ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный
технический университет»
Кафедра теоретической и прикладной механики
Методические указания
для самостоятельной работы при решении задач
по дисциплине «Сопротивление материалов»
(раздел «Кручение»)
для студентов очной формы обучения
Воронеж 2012
Составители: канд. техн. наук А.А. Воропаев,
канд. техн. наук Ф.Х. Томилов
УДК 539.3/6
Методические указания для самостоятельной работы при решении задач по дисциплине «Сопротивление материалов» (раздел «Кручение») для студентов очной формы обучения / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. А.А. Воропаев, Ф.Х. Томилов. Воронеж, 2012. 35 с.
В методических указаниях представлен набор задач, посвященных расчетам на прочность и жесткость при кручении валов. Приведены краткие сведения из теории и примеры решения типовых задач.
Предназначены для студентов очной формы обучения.
Методические указания подготовлены в электронном виде в текстовом редакторе MS Word XP и содержатся в файле «сопромат12_3.doc».
Ил. 3. Библиогр.: 1 назв.
Рецензент канд. техн. наук, доц. В.А. Рябцев
Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р техн. наук,
проф. Д.В. Хван
Печатается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
© ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный
технический университет», 2012
1. Кручение
1.1. Основные понятия и зависимости
Под кручением понимают такой вид деформирования, при котором в поперечных сечениях бруса возникает только крутящий момент. Брус, работающий на кручение, называют валом. Крутящий момент в поперечном сечении вала, нагруженного скручивающими моментами, определяется по формуле
М = , (1)
где M - i-й скручивающий момент, приложенный по одну сторону от указанного сечения; n - число моментов, приложенных к отсеченной части вала. При записи этого соотношения принимается, например, следующее условное правило знаков, согласно которому крутящий момент в рассматриваемом сечении считается положительным, когда М вращает отсеченную часть вала против хода часовой стрелки, относительно оси z вала, если смотреть со стороны отброшенной части.
Условие прочности при кручении круглого вала записывается в виде
, (2)
где - допускаемое касательное напряжение для материала вала; W = - полярный момент сопротивления сечения вала с наружным диаметром D и диаметром соосного отверстия d, где [1].
Взаимный угол поворота концевых сечений вала со ступенчатым изменением жесткости определяют по формуле
, (3)
где G - модуль сдвига i -того участка; M -крутящий момент на i-том участке; l -длина i-го участка; полярный момент инерции сечения i-го участка вала; m- число участков вала.
Условие жесткости по относительному углу закручивания представляется в виде
, (4)
Условие жесткости по абсолютному углу закручивания записывается в виде
, (4а)
где -допускаемое значение абсолютного угла закручивания.
Если рассчитывается статически неопределимый вал, то раскрытие статической неопределимости проводят по следующему алгоритму:
1) составляют уравнение равновесия;
2) устанавливают степень статической неопределимости;
3) рассматривая схему деформирования вала, составляют уравнение совместности перемещений;
4) в уравнении совместности перемещений выражают углы поворота сечений через крутящие моменты и жесткости ступней вала с помощью формулы (3);
5) решая систему из уравнений равновесия и совместности перемещений, определяют реактивные моменты.
Примеры расчета
1. Вал трубчатого сечения с внешним диаметром и внутренним диаметром жестко защемлен с левой стороны и нагружен скручивающими моментами и (рис. 1). Определить допускаемые значения и , если , , .
Рис. 1
Решение
В данной задаче требуется провести расчет грузоподъемности вала работающего на кручение. Исходя из условия прочности (2), расчет грузоподъемности проводится по соотношению
, (5)
где – значение крутящего момента в опасном сечении вала; – допускаемое касательное напряжение для материала вала, заданное в условии задачи; – полярный момент сопротивления сечения вала. Для трубчатого сечения определяется по соотношению
, где .
По известным значениям и рассчитываем
.
Из условия (5) получим
.
Для определения положения опасного сечения и значения крутящего момента в этом сечении в функции заданных моментов и строим эпюру крутящих моментов. С этой целью разбиваем вал на два участка (рис. 2), нумеруя их, начиная от свободного конца вала, и записываем уравнения для на каждом из этих участков.
Рис. 2 |
I участок: ; II участок: . По этим данным строим эпюру крутящих моментов . Принимая во внимание, что сечение вала постоянно по его длине, на основе эпюры |
приходим к выводу, что опасным является любое из сечений второго участка, где действует максимальный по абсолютной величине крутящий момент . Приравнивая значение в опасном сечении , рассчитанному из условия прочности, получим
.
Следовательно, допускаемые значения скручивающих моментов будут следующими:
; .
Проверим теперь, удовлетворяется ли при найденных значениях и условие жесткости вала. В задаче дано , следовательно, условие жесткости вала будет иметь вид
.
Размеры сечения и материал постоянны по длине вала, поэтому жесткость будет также постоянной. Это означает, что максимальный относительный угол закручивания соответствует , т.е.
.
Для трубчатого сечения полярный момент инерции определяется по формуле
.
Подставляя числовые данные получим:
,
т.е. условие жесткости удовлетворяется и окончательно принимаем , .
2. Ступенчатый вал, жестко защемленный по торцам, скручивается моментом (рис. 3,а). Диаметр левой части , а правая часть имеет диаметр и ослаблена продольным каналом диаметром . Проверить вал на прочность и жесткость, если , , , , , .
Решение
В задаче требуется провести проверочный расчет вала, на прочность и жесткость, т.е. проверить выполнение условий прочности и жесткости.
Оценим вначале прочность вала, т.е. проверим выполнение условия прочности
.
Допускаемое касательное напряжение задано в условии задачи, а полярные моменты сопротивления сечения левой и правой частей вала могут быть рассчитаны по известным значениям диаметров
;
.
Таким образом, для проверки выполнения условия прочности необходимо установить расчетное значение . С этой целью построим эпюру крутящих моментов .
Отбросим связи, приложенные к валу в защемлениях, и заменим их действия реактивными моментами и (см. рис. 3,б), направления которых может быть выбрано произвольно. Для определения двух реактивных моментов и можно составить лишь одно уравнение статики в виде суммы моментов всех сил относительно оси вала :
. (6)
Таким образом, приходим к выводу, что задача статически неопределима, а степень статической неопределимости . Это означает, что для решения задачи нужно составить одно уравнение совместности перемещений. Это уравнение можно получить из условия отсутствия поворота сечения относительно сечения (см. рис. 3, а), которое можно записать в виде
, (7)
где – число участков вала.
Рис. 3
Разбивая вал на 3 участка (см. рис. 3, б), запишем выражения для каждого из участков
(8)
Учитывая, что ; ; , подставим соотношения (8) в уравнение (7). При этом получим
. (9)
Решая уравнение (9) совместно с уравнением (6) с учетом того, что , получим
; .
Подставляя в эти соотношения длины участков и величины полярных моментов инерции
; ,
находим
; .
Используя соотношения (8), строим эпюру крутящих моментов (см. рис. 3,в).
Сопоставляя величины и для различных участков, приходим к выводу, что наибольшие касательные напряжения действуют в сечениях I участка, где
, а .
Подставляя эти величины в условие прочности, получим
.
Оценим перегрузку
.
Поскольку перегрузка не превышает 5 %, делаем вывод, что прочность вала обеспечена.
Проверим теперь выполнение условия жесткости, которое в данном случае будет иметь вид
.
Определим величины относительного угла закручивания для каждого из участков вала:
;
;
.
Сопоставляя полученные величины, установим, что . Следовательно, необходимая жесткость вала обеспечена.
1.3. Задачи для самостоятельного решения
1.3.1. Статически определимые валы
1. Определить диаметры ступеней вала, если МПа; а = 3м; b = 2м; М1 = 900 Нм; М2 = 400 Нм; М3 = 500 Нм. Определить угол поворота сечения А по отношению к сечению В. Принять МПа.
2. Определить диаметры вала и полный угол закручивания, если m = 200 Нм; а = 0,2м; МПа; МПа.
3. Определить диаметры вала d и D, если m = 0,8 кНм; МПа; ; МПа; а = 1м.
4. Определить диаметры вала и полный угол закручивания, если МПа; m = 500 Нм; а = 1 м; МПа; [φ] = 2˚.
5. Определить диаметры ступеней вала и полный угол закручивания, если МПа; а = 1м; M1 = 100Нм; М2 = 500Нм; МПа.
6. Определить диаметры вала из условий прочности и жесткости, если m = 1кНм; МПа; [φ] = 2˚; МПа; а = 0,2 м; .
7. Определить отношение диаметров двух равнопрочных валов, передающих одинаковую мощность, если один делает , а другой .
Указание: мощность N = M·ω, где М – скручивающий момент; ω – частота вращения вала, рад/сек ( , где n – об/мин).
8. Наружный диаметр полого вала в 2 раза больше внутреннего. Определить размеры сечения вала, если он передает мощность 700 кВт при скорости вращения 100 об/мин, а наибольшие касательные напряжения в вале 60 МПа.
Замечание: скручивающий момент , где N – мощность, кВт; n – об/мин.
9. Стальной вал сплошного сечения передает мощность N = 60 кВт. Частота вращения вала n = 240 об/мин. Определить диаметр вала из расчета на прочность и жесткость, если МПа, а допускаемый угол закручивания [φ] = 1˚ (длина вала 1м, модуль сдвига МПа).
Указание: , где М – скручивающий момент, Н·м; N – мощность, кВт; n – об/мин.
10. Сплошной вал радиусом r усилен надетой на него трубой внутренним радиусом r и наружным R. Вал и труба изготовлены из одного материала и работают как одно целое. Чему должно равняться отношение R/r, чтобы описанное усиление вала позволило увеличить его грузоподъемность, т.е. скручивающий момент, вдвое.
11. Сплошной вал диаметром 40 см заменяется полым валом, у которого внутренний диаметр составляет 60 % от наружного. Определить наружный диаметр полого вала при условии, что допускаемые касательные напряжения у них одинаковы.
12. Сплошной вал круглого сечения был спроектирован в предположении определенной скорости его вращения. Затем было решено повысить скорость в 20 раз. Как изменится диаметр вала после пересчета его при неизменных остальных данных.
Замечание: выражение скручивающего момента М через мощность N и количество оборотов вала n
, где N – мощность, кВт; n – об/мин.
13. Два вала одинаковой длины из одного и того же материала воспринимают один и тот же крутящий момент. Один вал полый, с отношением диаметров . Другой вал – сплошной с диаметром D0. Определить отношение весов полого и сплошного вала, если они равнопрочны.
14.Полый стальной вал длиной 1,8 м нагружен по концам двумя парами сил с моментами М = 0,6 кНм. Определить наружный и внутренний диаметры вала, если угол закручивания не должен превосходить 2˚, а касательные напряжения 70 Н/мм2. Модуль сдвига для стали Н/мм2.
15. Сплошной вал диаметром D = 12см передает постоянный вращающий момент М. Определить необходимые размеры поперечного сечения полого вала из того же материала, такой же длины, имеющего прочность, как у сплошного вала, а жесткость – в 1,5 раза большую.
1 6. Подобрать диаметр поперечного сечения вала из условий прочности и жесткости, если а = 0,2м; МПа; ; МПа.
1 7. Определить размеры поперечного сечения вала из условий прочности и жесткости при ; [φ] = 2˚; МПа.
18. Определить размер поперечного сечения вала из условий прочности и жесткости, если а = 0,1м; b = 0,2м; ; ; МПа.
19. Вал трубчатый. Определить размеры поперечного сечения вала (d и D), если M = 0,8 кНм; ; ; МПа; а = 1м.
20. Определить диаметры вала и угол поворота сечения А по отношению к сечению В, если а = 1м; , m = 200 Нм; МПа.
21. Проверить прочность вала. Принять: d1 = 60мм; d2 = 40мм; М1 = 1,5 кНм; М2 = 2,5 кНм; М3 = 5 кНм; .
22. Стальной круглый вал диаметром d = 16 мм испытан на кручение. При возрастании крутящего момента на угол закручивания между двумя сечениями, отстоящими друг от друга на расстоянии ℓ = 20см увеличивается на радиана. Вычислить модуль сдвига G и коэффициент Пуассона µ, если .
23. Стержень из малоуглеродистой стали диаметром 25мм удлиняется на 0,122мм на длине 20см при растяжении силой Р = 60 кН. Этот же стержень закручивается на угол 0,75˚ на длине 20см при нагружении скручивающим моментом М = 20кНсм. Найти упругие постоянные материала Е, G, µ.
24. Полый стальной вал с наружным диаметром D = 75мм и внутренним d = 50мм имеет длину ℓ = 1м. Он закручивается на 1˚ моментами М = 3,5 кНм. Определить максимальные касательные напряжения и модуль сдвига материала.
25. Сплошной вал диаметром d = 100 мм и длиной ℓ = 6000 мм закручен на угол 4˚. Чему равно наибольшее касательное напряжение, если МПа.
26. Определить τмах (максимальные касательные напряжения) и проверить прочность вала, если ; m = 1кНм; D = 60мм; а = 0,2м.
27. При испытании на кручение стального образца длиной 20 см и диаметром 20 мм установлено, что при крутящем моменте Мк = 16,32кНсм угол закручивания равен 1,2˚. Предел упругости достигнут при Мк = 27кНсм. Определить модуль упругости при сдвиге и предел упругости при кручении.
28. Как изменится максимальное касательное напряжение и относительный угол закручивания, если сплошной вал заменить полым, вес которого на 20% меньше и отношение внутреннего диаметра к наружному равно 0,6.
29. Два вала, один из которых сплошной, а другой полый, имеют одинаковый вес и передают одинаковый крутящий момент. Длина валов и материал одинаковы. У какого вала наибольшие касательные напряжения будут больше и во сколько раз, если внутренний диаметр полого вала составляет 60% от наружного.
30. Наружный диаметр полого вала в два раза больше внутреннего. Этот вал на 20% легче сплошного вала, спроектированного при допускаемом напряжении на сдвиг . Чему равны наибольшие касательные напряжения в полом вале при одинаковых крутящих моментах.
31. Чтобы уменьшить вес сплошного круглого вала на 20%, заменили его полым, наружный диаметр которого в 2 раза больше внутреннего. Чему будут равны наибольшие касательные напряжения в полом вале, если в сплошном они были равны 6кН/см2?
32. Найти максимальные касательные напряжения на участках вала, проверить прочность вала, если ; m = 1кНм; d = 40мм; D = 60мм; а = 0,2м.
33. Проверить прочность вала. Определить угол поворота сечения А по отношению к сечению В, если m = 1кНм; а = 1м; ; d = 40мм; D = 60мм; МПа.
34. Для заданного вала построить эпюры крутящего момента, угла закручивания φ и найти наибольшие касательные напряжения. Проверить прочность вала, если ; М = 2кНм; d = 2см; МПа; ℓ = 1м.
35. Проверить прочность вала. Определить угол закручивания сечения А по отношению к сечению В. Принять: а = 2м; М1 = 2кНм; М2 = 5кНм; М3 = 3кНм; МПа; d1 = 20мм; d2 = 40мм; .
36. Вал, защемленный с одного края, нагружен моментами М. Диаметры участков d1 = 40мм; d2 = 60мм. На 2-м участке максимальные касательные напряжения . Определить максимальные касательные напряжения на 1-м участке.
37. Определить максимальное напряжение в сечении I – I и угол поворота этого сечения, если D1 = 100мм; D2 = 50мм; М1 = 500 Нм; М2 = 1500Нм; а = 20см; Н/мм2.
38. Найти допустимое значение момента [M]. Определить угол закручивания φА сечения А, если d = 5см; а = 1м; ; МПа.
3 9. Определить величину М и максимальные напряжения , если МПа, а угол закручивания сечения А равен 1˚.
4
М2
М1
B
A
a
a
a
41. Стальной ступенчатый вал нагружен скручивающими моментами m1, m2, M. При каком значении момента М абсолютный угол закручивания в сечении «4» будет равен нулю, если а = 1м; m1 = 20кНм; m2 = 10кНм; d3 = 5см; d2 = 10см; d1 = 20см; Н/мм2.
42. Определить наибольший крутящий момент, который может быть приложен к стальному валу диаметром 10мм, если допускаемое напряжение не должно превосходить 15кН/см2. Какова будет длина вала, если допускаемый угол закручивания [φ] = 2˚; кН/см2.
4 3. При заданном допускаемом напряжении [τ] = 20МПа определить величину момента М и угол закручивания φ сечения А.
44. Для определения необходимого диаметра сплошного стального вала задано допускаемое касательное напряжение [τ] = 80МПа и допускаемый угол закручивания 1˚ на длине вала, равной 1м. При каких величинах крутящего момента можно ограничиться определением диаметра только по допускаемому напряжению или только по допускаемому углу закручивания?
45. Два вала одинаковой длины и массы изготовлены из одного и того же материала. Один вал полый с отношением диаметров . Другой – сплошной диаметром D0. Найти отношение крутящих моментов, которые могут быть приложены к валам при одинаковом допускаемом напряжении.
46. Определить величину крутящего момента Мк, при котором расчет круглого вала на прочность дает тот же диаметр, что и расчет на жесткость. Найти величину этого диаметра. Принять допускаемое касательное напряжение [τ] = 80 Н/мм2, допускаемый относительный угол закручивания ˚/м, модуль сдвига Н/мм2.