УПП / Курс 2 / Семестр 3 / Математика / Лекции / Лекция 5. Дифференциальные уравнения первого порядка _ продолжение
.pdfПожидаев А.В., Вылегжанин И.А. Математика: Курс лекций для студентов технических специальностей. Ч. III. – Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2009. – 166 с.
Лекция
Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Уравнения в полных дифференциалах. Метод Эйлера.
Линейные уравнения Определение: дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным
уравнением, если оно может быть представлено в виде y' p x y q x 0, где |
p x ,q x |
- заданные функции. |
|
Метод решения линейного уравнения состоит в следующем: неизвестную функцию y
заменяем произведением двух неизвестных функций y u v, тогда |
y' u' v u v' и |
уравнение перепишется так: |
|
u'v uv' p(x)uv q(x) |
|
u'v u v' p(x)v q(x)
Теперь подберем функцию v так, чтобы v' p(x)v 0. Это равенство является
дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Достаточно найти его общее решение и в качестве произвольной постоянной С взять любое число. Допустим, что
v0 - |
какое-либо решение дифференциального уравнения v' p(x)v 0. Подставив это |
|||||||||||||||||||||
решение в уравнение u'v u v' |
p x v q x , получим u'v0 |
q(x). Теперь неизвестную |
||||||||||||||||||||
функцию u можно найти интегрированием выражения |
q(x) |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v0 |
|
|
|
|
|
|
Пример: Найти общее решение уравнения y' ytgx cos 1 x. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Решение: Пусть y u v , тогда y' u' v u v' |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
u'v u v' tgxv cos 1 x. Решаем уравнение v' |
tgxv 0: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
dv |
tgxv; |
|
dv |
tgxdx; |
|
dv |
tgxdx; |
dv |
|
sin x |
dx; |
|
lnv ln cosx . v cosx . |
||||||||
|
|
|
|
v |
v |
|
|
|||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
v |
|
|
|
cosx |
|
|
|
|
|
|||||||
Подставим найденную функцию в уравнение u |
' cosx cos 1 x; u' |
1 |
|
; |
||||||||||||||||||
cos2 |
x |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
u |
dx |
|
|
tgx C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y u v (tgx C) cosx sin x Ccosx.
Уравнение в полных дифференциалах
В курсе лекций второго семестра было дано определение полного дифференциала функции z f (x, y) : dz xz dx yz dy.
Пожидаев А.В., Вылегжанин И.А. Математика: Курс лекций для студентов технических специальностей. Ч. III. – Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2009. – 166 с.
Определение: Дифференциальное уравнение f (x, y)dx g(x, y)dy 0 называется уравнениемвполныхдифференциалах,если найдетсяфункция двухпеременных z F(x, y)
такая, что |
z |
f (x, y) и z g(x, y). |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из |
теоремы |
о |
совпадении |
смешанных производных следует, что выражение |
||||||||||||
f (x, y)dx g(x, y)dy 0 будет |
полным дифференциалом |
тогда и только |
тогда, когда |
|||||||||||||
f |
g . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример |
1: |
|
|
|
Проверить, |
являются |
ли |
дифференциальные |
уравнения |
|||||||
2xy y2 dx 2xy x2 dy 0, |
y2dx x2dy 0 уравнениями в полных дифференциалах. |
|||||||||||||||
Решение: 1) |
|
2xy y2 2x 2y , |
|
2xy x2 |
2y 2x |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
x |
|
|
2xy y2 dx 2xy x2 dy 0 |
||||
Получили одинаковые выражения, значит, уравнение |
||||||||||||||||
является уравнением в полных дифференциалах. |
|
|
|
|
||||||||||||
2) |
|
y2 2y , |
|
|
x2 2x. Производные различны, значит, уравнение |
y2dx x2dy 0 |
||||||||||
|
|
x |
||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
не является уравнением в полных дифференциалах.
Пример 2: Найти функцию, для которой выражение 2xy y2 dx 2xy x2 dy является полным дифференциалом
Решение: обозначим искомую функцию F(x, y), тогда Fx 2xy y2 и, следовательно,
F(x, y) 2xy y2 dx . При вычислении частной производной по одной из переменных
другая переменная рассматривается как постоянная, поэтому и при интегрировании по одной из переменных вторая переменная должна рассматриваться как постоянная. Значит,
и «постоянная», которая появится при взятии неопределенного интеграла 2xy y2 dx , вообще говоря, может зависеть от переменной y.
2xy y2 dx x2 y y2x (y)
(y) - пока неизвестная функция одной переменной.
Поскольку F x, y x2 y y2 x y и |
F |
2xy x2 , то |
|||
|
|||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
x2 y y2x y x2 2xy ' y и, следовательно, |
|||
|
y |
||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
2yx ' (y) 2xy x2 .Отсюда находим '(y) 0, |
|||
значит, (y) C |
и F(x,y) x2 y y2x C. |
Замечание1: в последнем примере приведен общий метод нахождения функции по ее полному дифференциалу. Сначала интегрируется одна из известных частных производных функции, в результате получается выражение, содержащее неизвестную функцию одной переменной. Затем это выражение дифференцируется по второй переменной и приравнивается ко второй известной частной производной. Из полученного равенства находится неизвестная функция одной переменной.
Пожидаев А.В., Вылегжанин И.А. Математика: Курс лекций для студентов технических специальностей. Ч. III. – Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2009. – 166 с.
Замечание 2: Если полный дифференциал функции равен нулю, то сама функция, очевидно, равна некоторой постоянной. Поэтому для решения уравнения в полных
дифференциалах достаточно |
найти функцию F(x, y), |
для которой выражение |
f (x, y)dx g(x, y)dy является |
полным дифференциалом. |
Неявная функция одной |
переменной F(x, y) С будет общим решением такого дифференциального уравнения.
Пример: Проверить, что уравнение 2xydx x2 y2 dy 0 является уравнением в полных дифференциалах и найти его общее решение.
Решение: |
|
2xy 2x , |
|
|
x2 |
y2 2x, значит, это уравнение есть уравнение в полных |
||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
y |
|
x |
|
|
|
||
дифференциалах. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
F(x, y) 2xydx x2 y (y) |
|
|
|
||||||
|
|
F(x, y) x2 ' (y); |
x2 |
' (y) x2 y2 ; '(y) y2 ; (y) y2dy |
y3 |
C ; |
||||
|
y |
|
|
|
3 |
|
F(x, y) x2 y y3
3
Общее решение уравнения: x2 y y3 C . 3
Метод Эйлера
Лишь очень немногие типы дифференциальных уравнений допускают интегрирование в квадратурах. В частности, уже такое несложное с виду уравнение как y' x2 y2
(уравнение Риккати1) в квадратурах не интегрируется. Рассмотрим один метод приближенного решения дифференциальных уравнений первого порядка.
Постановка задачи: найти решение задачи Коши y' f (x, y), y(x |
0 |
) y |
0 |
на заданном |
|||||||||||
интервале x0;xn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод Эйлера: Поделим отрезок |
x0;xn |
точками x1,x2 ,...,xn 1 |
на части. |
Для |
|||||||||||
определенности будем считать, |
что |
x0 x1 x2 ... xn 1 xn . |
Длину отрезка |
xi 1;xi |
|||||||||||
обозначим xi . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0,y0 |
Поскольку y' f (x,y), то угловой коэффициент интегральной кривой в точке |
|
||||||||||||||
равен y0' f (x0 , y0 ). Проведем через точку x0 ,y0 прямую с угловым коэффициентом y0' |
|||||||||||||||
. Уравнение этой прямой: y y |
0 |
y' |
x x |
0 |
. |
Если интервал x |
0 |
;x |
достаточно мал, то |
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
интегральная кривая на этом интервале мало отличается от проведенной прямой |
и можно |
приближенно считать, что в точке x1, |
y1 значение искомой функции приближенно равно |
|||||||||||||||||||
y |
1 |
y |
0 |
y' |
x |
x |
0 |
. Через точку |
x |
, y |
проводим прямую с угловым коэффициентом |
|||||||||
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|||
y' |
f (x , y ) |
и, аналогично предыдущему, значение функции в точке x |
2 |
, y |
2 |
считаем |
||||||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
y' x |
|
x |
|
|
|
||||
приближенно равным y |
2 |
y |
2 |
и т. д. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 Риккати Якопо Франческо (1676-1754) итальянский математик. Труды по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям.
Пожидаев А.В., Вылегжанин И.А. Математика: Курс лекций для студентов технических специальностей. Ч. III. – Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2009. – 166 с.
В результате получим таблично заданную функцию, значения которой в точках x1,x2,...,xn 1,xn приближенно равны значениям искомой функции в тех же точках:
x0 |
x1 |
x2 |
…….. |
xn 1 |
xn |
y0 |
y1 |
y2 |
……… |
yn 1 |
yn |
Замечание: с геометрической точки зрения вместо графикаискомойфункцииполучаетсянекотораяломаная,
называемая ломаной Эйлера.
Таким образом, алгоритм метода Эйлера состоит в следующем: с помощью формул
|
yi' f (xi , yi ) |
|
|
' |
|
yi |
yi 1 yi 1 xi xi 1 |
|
|
i 1,2,...n |
|
|
|
|
|
|
последовательно заполняется таблица приближенных значений искомой функции в выбранных точках x0 ,x1,x2 ,...,xn 1,xn .
Теорема (о ломаных Эйлера) Если существует ровно одно решение задачи Коши
y' f x, y , |
x0 , y0 , и при этом функция |
z f (x, y) непрерывна, то |
любая |
последовательность выходящих из точки x0 ,y0 |
ломаных Эйлера, у которых длина |
||
наибольшего из звеньев стремится к нулю, приближается на интервале x0;xn |
к этому |
единственному решению.
Без доказательства.
Для того чтобы найти приближенное значении искомой функции в какой-либо точке, отличной от точек x0 ,x1,x2 ,...,xn 1,xn , можно применить т. н. линейную интерполяцию,
т. е. на каждом из интервалов xi 1;xi заменить искомую функцию линейной функцией, график которой проходит через точки xi 1, yi 1 и xi ,yi . Чтобы найти значение функции, являющейся решением поставленной задачи Коши, в некоторой точке x , надо определить какому из интервалов xi 1;xi эта точка принадлежит, провести на этом интервале линейную интерполяцию и подставить число x в полученную линейную функцию.
Пример: Решить задачу Коши y' 2xy , y 1 1 на интервале 1;2 , разбивая интервал на 5
частей и найти приближенные значения функции y 1,1 и y 1,7 .
Решение: составим таблицу из трех строк, занося в верхнюю строку значения независимой переменной, во вторую строку приближенные значения искомой функции, в третью – приближенные значения производной искомой функции.
Длина заданного интервала равна 1, по условию задачи он разбивается на 5 интервалов,
значит |
длина |
каждого |
|
из |
маленьких |
интервалов |
равна |
0,2 |
и |
||
x0 1;x1 |
1,2;x2 |
1,4;x3 |
1,6;x5 |
1,8;x6 |
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
1,2 |
|
1,4 |
1,6 |
1,8 |
2 |
|
|
|
|
y |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y'
Пожидаев А.В., Вылегжанин И.А. Математика: Курс лекций для студентов технических специальностей. Ч. III. – Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2009. – 166 с.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yi' |
f (xi , yi ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yi 1 |
' |
xi xi 1 : |
|
Дальше пользуемся формулами yi |
yi 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1,2,...n |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0' f (x0 , y0 ) |
|
2y0 |
|
|
|
|
2 1 |
2; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y |
1 |
y |
0 |
y' |
x |
x |
0 |
|
|
1 2 1,2 1 1 0,4 1,4 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
' |
f (x , y ) |
2y1 |
|
|
|
2 1,4 |
2,333 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y |
2 |
y |
y' |
x |
2 |
x |
1,4 2,333 1,4 1,2 1,867 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y2' |
f (x2 , y2 ) |
2y2 |
|
|
|
2 1,867 |
|
|
|
2,667 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y3 |
y2 |
y2' x3 |
x2 |
|
1,867 2,667 1,6 1,4 2,400 |
|
|||||||||||||||||||||||||
y3' |
f (x3, y3 ) |
2y3 |
|
|
|
2 2,400 |
|
|
3,000 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
1,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y4 |
y3 |
y3' x4 |
x3 |
|
2,400 3,000 1,8 1,6 3,000 |
|
|||||||||||||||||||||||||
y4' |
f (x4 , y4 ) |
2y4 |
|
|
|
2 3,000 |
|
3,333 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y5 |
y4 |
y4' x5 |
x4 3,000 3,333 2 1,8 3,667 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
1,4 |
1,6 |
1,8 |
2 |
|||||||
|
|
y |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1,4 |
1,867 |
2,400 |
3,000 |
3,667 |
||||||||||||
|
|
y' |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2,333 |
2,667 |
3,000 |
3,333 |
|
||||||||||||
Найдем теперь значения y 1,1 |
и y 1,7 . |
|
|
|
Точка 1,1 1;1,2 . Составим уравнение прямой, проходящей через точки 1 и 1,2:
x 1 |
|
|
y 1 |
|
; |
y 2x 1. В точке 1,1 |
y 2 1,1 1 1,2 |
|
1,2 1 |
1,4 1 |
|||||||
|
|
|
|
y 1,1 1,2.
Точка 1,7 1,6;1,8 . Составим уравнение прямой, проходящей через точки 1,6 и 1,8:
x 1,6 |
|
y |
2,4 |
; |
y 3x 2,4. В точке 1,7 |
y 3 1,7 2,4 2,7 |
|
1,8 1,6 |
3 |
2,4 |
|||||
|
|
|
|
y 1,7 2,7.
Существование и единственность решения задачи Коши
Теорема о ломаных Эйлера гарантирует стремление этих ломаных к решению при условии, что существует ровно одно, проходящее через точку x0 ,y0 решение, поэтому желательно
уметь определять по виду уравнения существует ли решение задачи Коши и является ли оно единственным.
Пожидаев А.В., Вылегжанин И.А. Математика: Курс лекций для студентов технических специальностей. Ч. III. – Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2009. – 166 с.
Теорема Пикара2 (о существовании и единственности решения задачи Коши) Пусть функция f (x, y) определена в некоторой плоской области D. Тогда, если в этой области
непрерывнафункция f (x, y) иеечастнаяпроизводная fy ,тодлялюбойточки x0 , y0 D
задача Коши y' f (x, y), y x0 y0 имеет единственное решение.
Пример:Проверитьсуществованиеи единственность решениядлязадачКоши: 1) y' 2y
, y(0) 1 |
2) y' 2 |
y |
, y(1) 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение: |
Функция |
f (x, y) 2 |
|
|
непрерывна в любой точке верхней |
|
полуплоскости |
||||||
y |
|
||||||||||||
прямоугольной системы координат |
y 0 . Частная производная |
f |
|
|
1 |
|
непрерывна |
||||||
y |
|
|
|
|
|||||||||
|
y |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при y 0. Значит, по теоремеПикара, задача Коши y' 2y , y(0) 1 имеет единственное
решение, т.к. по условию, |
y0 |
1 0. |
||
Про задачу Коши y' 2 |
|
|
|
y(1) 0 нельзя сказать, что она имеет единственное решение, |
|
y , |
т.к. в этом случае неравенство y0 0 0 не выполняется.
Рассмотрим подробнее, что происходит с решениями дифференциального уравнения при
|
y0 |
0. Для этого решим уравнение аналитически. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
dy |
2 |
|
|
|
|
dy |
|
dx; |
|
dy |
|
dx; |
|
|
x C - |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
y ; |
|
|
|
|
y |
общее решение дифференциального |
||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
2 y |
|
2 y |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
уравнения. |
Поскольку, |
преобразуя уравнение, |
его |
делили на y , |
то могли |
потерять |
||||||||||||||||||||
решение |
|
y 0. |
|
При |
подстановке |
функции |
y 0 |
в уравнение |
y' 2 |
|
|
получаем |
||||||||||||||
|
|
y |
||||||||||||||||||||||||
тождество, |
значит, функция y 0 также является решением данного дифференциального |
уравнения.
Через точку 1;0 проходят две интегральные кривые дифференциального уравнения:
|
y |
x 1 и |
y 0, т.е. действительно, решение задачи Коши y' 2 |
y |
, y(1) 0 не |
единственно. |
|
|
|
2 Пикар Эмиль (1856-1941) французский математик. Труды по дифференциальным уравнениям, теории функций.