Билет 22
Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями r =1-cosf и r =1/2 (внутри кардиоиды и вне окружности ).
S=Sk-So , Sk - кардиоиды , So - окружности.
Sk=0∫π (1- cos f )2 df =0∫π (1-2 cos f + cos2 f ) df =0∫π df - 2 0∫π cos f df + 0∫π cos 2 2f df =
= f 0|π -2sin f 0|π + 0∫π (1/2 +(cos2f)/2) df = f0|π -2sin f 0|π + 1/2 f 0|π +1/4 sin2f0|π =
= π + π /2=3/2 π
So= πR2= π/4 S = 6/4 π - π/4 = 5/4 π
Проинтегрировать дифференциальное уравнение y''=y'/x - 1/2y при начальных условиях y(-2)=1 y'(-2)=0.
y''=y'/x - 1/2y p(x)=y' p'(x)=y''
p'=p/x - 1/(2p) - делим на p-1 pp'=p2 /x - 1/2
U=p2 U'=2pp' U'/2=U/x-1/2 U'/2=U/x
dU/U=2dx/x lnU=2lnx+c U=Cx2 U=C(x) X2
U'=2xC(x)+C'(x)x2 xC(x) + (C'(x)x2)/2=C(x)x- 1/2
C'(x)=-1/x2 C=1/x + C U=(1/2+C)x2 =p2
P=y'=Sqrt(x+xC) 1= Sqrt(1+C) C=0
Y=∫ Sqrt(x)dx = 2/3*x*Sqrt(x)+C2 2/3=2/3 + C2 C2=0