зрения на излучение были получены законы в поисках универсальной функции Кирхгоффа.

Закон Стефана-Больцмана (1884)

где - спектральная плотность излучения,

- интегральная испускательная способность излучения а. ч. т., пропорциональная

- постоянная Больцмана.

Длина волны, соответствующая максимуму светимости а. ч. т. обратно пропорциональна абсолютной температуре.

Интеграл расходится, т.е. был получен абсурдный результат, что было названо «ультрафиолетовой катастрофой».

Формула Планка (1900)

Для устранения этой катастрофы Планк выдвинул гипотезу:

Атомные осцилляторы излучают энергию только определенными порциями - квантами.

Он нашел вид функции , которая в точности совпадает с экспериментальными кривыми.

, где - энергия кванта излучения. Для света квант излучения Эйнштейном был назван фотоном.

- энергия фотона

- постоянная Планка

- число фотонов излучения

Закон определяет энергию, приходящую на фотоны с частотами от до , для излучения в объеме

- спектральная плотность энергии

g- число возможных проекций спина на направление внешнего поля

, где

Для электрона

Число возможных проекций спина на заданное направление , тогда для электрона .

Из формулы Планка выводится все другие законы теплового излучения.

Закон смещения Вина

;

При этих плотность получения максимальна.

Закон излучения Вина

В предельном случае

Закон Стефана-Больцмана

Интегрируя формулу Планка

По всем частотам, находим полную энергию излучения, содержащуюся в объеме V=1 м³

Мощность, излучаемая в единичный телесный угол в направлении нормали к 1 м² черной излучающей поверхности в полосе частот от до , называется спектральной плотностью потока энергии, . Спектральная плотность энергии и спектральная плотность потока энергии связаны отношением

; где n₀ - показатель преломления

Мощность излучения

Испускаемая с 1 м² излучающей поверхности в полупространство, для случая n₀=1, определяется законом излучения Стефана-Больцмана;

Закон Релея-Джинса

В предельном случае

Квантовое объяснение фотоэффекта

Фотоэлектронную эмиссию проявляют лишь некоторые вещества, такие как натрий и калий с работой выхода около 1 эв.

Некоторые характеристики фотоэффекта

Рис. 1. В фотоэлектронной эмиссии независимо от интенсивности падающего света вплоть до величины 10^-10 Вт/м² время нарастания тока с момента получения до установившегося значения составляет не более 10^-9 с.

В термоэлектронной эмиссии с площади 3 см² при подведении мощности 3 Вт(~10⁴ Вт/м²)

Рис. 2. Для заданной частоты падающего света существует определенная максимальная кинетическая энергия выбитых электронов, значение которой не зависит от интенсивности падающего света. В термоэлектронной эмиссии, чем больше подводимая мощность T₁, тем, больше максимальная кинетическая энергия электронов.

Рис. 3. В фотоэлектронной эмиссии максимальная кинетическая энергия электронов имеет линейную зависимость от частоты падающего света. Эта зависимость одна и та же для всех веществ. Пороговая частота, при которой значение спадает до нуля (прекращается фототок) для различных веществ, различна. Ниже пороговой частоты фототок не наблюдается ни при каких значения интенсивности света.

При термоэлектронной эмиссии, энергия электронов зависит только от полной подводимой энергии. Поэтому кинетическая энергия электронов не должна бы зависеть от частоты получения и не должно существовать пороговой частоты.

Теория противоречит экспериментальным данным.

Доподлинно известно, что:

Механизм передачи энергии

Может осуществляться либо посредством частиц, либо посредством волн.

Энергия излучения распределена по волновому фронту, она равномерно распределится между тремя электронами так, что ни один из них не сможет вылететь из металла, хотя каждого возрастает. Все электроны остаются связанными.

Корпускулярный механизм передачи энергии

Энергия, переносимая частицами поступает «порциями» и она может быть передана одному электрону, который вылетает из металла. Это объясняет все свойства перечисленные ранее. Эксперимент с фотоэффектом указывает, что свет ведет себя подобно току частиц. Облучая светом объект, бомбардируют и дождем быстрых частиц.