![](/user_photo/_userpic.png)
Методическое пособие 719
.pdf![](/html/70990/27/html_xgSefyCBlX.thKK/htmlconvd-5BZLLI111x1.jpg)
Рис. 1. Пример замкнутого контура «нечеткая модель летчика – модель системы управления – модель динамики полета самолет»
«Петля Нестерова» и «Вираж» (разворот) наиболее часто используются при маневрировании, а директорное управление – при заходе на посадку. Результаты этих исследований подробно отражены в [1, 4, 5].
В имитационном моделировании использовались модели динамики полета маневренного и неманевренного самолетов [3]. В качестве модели маневренного самолета использовалась Simulink-модель динамики полета самолета Су25СМ, а неманевренного – Ил-76 (рис. 2 и 3). Сравнение результатов полученных полунатурным моделированием с участием летчиков-экспертов и имитационным моделированием с использованием нечеткой модели управляющих действий летчика позволяют утверждать, что нечеткая модель летчика выполняет поставленные задачи пилотирования, при этом характер управления моделью схож с характером управления летчика как качественно, так и количественно (рис. 4).
Рис. 2. Simulink-модель динамики полета самолета Су-25СМ
Рис. 3. Simulink-модель динамики полета самолета Ил-76
110
![](/html/70990/27/html_xgSefyCBlX.thKK/htmlconvd-5BZLLI112x1.jpg)
Рис. 4. Отклонение ручки управления самолетом летчиком и нечеткой моделью при выполнении
«Петли Нестерова»
Выводы В результате выполненной работы созданы имитационные модели управ-
ляющих действий летчика с использованием нечеткой логики, применение которых обеспечивает моделирование динамики полета самолетов при решении различных целевых задач пилотирования.
Литература
1.Ивашков, С.С. Применение нечеткой логики для создания имитационной модели управляющих действий летчика / С.С. Ивашков, Д.В. Верещиков, В.А. Волошин, Д.В. Васильев // Труды МАИ. 2018. № 99. С. 13-36.
2.Ивашков, С.С. Нечеткая логика – способ моделирования управляющих действий летчика / С.С. Ивашков, Д.В. Васильев, В.А. Семёнов // Богатство России: Всероссийский форум научной молодежи (Москва, 10-11 декабря 2018 г.) сборник докладов, издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2019 – С. 10-11.
3.Разработка методических, алгоритмических и программных средств, обеспечивающих применение программно-моделирующих комплексов для исследования динамики полета самолета шифр «ВАСУ-2»: научно-технический отчет о НИР/ Д.В. Верещиков, П.С. Костин [и др.]. Воронеж: ВУНЦ ВВС «ВВА», 2016. 177 с.
4.Васильев, Д.В. Нечеткая модель действий оператора при директорном управлении летательным аппаратом в вертикальной плоскости / Д.В. Васильев, Д.В. Верещиков, А.В. Смольянов // XXXVII Всероссийская научно-техничес- кая конференция «Проблемы эффективности и безопасности функционирования сложных технических и информационных систем». Ч. 2. 2018. С. 105-109.
5.Васильев, Д.В. Модель управляющих действий летчика при директорном управлении самолетом в горизонтальной плоскости с использованием нечеткой логики / Д.В. Васильев, Д.В. Верещиков, А.В. Смольянов // «Авиакосмические технологии» (АКТ-2018): Тезисы XIX Международной научно-
технической конференции и школы молодых ученых, аспирантов и студентов.– Воронеж: ООО Фирма «Элист», 2018. – С. 169-172.
Военный учебно-научный центр ВВС «Военно-воздушная академия имени профессора Н. Е. Жуковского и Ю. А. Гагарина», Россия
111
УДК 629.735.33
Д.В. Ковальчук, А.Н. Сажин
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВРЕЖДАЕМОСТИ ПЛАНЕРА САМОЛЕТА ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ СРЕДСТВ ПОРАЖЕНИЯ
В статье рассматривается методика оценки воздействия средств поражения по самолёту, позволяющая производить обоснование конструктивно- компо-новочных и схемных решений по обеспечению боевой живучести, исследование и анализ повреждаемости элементов планера при различных условиях встречи средства поражения и самолета, в том числе и на ранних стадиях проектирования. Разработаны математические модели, позволяющие производить оценку боевой повреждаемости высоконагруженных элементов конструкции планера самолёта из полимерных композиционных материалов. Изложены принципы, положенные в разработку математических моделей по формированию пространственно-геометрической структуры самолёта, подрыва боевой части средства поражения с формированием поля поражающих элементов, накрытия самолёта поражающими элементами. Приведены примеры работы разработанных математических моделей.
Для обеспечения требуемых летно-технических характеристик (ЛТХ) современных боевых самолетов в конструкции высоко ответственных элементов планера широко применяются полимерные композиционные материалы (ПКМ). Подтвержденные в процессе испытаний ЛТХ самолета должны быть согласованы с проявляющимися при боевом применении его эксплуатационными свойствами, особенно при воздействии по самолету средств поражения (СП). К таким свойствам стоит отнести боевую повреждаемость элементов планера из ПКМ, эксплуатационную прочность при наличии повреждений, а также ремонтопригодность таких конструкций в войсковых условиях. Учитывая критичность конструкций из ПКМ к ударным нагрузкам, сложным зависимостям характера повреждений от кинематических характеристик поражающего элемента, вопросам исследования этих свойств должно уделяться самое серьезное внимания. Кроме того, сложность и высокая стоимость создания физических моделей для проведения натурных экспериментов по обстрелу самолета вряд ли позволят учесть многовариантность условий встречи СП и самолета ввиду н а- личия большого количества случайных факторов, определяющих такое воздействие. Поэтому целесообразно применять имитационное моделирование, позволяющее наиболее полно и всесторонне рассмотреть процесс воздействия средств поражения по самолету.
Модели, описывающие процесс воздействия СП по самолету, должны учитывать особенности его аэродинамической и конструктивно-силовой компоновок, состав ЛТХ и особенности его боевого применения, состав характери-
112
![](/html/70990/27/html_xgSefyCBlX.thKK/htmlconvd-5BZLLI114x1.jpg)
стик боевой части (БЧ) применяемых СП, возможность функционирования самолета и СП в одном информационном поле.
В рамках решения задач работы был разработан комплекс математических моделей, позволяющих производить количественную оценку характеристик повреждаемости элементов планера самолета с возможностью получения индивидуальных кинематических характеристик поражающих элементов (ПЭ) из состава БЧ СП. Математические модели реализованы в Matlab/Simulink.
На рис. 1 показана структурная схема имитационной модели, описывающей процесс воздействия управляемого СП по самолету. В основу модели п о- ложены уравнения динамики полета СП и самолета относительно земной системы координат в условиях состоявшегося наведения методом пропорциональной навигации [1]. Результатом работы модели является массив возможных координат точек подрыва БЧ СП относительно самолета.
На рис. 2 представлена структурная схема имитационной модели по оценке повреждаемости планера самолета полем ПЭ СП.
Рис. 1. Структурная схема модели воздействия СП по самолету
113
![](/html/70990/27/html_xgSefyCBlX.thKK/htmlconvd-5BZLLI115x1.jpg)
Рис. 2. Структурная схема модели воздействия ПЭ по самолету
Самолет представляется трехмерной поверхностной моделью, созданной в CAD системе Autodesk Inventor. Поверхность модели самолета разбивается на n треугольных полигонов, каждая вершина которого представляется матрицей
вида |
1 |
12 |
22 |
32 |
|
|
|
|
, |
||||
|
12 |
22 |
32 |
|
|
|
|
|
= 12 |
22 |
32 |
|
где , , − координаты вершин полигона относительно самолета.
Таким образов модель самолета – это многомерный массив координат вершин элементарных полигонов, количество которых определяется задачами исследования и необходимой точностью получаемых результатов.
Формирование поля ПЭ реализуется путем равновероятного их распределения по поверхности БЧ с моделированием их разлета [2]. Положение ПЭ относительно БЧ определяется двумя углами: углом бросания – θПЭ и углом крена
– γПЭ, при этом на каждый ПЭ действуют силы тяжести и аэродинамического сопротивления. Таким образом формируется поле ПЭ и определяются их кинематические характеристики (координаты попадания, скорость при встрече, углы подхода) относительно центра масс самолета.
Определение факта попадания ПЭ в конструкцию планера самолета осуществляется методом трассировки луча [3], выпущенного из точки попадания ПЭ в геометрические обводы планера модели самолета (решается задача поиска точки пересечения прямой и плоскости).
На рис. 3 показаны результаты воздействия СП по самолету. Показаны точки попадания ПЭ в конструкцию планера. Некоторые результаты повреждаемости планера самолета, формализованные в табличном виде, показаны в таблице.
114
![](/html/70990/27/html_xgSefyCBlX.thKK/htmlconvd-5BZLLI116x1.jpg)
Рис. 3. Результат воздействия СП по самолету
Характеристики боевой повреждаемости
Координаты точек по- |
|
Угол |
|
Скорость |
||||||
|
подхода, |
|
встречи, |
|||||||
|
падания, м |
|
|
|
||||||
|
|
|
град |
|
м/с |
|||||
|
|
|
Киль |
|
левый |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
- |
|
|
1,24055 |
|
|
- |
|
49,0209 |
|
2235,91 |
4,4793 |
|
|
|
|
1,8482 |
|
|
|||
- |
|
|
2,04782 |
|
|
- |
|
38,1686 |
|
2023,16 |
4,3463 |
|
|
|
|
1,9135 |
|
|
|||
- |
|
|
0,50031 |
|
|
- |
|
62,9252 |
|
1974,5 |
4,2932 |
|
|
|
|
1,7842 |
|
|
Таким образом, разработанные модели позволяют производить оценку характеристик боевой повреждаемости самолета, с учетом особенностей во многом определяющих механику разрушения полимерных композиционных материалов и в дальнейшем производить оценку живучести элементов конструкции планера после воздействия средств поражения.
Литература
1.Левицкий, С.В. Динамика полета: учебник для слушателей и курсантов Военно-воздушной инженерной академии имени проф. Н.Е. Жуковского / С.В. Левицкий, Н.А. Свиридов. – М.: ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 2008.
–527 с.
2.Миропольский В.Ф. Авиационные боеприпасы: учебник для слушате-
лей и курсантов высших инженерных военно-учебных заведений ВВС / В.Ф. Миропольский, Е.В. Пырьев, В.В. Головенкин, С.В. Хрулин. – М.: ВУНЦ ВВС «ВВА им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», 2010. – 407 с.
3. Постников, М.М. Лекции по геометрии. Семестр I. Аналитическая геометрия: учеб. пособие для вузов / М.М. Постников. – 2-е изд., перераб. и доп. –
М.: Наука, 1986. – 416 с.
Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», Россия
115
![](/html/70990/27/html_xgSefyCBlX.thKK/htmlconvd-5BZLLI117x1.jpg)
УДК 681.3
А.А. Цветков
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КАК МЕТОД АНАЛИЗА ЭФФЕКТИВНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ В ПРОЕКТНОЙ ОРГАНИЗАЦИИ
Для анализа эффективности использования ПО в проектной организации необходимо создать математическую модель, которая бы позволяла рассчитать такие параметры, как среднее время ожидания получения лицензии, средняя очередь для получения ПО и другие [1]. Создание такого функционала обусловлено изменчивостью инвестиций в сферу закупки ПО со стороны организации. В какой-то момент может понадобиться сократить количество закупаемых лицензий. Для того чтобы посмотреть, как это решение отразится на работе подразделений, можно применить математическое моделирование.
Можно формализовать данную задачу в виде Q – схемы [2]. В соответствии с символикой Q-схем часть структурной схему данной СМО можно представить в следующем виде (см. рисунок).
Формализация задачи в виде Q ˗ схемы
Обозначения: И – источник, Н – накопитель, К – канал обслуживания заявок. Полностью показывать структурную схему ˗ нет практического смысла, которые отличаются только параметрами.
Источник – объект, порождающий поступление сообщений. Начальные условия:
–рассматриваемая в задаче система представляет собой систему массового обслуживания (СМО) с ожиданием;
–время поступления – это равномерно распределенная случайная величина, заданная в определенных интервалах;
–дисциплиной очереди для данной системы является FIFO - первый пришел, первый обслуживается.
Данную модель можно усовершенствовать, добавив переход из одной подсхемы в другую подсхему. В случае, если образовалась очередь на получение некоторой лицензии, пользователь, запросивший ее, с определенной вероятностью покинет текущую очередь и запросит доступ к другой лицензии. Вероятность перехода между лицензиями вычисляется на основе корреляции между этими лицензиями.
116
Литература
1.Советов, Б.Я. Моделирование систем. Практикум: учеб. пособие для вузов / Б.Я. Советов.
2.Кудрявцев Е.М. GPSS World. Основы имитационного моделирования различных систем / Е.М. Кудрявцев. – М.: ДМК Пресс, 2004. – 66 с.
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», Россия
УДК 621.396.969.181.2
А.А. Дарбинян, А.Р. Акопян
МОДИФИКАЦИЯ ФИЛЬТРА КАЛМАНА ДЛЯ ПОЛЯРНЫХ И СФЕРИЧЕСКИХ СИСТЕМ КООРДИНАТ
1. Введение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Обозначения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
− n-мерное вещественное векторное пространство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
[ ] |
|
|
|
[ ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
– Множество всех непрерывных функций на множестве |
|
[5] |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
[ ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[8] |
|
|||||||
( ) |
|
и |
|
|
|
– Мат. Ожидание и дисперсия случайной |
величины |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[7] |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
– Ковариационна матрица случайного вектора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
– След квадратной матрицы |
|
[6] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
– транспонированная матрицы |
[6] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
– Единичная матрица [6] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Допустим, имеем |
некоторый движущийся объект |
|
в |
|
с |
|
|
заданной |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
моделью: |
|
|
|
|
|
k-я |
|
+1 |
= |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
матрица |
|
|
|
|
|
|
|
позиция |
вектора |
состояния, |
|
× |
вещественная |
|||||||||||||||||||||||||||||
Где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
есть |
называемая матрицей перехода, |
|
- |
|
× |
|
вещественная матрица и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
–. мерный Гауссовский |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ |
] = 0 |
|
||||||||||||||||||||||||||
[ |
] = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
случайный вектор [8] |
т.ч. |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Допустим, что некоторое устройство измеряет данный объект с заданной |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
моделью: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ ] = |
|
(1.2) |
|||||||||||||
мерный |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.3) |
|||||||||||||||||
Рассмотрим оценку вектора состояния [ ] = 0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
той позиции, |
|
|
есть |
|
|
|
|
матрица и |
|
|
|
|
есть - |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
измерение k- |
|
|
|
|
|
|
|
|
. и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Гауссовский случайный вектор т.ч. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
+ ( |
− ) |
|
|
|
|
на основе измерений |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Где |
|
|
−1 |
−1 |
и |
- |
|
|
|
вещественная матрица. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Теорема 1 [1, 2] Если взять матрицу |
|
|
равной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
117
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
+ |
|
) |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
определяется |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Где |
|
|
|
|
= [ |
− |
|
] = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
−1 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( [ |
|
|
|
= [ |
|
− |
|
] = ( |
|
− |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Тогда |
|
|
− |
]) = ( |
|
) → |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оценка (1.3) |
будет |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
То |
|
есть |
|
|
|
|
|
− = |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
оптимальной. Как |
можно заметить, ковариационная матрица |
|
|
|
|
(т.е. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
двумерную |
|
||||||||||||
|
) играет роль в формуле матрицы |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
Рассмотрим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
движения [4]: |
|
|
|
|
|
|
+1 |
= + ̇ + |
2 2 |
где |
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Модель состояния |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 где |
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ̇+ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ̇ + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
= ̇+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Где |
– время между |
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
измерениями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Модель измерения |
|
|
|
= |
|
|
|
= sin |
= 0 |
|
|
|
|
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
где |
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
+ |
где |
|
|
|
= 0 |
и |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= cos |
= ( |
+ ) ( |
|
+ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Также обозначим = sin |
= ( |
+ ) ( |
+ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
: = |
|
|
: = |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Как можно заметить – модель движения объекта является моделью |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
линейно |
движущегося |
|
объекта |
|
|
со |
случайным |
|
|
ускорением, |
но измерение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
выполняется в полярных систем координат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Проблема заключается в линеаризации |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и нахождении ковариационной |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
матрицы. Применив формулу тейлора и |
отбросив остаточный член получилась |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
следующая оценка ковариационной матрицы [4] |
|
|
|
|
cos |
|
|
−sin |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− |
|
≈ |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= sin |
|
|
cos |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
Где |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.4) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Рассмотрим же модель в трёхмерном пространстве [4]: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Модель состояния |
|
|
|
+1 |
= |
|
+ ̇ + |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
118
![](/html/70990/27/html_xgSefyCBlX.thKK/htmlconvd-5BZLLI120x1.jpg)
|
|
|
2 где |
|
|
|
||
+1 |
= + ̇+ |
2 2 |
где |
|
= 0 |
|||
+1 |
|
|
2 |
|
|
= 0 |
||
= + ̇+ |
|
|
|
|||||
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
= ̇ + |
|
|
|
|||
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
= ̇+ |
|
|
|
Где – время между |
измерениями |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
̇ |
= ̇+ |
|
|
|
|||
|
|
|
= |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||
Модель измерений |
|
|
|
|
= |
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
= + |
где |
|
= 0 |
и |
|
|||
|
|
|
где |
и |
= 2 |
|
||||||
|
|
|
= + |
где |
|
= 0и |
= |
|
||||
|
|
|
̆ |
= + |
|
|
= 0 |
|
= 2 |
|
||
|
= ̆ |
= ( |
+ ) ( |
+ ) ( + ) |
||||||||
|
= ̆ |
= ( |
+ ) ( + ) ( |
+ ) |
Будем считать что̆ |
= |
и |
|
|
независимы |
|
+ ) |
||||
̆ |
= ( + ) ( |
||||||||||
Также обозначим |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
: = |
|
|
|
: = |
|
||||
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
̆ |
|
||
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
̇
|
|
|
|
02 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Аналогично с двумернум случаем [4] |
|
||||||||
( |
− |
) ≈ |
0 |
|
|
|
02 |
2 |
|
|
|
3 |
0 |
|
|
|
|
|
3 |
где |
|
|
|
0 |
|
|
|||
|
|
3 |
|
cos cos |
− cos |
||||
|
|
= sin |
|
cos cos |
|||||
|
|
|
|
sin |
|
|
0 |
|
− −
2. Приближение в полярных системах координат. Рассмотрим множество функций
= { |
| . . |
( ) |
∫−∞+∞ ( ( ))2 − |
222 |
< ∞} |
(1.5)
(1.6)
Данное пространство является векторным[6]. Также определим скалярное произведение и норму [6]
119