Домашнее задание (3 семестр) / Дз_УстойчивостьСжатыхСтеpжней/Ustoychivost_sgatyh_stergney.doc
Задание 2-2-3.
Энергетическим способом или способом интегрирования ДУ изгиба определить коэффициент приведения длины стойки постоянного поперечного сечения.
Определить размеры поперечного сечения стойки с помощью коэффициентов понижения ϕ, если: P=200 кН; l=3м; материал стойки- Сталь-3. Допускаемое напряжение: [σ]сж=160МПа; Величина отношения Lo/L=0,5.
Сечение.
d/D=0,8.
Решение.
1. Определим момент инерции сечения. Т.к. любая центральная ось- главная, то
и J=0.029D4.
Изогнутая ось стержня имеет вид:
Уравнение равновесия: m - Pf + Rl0 = 0, откуда получим:
R=(Pf-m)/l0.
Участок 1: ДУ изогнутой оси: EJminy1”=Pfz/l0 - mz/l0 - Py1. (1)
Участок 2: ДУ изогнутой оси:
EJminy2”=P(f - y2) -m . (2)
Положим α2=P/EJmin, β2=m/EJmin, уравнения (1) и (2) перепишем в виде:
y1” + α2y1 = z/l0 (α2f - β2) (11)
y2” + α2y2 = (α2f -β2) (21)
Решения этих ДУ имеют вид:
Положим λ0=αl0 , λ=αl , ξ=(β/α)2.
Граничные условия и условия сопряжения решений.
z=0 y1=0 => C1=0
z=l0 y1=0 => C2 sin(λ0 ) +f -ξ=0
z=l0 y2=0 => C3 cos(λ0) + C4 sin(λ0) -ξ +f=0
z=l y2=f => C3 cos(λ) + C4 sin(λ) -ξ=0
z=l0 y2'= y1' => αC2cos(λ0)+(f-ξ)/l0= -αC3sin(λ0)+αC4cos(λ0)
z=l y2'=0 => -αC3sin(λ)+αC4cos(λ)=0
Имеем систему пяти линейных однородных алгебраических уравнений относительно неизвестных C2 , C3 , C4 , f , ξ .
Чтобы система имела нетривиальное решение, необходимо равенство нулю определителя её матрицы detA=0:
Раскрыв определитель, получим:
Учитывая соотношение λ/λ0=2, перепишем полученное уравнение в виде:
Численно решив его методом хорд (метод Ньютона), получим приближенное значение λ0=2,2467.
По формуле Эйлера Pkp=π2EJmin/(μl)2, из соотношения α2=P/EJmin получим: (P/EJmin)l2/4=λ02, тогда коэффициент приведения μ=π/2λ0=0,699, что незначительно расходится с приближенным значением, равным 2/3.
Определяем размеры поперечного сечения стойки.
Расчет ведем по коэффициентам продольного изгиба (по ϕ)
Площадь поперечного сечения: A≥P/ϕ[σ]сж
Момент инерции сечения стойки определен ранее и равен:
J=0.029D4.
Гибкость стойки равна: λ=μl/imin , где imin- минимальный радиус инерции стержня.
imin=√J/A, А- площадь поперечного сечения стержня.
A=(πD2/4)(1-(d/D)2), т.к. d/D=0,8 то A=0,28D2.
1 приближение. ϕ1=0,6
A≥(200*103/0,6*160*106)=2,1*10-3 м2.
D=8,66*10-2 м. J=0,029*D4=1,63*10-6 м4.
imin=√J/A=0,028 м.
λ=μl/imin=75,24. Табличное значение
ϕ1табл=0,81-(0,81-0,75)/10=0,8 , что значительно отличается от предварительно принятого.
2 приближение.
ϕ2=(ϕ1+ϕ1табл)/2=0,7.
A≥1,786*10-3 м2. D=0,08 м. J=1,18*10-6 м4. imin=0,0257 м.
λ=81,6 ; ϕ2табл=0,75.
Напряжение в стержне: σ=P/A=112 МПа.
Допускаемое напряжение: σу=ϕтабл[σ]сж=120 МПа.
Отсюда следует, что стержень недогружен на 6,6%.
Внешний и внутренний диаметры стержня:
D=80 мм, d=64 мм.
Ответ: Коэффициент приведения стойки μ=π/2λ0=0,699.
Внешний и внутренний диаметры стержня:
D=80 мм, d=64 мм.
2