МатАн. ОТВЕТЫ 2017
.docx-
Модуль действительного числа и его свойства.
-
Модуль числа – абсолютная положительная величина числа.
Свойства
-
|a|=|-a|
-
|ab|=|a||b|
-
Модуль частного от деления a на b равен частному от деления модуля числа a на модуль числа b, то есть,
-
Модуль суммы двух чисел меньше суммы модулей этих чисел. |a+b||a|+|b|
-
Предел числовой последовательности.
-
Число A называется пределом числовой последовательности , если
Пишут:
-
Предел функции, теорема единственности предела.
-
(Коши)
-
Число называется пределом функции в точке , если:
-
Функция определена в некоторой проколотой окрестности точки
-
выполняется условие:
-
(Гейне)
-
Число называется пределом функции в точке , если:
-
Функция определена в некоторой проколотой окрестности точки
-
Для любой последовательности точек из некоторой проколотой окрестности точки , имеющей своим пределом , соответствующая последовательность значений функции имеет своим пределом число А
-
Если функция имеет предел в точке, то этот предел единственный.
-
Ограниченность функции, имеющей конечный предел.
-
Если функция имеет конечный предел в точке, то она ограничена в некоторой проколотой окрестности этой точки.
-
Предел суммы, произведения и частного функций.
-
Предел суммы
-
Предел произведения
-
Предел частного
-
Предельный переход в неравенствах.
Пусть в некоторой проколотой окрестности точки выполняется неравенство
f (x) g(x) . Тогда , если пределы существуют.
-
Свойства бесконечно больших и бесконечно малых величин. Сравнение бесконечно малых.
-
Функция называется бесконечно малой при если
-
Функция называется бесконечно большой при если
-
Свойства
-
Произведение бесконечно малой при на функцию, ограниченную в некоторой проколотой окрестности точки , является бесконечно малой при
-
Если – бесконечно малая при , не принимающая значение 0 в некоторой проколотой окрестности точки , то – бесконечно большая при
-
Если – бесконечно большая при , не принимающая значение 0 в некоторой проколотой окрестности точки , то – бесконечно малая при
-
Функция является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с при , если
-
Непрерывность основных элементарных и элементарных функций. Классификация точек разрыва.
-
основные элементарные функции:
-
степенные функции
-
показательные функции
-
логарифмические функции
-
тригонометрические функции
-
круговые (обратные тригонометрические) функции
-
Функция называется элементарной, если она может быть представлена через основные элементарные функции с помощью конечного числа операций
-
Основные элементарные функции непрерывны в области определения.
-
Точка, в которой функция не является непрерывной, называется точкой разрыва.
-
1) Функция f (x) имеет в точке xo устранимый разрыв, если выполняются условия 1–2, но не выполняется условие 3.
Точка а называется точкой устранимого разрыва функции, если предел функции в этой точке существует, но в точке а функция либо не определена, либо ее значение не равно пределу в этой точке
-
2) Функция f (x) имеет в точке xo разрыв I рода («разрыв скачка»), если выполняется только условие 1.
Точка а называется точкой разрыва первого рода функции, если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.
-
3) Функция f (x) имеет в точке xo разрыв II рода, если условие 1 не выполняется.
Точка а называется точкой разрыва второго рода функции. Точка а называется точкой устранимого разрыва функции, если в этой точке функция не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.
-
Теорема Коши о промежуточных значениях функции, непрерывной на отрезке.
Если функция f (x) непрерывна на промежутке X и её значения
f(a)=A, f(b)=B, то для любого числа C, заключённого между A и
B, существует точка x0X, в которой значение f(x0)=C
-
Теорема Вейерштрасса об ограниченности функции, непрерывной на отрезке.
-
Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на нём.
-
Теорема Вейерштрасса о достижении наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке.
-
Если функция непрерывна на отрезке, то среди её значений на этом отрезке есть наибольшее и наименьшее
-
Производная и дифференциал, дифференцирование функций.
-
Производная — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента.
-
дифференциал функции y = f(x) в точке x равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда x получит приращение .
-
Дифференцирование произведения функций.
-
Дифференцирование сложной функции.
-
Связь непрерывности и дифференцируемости функции.
Если функция y=f(x) дифференцируема на некотором интервале, то она и непрерывна на этом интервале. Но обратное утверждение НЕВЕРНО.