Конспект лекций по курсу "Магнитные свойства атомов" / Magnitnye svoistva atomov.doc

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана.

Калужский филиал.

А. К. Горбунов, Р. В. Нехаенко.

Конспект лекций по курсу

“Магнитные свойства атомов ”.

Калуга 2000г.

УДК 621.735

Данные лекции издаются в соответствии с учебным планом по курсу общей физики (для всех специальностей).

Лекции рассмотрены и одобрены:

Кафедрой физики (М4-КФ) 4.12.2000 г.

протокол№ ….……………….

зав. кафедрой А.К. Горбунов.

методической комиссией Калужского филиала ……………………………………

протокол № …………………..

председатель методической комиссии В.Т. Дегтярев

Рецензент ……………………………

Авторы:

д. ф-м. н, профессор

Горбунов Александр Константинович.

ст. преподаватель

Нехаенко Раиса Владимировна

Аннотация

Кафедра сочла целесообразным издать настоящий конспект лекций в качестве учебного пособия. Для студентов это предельно ясный путеводитель по квантовой механике.

©Калужский филиал МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2001г.

© Горбунов А.К. 2001 г.

© Нехаенко Р.В. 2001 г.

Содержание:

Магнитные свойства атомов

Все вещества (твердые, жидкие, газ, плазма) взаимодействуют с внешним электромагнитным полем. Это значит, изолированные атомы обладают магнитными свойствами. Этот раздел и посвящен изучению магнитных свойств.

§1.Орбитальный магнитный момент электрона.

Наличие у атома этих свойств следует из представлений теории Бора.

Электрон, вращающийся по орбите ядра атома, эквивалентен контуру с током. Такой контур с током должен обладать магнитным моментом и, следовательно, должен вести себя в магнитном поле как подобно магнитному диполю. Определим орбитальный момент электрона: магнитный момент контура с током I равен

μ = I·S / C. (1)

I = e· V = e / T (2)

где С = 3 · 10⁸ см/с, I - сила тока (в электростатических единицах), S - площадь контура. S = π · r².

μ_l = l / (C) · νπr² = l / (2mC) · mr²ω, (3)

где ω = 2·π·ν, μ_l - орбитальный магнитный момент электрона. Орбитальный момент количества движения

|_l| = m · ν · = m · r² · ω (4)

где V = ω · r. Электрон, движущийся по орбите, эквивалентен контакту с током, сила которого I = eν = e / T (1). Подставляем (4) в (3), получаем

_l = e / (2mC) · _l (5).

Теперь в чисто классические рассуждения внесем квантовую поправку, учтем, что согласно квантовой механике орбитальный момент количества движения электрона _l равен:

|_l| = h / 2 π = (6).

Тогда

_l = e · h / 4π (7),

где l = 0, 1, 2, 3,…, n-1. Обозначим eh / (4πmC) = μ₀ и l(l+1) = l^*, получим

_l = μ₀ · l^* (8),

где μ₀ - магнетон Бора, служит единицей измерения атомных и молекулярных магнитных моментов и численно равен

μ₀ = eh / (4πC) = 9,23 · 10^-21 (9).

Так как заряд электрона отрицателен, то орбитальный магнитный момент электрона направлен в сторону, противоположную направлению вектора его орбитального момента количества движения _l.

Если атом находится во внешнем магнитном поле, то т.к. электрон обладает орбитальным магнитным моментом, векторы магнитного момента _l и момента количества движения _l займут по отношению к магнитному полю H определенное положение в пространстве.

Согласно квантовой механике проекции вектора _l на какое-либо заданное направление, в том числе и направление магнитного поля, могут быть только равными

P_lH = P_l cos (_l ) = h / (2π) · l ^* · Cos (_l ) = h / (2π) · m_l (10),

где m_l = ,…, , т.е. принимает 2l + 1 значений. Согласно (10) возможно углы между _l и определяют равенством

Cosα = Cos (_l ) = m_l / l = m_l / l(l+1) (11).

Возможные ориентации вектора _l (P_l = р / (2π) ·) в магнитном поле.

При данном орбитальном квантовом числе 1 магнитное орбитальное квантовое число m_l может принять любое из 2l + 1 значений и, следовательно, для данного _l может существовать 21+1 проекций вектор _l на направление магнитного поля. Для случая 1=2 показано на рисунке 1.

Возможные проекции орбитального момента μ_l H на направлении поля :

μ_lH = μ_l Cos (_l ) = μ₀ l ^* (m_l / l ^* ) = μ₀ m_l = eh / (4πmC) m_l (12)

кратны магнетону Бора.

Важной характеристикой магнитного поля микросистем является так называемое “гидромагнитное” (магнитномеханическое) отношение, величины магнитного момента к величине соответствующего механического момента микросистемы. Согласно (6) и (7) для орбитальных магнитного и механического моментов гидромагнитное отношение

γ_l = μ_l / P_l = e / 2mC (13)

В магнитном поле, ввиду наличия орбитального магнитного момента, атом ведет себя как диполь и обладает дополнительной энергией ΔΕ магнитного взаимодействия. Эта потенциальная энергия взаимодействия магнитного момента μ_l с внешним магнитным полем равна

ΔΕ = (_l ) = μ_l Н Cos(_l ) = μ₀ l ^* H (m_l) / l ^* = μ₀ H m_l (14).

Приведенные рассуждения не совсем последовательны. Они полуклассические: в одних случаях привлекались понятия классической физики, в других - квантовой механики. Это делалось, исходя из соображений наглядности и простоты расчетов. Тот же самый результат можно получить на основе строгих квантово - механических рассуждений. При квантово - механических расчетах необходимо учесть, что при своем движении электрон “размазан” в пространстве около ядра, т.е. необходимо учесть пространственное распределение заряда. Поэтому нужно вычислить не линейный, а объемный ток. При этом вычисления показывают, что ни вдоль радиуса, ни вдоль меридианов, никакого тока нет. Они приводят к выводу, что ток течет только по широтам, как если бы мы имели дело с электроном, вращающимся в плоскости перпендикулярной оси вращения. Таким образом, квантово - механические вычисления также приводят к заключению о круговом линейном токе.

Это обстоятельство объясняет совпадения полуклассических рассуждений с квантово - механическими расчетами.

§2. Собственный магнитный момент электрона.

Электрон помимо массы покоя m₀ заряда 1 обладает собственным моментом качества движения - _s и собственным магнитным моментом _s.

Электрон обладает орбитальным моментом качества движения _l спином и орбитальным магнитным моментом _l.

Величины механических моментов и их проекций определяются соотношениями:

где 1 = 0, 1, 2, 3,…, n-1;

где m_l = , т.е. m_l принимает 2l+1 значений;

Орбитальный магнитный момент электрона равен μ_l = μ₀ l ^*, где l ^* = .

На основании вышеприведенных соотношений для _l, _s, P_lH, P_lH и для μ₁ естественно предположить, что собственный магнитный момент электрона равен

μ_S = μ₀ S ^*.

Однако, вся совокупность экспериментальных факторов, с рядом из которых мы вскоре познакомимся, указывает на то, что собственный магнитный момент электрона вдвое больше этой величины, т.е. собственный магнитный момент электрона μ_S равен

μ_S = 2μ₀ S ^* (15), где S ^* = .

Т.к. заряд электрона отрицательный, то его собственный магнитный момент _s направлен в сторону, противоположную направлению спина _s.

Отношение собственного магнитного момента электрона к его спиновому механическому моменту _s (гиромагнитное отношение) равно

_s = _s / P_s = 2e / 2mC (16),

т.е. вдвое больше чем гиромагнитное отношение _l для орбитальных моментов электрона.

Во внешнем магнитном поле векторы собственного магнитного момента _s и спина _s электрона займут по отношению к полю вполне определенное положение, т.е. они могут относительно поля ориентироваться только вполне определенным образом. Проекция спина на какое-либо направление, в том числе и направлении внешнего магнитного поля , может только равняться либо (+ ½ · h / 2π) либо (- ½ · h / 2π), т.е. вектор _s, изображающий спин электрона, может иметь только два направления относительно поля (он либо параллелен, либо не параллелен полю). Отсюда следует, что проекция собственного магнитного момента электрона _s H на направление внешнего магнитного поля H равна

_SH = _s Cos (_s ) = 2 ₀ S^* (m^*/S^*) = 2 ₀ m_s (17),

где m_s = 1/2, Cos (_s ) = m_s / S.

Энергия взаимодействия собственного магнитного момента электрона с внешним полем равна

ΔΕ = (_s ) = _s H Cos (_s ) = 2 ₀ H m_s (18)

Из (14) и (18) следует, что энергия взаимодействия = μ_l и μ_S с внешним магнитным полем по порядку величины будет ΔΕ ~ μ₀ H.

Отсюда для H = 10⁴ э, ΔΕ ~ 5 · 10^-5 эв, т.е. энергия взаимодействия μ_l и μ_S с H⁴ ~ 10 э меньше энергии - взаимодействия для низко расположенных уровней.

ΔΕ_lS ~ 1/n³.

Существование механического (спина) и магнитного моментов у электрона и объяснение их свойств вытекает из релятивистской квантовой механики, из основного ее уравнения - уравнения Дирака. В частности, из релятивистской квантовой механики следуют соотношения (15), (16), (17), справедливость которых, как и существование спина, подтверждается экспериментами.

В экспериментах обычно подтверждается не сам магнитный момент микросистемы, а его проекция. Согласно (17), сколько m_s = 1/2, проекция собственного магнитного момента электрона по абсолютной величине равна одному магнетону Бора

_s H = 2 m₀ m_s = _0.

Часто под собственным магнитным моментом электрона подразумевают не его значение (15), а значение его проекции (17) и говорят, что электрон обладает магнитным моментом, равным по абсолютной величине одному магнетону Бора.

§3. Полный магнитный момент одноэлектронного атома.

До сих пор мы рассматривали поведение орбитального _l и спинового _S магнитных моментов электрона во внешнем магнитном поле в предположении отсутствия взаимодействия между ними. Однако, в отсутствии внешнего магнитного поля между этими моментами существует взаимодействие, в результате которого имеют место взаимодействия между орбитальным _l и спиновым _s моментами количества движения электрона (l_s - взаимодействие). При этом векторы _l и _s прецессируют относительно вектора полного момента количества движения _J численно равного

|_J | = (h / 2π) , (19)

где внутренне квантовое число j принимает одно из значений j = l+s; l1;… …(l-s).

Схема суммирование векторов _l и _s.

|_l| = (h / 2π) =l^*,

|_s| = (h / 2π) =S^*,

|_J| = (h / 2π) =j^*.

Схема суммирование векторов _l и _S.

Причем проекция полного момента количества движения_J, на какое-либо направление равна _JZ = (h / 2π) mj, где m_j = j; j-1; ……, -j, т.е. m_J принимает 2j+1 значений. Т.к. у электрона помимо моментов _l и _s есть еше магнитные моменты: орбитальный _l и собственный _S, направленный противоположно соответствующим моментам количества движения, то рис.2 необходимо дополнить векторами _l и _S (см. рис. 3)_. При этом необходимо учесть, что отношение μ_S / P_S вдвое больше отношения μ₁ / P₁. Поэтому, если на рис. 3 вектор _l изобразить равным по длине вектору _l, то в том же масштабе длина вектора μ_S должна быть в два раза больше длины вектора _s, рис.3 выполнен с учетом этого обстоятельства. Из рис. видно, что вследствие того что, μ_S / P_S μ₁ / P₁ направление вектора результирующего магнитного момента ( = μ_S+μ₁ - полного магнитного момента атома) не совпадает с направлением вектора полного магнитного момента количества движения _J. Векторы _l и _s прецессируют вокруг направления того же вектора.

Усредненное значение перпендикулярных составляющих обоих магнитных моментов за прецессии будет равно нулю, т.к. эти составляющие непрерывно меняют свое направление в пространстве.

Т.о., эффективный полный магнитный момент одноэлектродного атома будет равняться сумме параллельных составляющих векторов _l и _S, т.е. будет равен вектору _J. Следовательно, полный магнитный момент атома (в отсутствии внешнего магнитного поля) равен (см. рис. 3).

_J = μ₁ Cos (_{l J}) + μ_S Cos (_{S J}) (21)

|_l| = (h / 2π) l^*; |_l| = ₀ l^*;

|_J| = (h / 2π) j^*; |_S| = ₀ S^*;

|_S| = (h / 2π) S^*;

На рисунке 3, на основании известной тригонометрической формулы, следует, что

Cos (_{l J}) = (l (l +1) + j (j +1) - s (s + 1)) / 2

Cos (_{S J}) = (s (s +1) + j (j +1) - l (l + 1)) / 2 (22)

Подставляя (8), (15), (22) в (21), получим

μ_J = μ₀ (3 j (j + 1) + s (s +1) - l (l + 1)) / (2) (23)

Умножая числитель и знаменатель на , приводим выражение (23) к виду

μ_J = μ₀ {1 + (j (j + 1) + s (s + 1) - l (l + 1)) / 2j (j + 1)} (24)

Величина g = 1 + (j (j + 1) + s (s + 1) - l (l + 1)) / 2j (j + 1) (25)

Называется множителем (фактором) Ланде, во многих явлениях играет важную роль.

Т.о. магнитный момент атома равен

μ_J = μ₀g = μ₀g j^* (26)

Если поместить атом в “слабое” магнитное поле, “слабое” настолько, чтобы взаимодействие моментов _l и _S между собой было значительно больше их взаимодействия с внешним магнитным полем. То есть в этом случае атом будет вести себя в поле как магнитный диполь с моментом, равным _l. Причем этот момент будет ориентирован относительно поля определенным образом. А именно так, чтобы проекция вектора _J на направление поля принимала значения

P_JH = P_J Cos (_J) = h / 2πm_J, (27)

m_J = j, j-1, ……,- j. Cos (_J) = m_J / j^*.

И соответственно проекция магнитного момента атома μ_JH на направление внешнего магнитного поля будет равна.

μ_JH = μ_J Cos (_J) = μ_J (m_J / j^*) = μ₀gm_J (28)

Дополнительная потенциальная энергия взаимодействия магнитного момента атома с внешним магнитным полем будет равна

ΔΕ = (_l ) = μ_J H Cos (_J) = μ₀ g H m_J (29)

Векторы _l, _s, _J ориентируются определенным образом в пространстве относительно направления магнитного поля, что называется “пространственным квантованием“.

§4. Опыты Штерна и Герлаха.

На пролетающие через неординарное магнитное поле атомы будет действовать не только момент сил, стремящийся повернуть их магнитные моменты в направлении поля, но будет действовать отклоняющая сила, обусловленная неодинаковой напряженностью магнитного поля у полюсов атомного магнитного диполя.

Пусть m₀ - величина “магнитного заряда“, сосредоточенного в каждом из полюсов атомного магнитного диполя. H₁ и H₂ - напряженность магнитного поля в точках A и B. Сила, действующая на диполь со стороны поля в направлении OX, равна

F_X = F₂ - F₁ = m₀ (H₂ - H₁) = m₀ (dH / dx) dx.

dx = L cosα

F_X = m₀ L dH / dx Cosα,

μ = m₀ L - магнитный момент диполя.

F_X = μ dH / dx Cosα (30)

В зависимости от ориентации магнитного момента (угол α), диполь будет смещается вдоль оси ОХ (т.е. вдоль поля) либо в сторону увеличения напряженности магнитного поля.

Рис.5: если атомы обладают магнитными моментами, которые могут произвольно ориентироваться относительно поля, то узкий первоначальный пучок атомов, летящий вдоль оси OY, пересекая неоднородное магнитное поле, направленное вдоль оси OX, растянется в широкую (в направлении поля) полосу, в соответствии с произвольными значениями cosα в пределах