новая папка 1 / 603898
.pdfМИНОБРНАУКИ РОССИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (ФГБОУ ВО «ВГУ»)
Е.П. Белоусова Т.И. Смагина
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Методические указания для вузов
Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета
2016
Утверждено научно-методическим советом факультета ПММ 15 февраля 2016 г., протокол № 6.
Рецензент д-р т. наук, доцент кафедры ММИО ф-та ПММ Т.В. Азарнова.
Методические указания подготовлены на кафедре нелинейных колебаний факультета ПММ Воронежского государственного университета.
Рекомендуется для студентов третьего курса специальности «Механика и математическое моделирование» факультета ПММ.
2
Настоящие методические указания предназначены для организации практических занятий и самостоятельной работы студентов, изучающих курс функционального анализа, а также при подготовке к экзамену по этому курсу. В начале каждого раздела приводятся необходимые теоретические сведения, даются образцы решения задач, а затем предлагаются задания для самостоятельной работы. При подборке задач и упражнений использовалась приведенная ниже литература.
Литература
1.Треногин В.А. Функциональный анализ/ В.А. Треногин. – М.:
Физматлит, 2002. – 488 с.
2.Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа/ А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: Физматлит, 2004. - 570 с.
3.Соболев В.И. Лекции по дополнительным главам математического анализа/ В.И. Соболев. – М.: Наука, 1968. – 286 с.
4.Люстерник Л.А. Краткий курс функциональго анализа/ Л.А. Люстерник, В.И. Соболев. – М.: «Лань», 2009. – 272 с.
5.Треногин В.А. Задачи и упражнения по функциональному анализу/ В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева. – М.:
Физматлит, 2002. – 239 с.
6.Антоневич А.Б. Функциональный анализ и интегральные уравнения/ А.Б. Антоневич, Я.В. Радыно. – Минск: БГУ, 2003. – 430 с.
7.Ульянов П.Н. Действительный анализ в задачах/ П.Н. Ульянов и
[др.]. – М.: Физматлит, 2005.
3
1. Гильбертовы пространства. Ортогональность.
Основные определения. Векторное пространство H над полем комплексных чисел называется предгильбертовым (или пространством со скалярным произведением), если в нем введено скалярное произведение, т.
е. |
x, y H определено |
комплексное |
число (x, y) , удовлетворяющее |
аксиомам: |
|
|
|
|
1. (x, x) 0, (x, x) 0 x 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
2. (x, y) ( y, x) ; |
|
|
|
3. ( x, y) (x, y) ; |
|
|
|
4. (x z, y) (x, y) (z, y) , |
|
|
и, |
кроме того, скалярное |
произведение |
порождает норму по формуле |
1
x (x, x) 2 . Пространство Н называется гильбертовым, если оно является полным относительно указанной нормы.
Справедливо неравенство Коши-Буняковского-Шварца
|
|
(x, y) |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Элементы x, y H называются |
ортогональными, |
если |
|
(x, y) 0 . |
Система |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если любая ее конечная |
|||
векторов xk k 1 называется линейно независимой, |
|||||||||||||||||||||||||
подсистема линейно независима. Система векторов |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
ek k 1 называется |
||||||||||||||||||||||||
ортогональной, если все ek 0 |
|
и (ek , en ) 0 |
при |
k n . |
Система |
векторов |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( fk , fn ) kn , |
где kn |
- символ |
||
fk k 1 называется ортонормированной, если |
Кронекера. Оказывается, что по любой линейно независимой системе
|
|
|
|
|
, а также ортонормированную |
||
можно построить ортогональную систему ek k 1 |
|||||||
|
с помощью следующего |
|
|
процесса ортогонализации |
|||
систему fk k 1 |
|
|
|||||
Шмидта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
(xk |
, en ) |
|
|
|
|
e1 x1 , |
ek xk |
en (k 2,3,...) , |
||||
|
(e |
|
|||||
|
|
|
, e |
) |
|
|
|
|
|
n 1 |
n |
n |
|
|
|
fk |
|
|
|
|
ek |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
ek |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1. Доказать, что в неравенстве Шварца знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда x и y линейно зависимы, т.е. x y, R и
4
(x, x)( y, y) |
|
(x, y) |
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
||||||||||||
Решение. Пусть x y, R . Тогда |
|
||||||||||||
(x, x)( y, y) ( y, y)( y, y) ( y, y)( y, y) = |
|
( y, y) |
|
2 |
|
(x, y) |
|
2 . |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
Пусть теперь выполнено равенство (1). Покажем, что x y . Допустим |
|||||||||||||
противное, что x y ни при каком R . Тогда |
|
||||||||||||
(x y, x y) 0 |
|
||||||||||||
или |
|
||||||||||||
0 2 ( y, y) 2 (x, y) (x, x) . |
|
||||||||||||
Из положительности данного квадратного трехчлена при любом |
следует |
||||||||||||
отрицательность его дискриминанта, т. е. |
|
4(x, y)2 4(x, x)( y, y) 0 ,
что противоречит условию (1). Следовательно, наше предположение неверно
и (x, x)( y, y) (x, y) 2 .
Примерами гильбертовых пространств являются пространство R2n со скалярным произведением
(x, y) 2 xk yk
k1
ипространство L2 [a,b] со скалярным произведением
(x, y) b x(t) y(t) dt .
a
Задания для самостоятельного решения
1.Доказать непрерывность скалярного произведения.
2.Доказать, что в пространстве со скалярным произведением имеют место:
а) тождество параллелограмма
5
x y 2 x y 2 2(x 2 y 2 ) ;
б) тождество Апполония
|
z x |
|
|
|
2 |
|
|
|
z y |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
x y |
|
|
|
2 2 |
|
x y |
|
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
в L2 [ 1,1] и |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3. Провести процесс ортогонализации для функций 1, t, t 2 ,... |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
показать, |
что |
|
|
|
|
|
e1 (t) 1, |
|
e2 (t) t, |
e3 (t) t 2 1 , |
e4 (t) t 3 |
|
3t |
. |
Эти |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
многочлены называются многочленами Лежандра.
2. Расстояние от точки до подпространства. Ряд Фурье
Пусть L |
- |
подпространство в |
гильбертовом |
пространстве H , x H , |
но |
||||||||||||||||||||||||||||||||
x L . Расстоянием от точки до подпространства L называется число |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x, L) inf |
|
|
|
x u |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Теорема |
1. |
|
|
|
|
|
|
u L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Существует |
единственный |
элемент y L , |
реализующий |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
расстояние от точки x до подпространства L H |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x, L) |
|
|
|
x y |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
при этом элемент x y |
ортогонален пространству L . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Замечание. |
Элемент |
y L |
называется |
|
|
|
|
ортогональной |
проекцией |
||||||||||||||||||||||||||||
элемента x на подпространство L . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Пусть |
x H |
и |
k k 1 |
- |
ортогональная |
система |
|
в |
H . |
Числа |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ck |
(x, k ) |
(k 1,2,...) |
называются коэффициентами |
Фурье, |
а |
ряд |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
k |
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
называется рядом Фурье элемента x по ортогональной системе k kn 1 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ck k |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Многочлен n |
ck k называется многочленом Фурье элемента x . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема |
2. |
Пусть |
система |
k kn 1 |
|
ортогональна |
в |
H , |
а |
Ln |
- |
||||||||||||||||||||||||||
подпространство, натянутое на функции 1 , 2 ,..., n . Тогда dn |
(x, Ln ), x H , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
задается следующими формулами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dn |
|
|
|
x ck k |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dn2 |
|
|
|
x |
|
|
|
2 n |
|
ck |
|
2 |
|
|
|
k |
|
|
|
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ck (k 1,2,...) - коэффициенты Фурье элемента x |
по системе k k 1 . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ортогональная система векторов k k 1 H называется полной, если ряд
Фурье, составленный для любого x H , сходится к x .
Полная ортогональная система называется ортогональным базисом пространства H .
Пример. Для функции et найти многочлены pn (t) степени n 0,1,2 такие, что норма et pn (t) минимальна в пространстве L2 [ 1,1] .
Решение. Согласно теореме 2 надо построить многочлены Фурье степени 0, 1, 2 для функции x(t) et . Вычислим коэффициенты Фурье функции x(t) ,
взяв в |
качестве ортогональной системы |
многочлены Лежандра |
||
1 (t) 1, 2 |
(t) t, 3 (t) t 2 |
1 |
, которые ортогональны. Имеем p0 (t) c0 1 (t) , где |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
(x, ) |
|
1 1 |
1 |
(e e 1 ) . |
|||||
|
|
c0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 1et dt |
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||
Следовательно, |
p0 (t) |
1 |
(e e 1 ) . |
|
Построим |
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Непосредственным вычислением находим, что
Таким образом,
p2 (t) c0 1 c1 t c2 (t 2 13)
c |
(et , t) |
3 1 t et |
dt 3 . |
|
||||||
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
(t, t) |
|
|
2 1 |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
p1 |
(t) 1 |
(e e 1 ) 3 t . |
Для |
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
e |
|
|||
вычислим c2 . Имеем |
|
|||||||||
|
|
(et , t 2 |
|
1) |
15 |
|
|
|||
c2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
(e 7e 1 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
t 2 |
1 |
4 |
|
|
||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
p1 (t) c0 1 c1 t .
построения
7
Следовательно, p2 (t) 3 (e 10e 1 ) |
3 t |
15 (e 7e 1 )t 2 . |
4 |
e |
4 |
Задания для самостоятельного решения |
||
1. Показать, что в пространстве |
R 2 |
расстояние от элемента x0 (1,0) до |
подпространства L (0, ), R имеет вид U (0, ), [ 1,1] .
2.В пространстве R12 найти расстояние от элемента x0 (0,2) до подпространства L ( , ), R .
3. |
Найти, |
при |
каких значениях параметра |
|
расстояние |
от элемента |
||||||
|
x0 |
( ,1) до |
подпространства |
L (0, ), R в пространстве R32 |
не |
|||||||
|
превосходит ln 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
В |
пространстве |
C[0,1] |
найти |
расстояние |
от |
элемента |
x(t) 1 |
до |
|||
|
подпространства |
L y(t) C[0,1] : y(0) 0 . |
|
Описать |
множество |
|||||||
|
элементов наилучшего приближения. |
|
|
|
|
|
||||||
5. |
В пространстве C[0,1] найти расстояние: |
|
|
|
|
|
||||||
|
а) |
от |
элемента |
x(t) t |
до подпространства |
многочленов нулевой |
||||||
|
степени; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
б) |
от |
элемента |
x(t) t 2 |
до подпространства многочленов степени не |
|||||||
|
более 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6. |
В подпространствах а) |
L2 [0,1] ; |
б) L2 [ 1,1] |
найти проекцию элемента |
||||||||
|
x(t) t 3 |
на подпространство многочленов |
степени не более n , если |
n 0,1,2 .
3. Линейные ограниченные операторы. Норма оператора
Пусть X и |
Y - |
линейные нормированные пространства. Отображение |
|||
A : D( A) X Y |
называется линейным оператором, |
если |
D( A) - линейное |
||
многообразие в пространстве X и для всех x, y D( A) |
и скаляров , имеет |
||||
место соотношение |
A( x y) Ax Ay . Множество |
D( A) |
называют |
||
областью определения, а R( A) y Y :( x D( A))[y Ax]) |
- |
множество |
значений оператора A .
8
Оператор A : X Y называется непрерывным в точке x0 , если из того что
|
xn x0 |
|
|
|
X 0 при |
n следует, что |
|
|
|
Axn Ax0 |
|
|
|
Y 0 . |
Если линейный |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
оператор непрерывен в любой точке пространства, то он |
называется просто |
непрерывным.
Линейный оператор A : X Y называется ограниченным, если существует
такая константа M 0 , что для всех |
x X |
|
|||||||||||||
|
Ax |
|
|
|
Y |
M |
|
|
|
x |
|
|
|
X . |
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема. Линейный оператор A : X Y непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.
Нормой A оператора A называют наименьшую из констант, для которых выполнено условие (1).
Имеют место равенства
A |
|
|
|
sup |
|
|
|
|
Ax |
|
|
|
Y |
sup |
|
|
|
Ax |
|
|
|
sup |
|
|
|
Ax |
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
Y |
Y |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
X 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
X 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
замечание
Пример 1. Пусть - непрерывная на отрезке [a, b] функция. Рассмотрим отображение A : C[a, b] C[a, b] , определяемое соотношением
( Ax)(t) (t)x(t) .
Доказать, что A - линейный ограниченный оператор и найти его норму.
Решение. Линейность следует из соотношения
( A( x y))(t) (t)( x(t) y(t)) ( Ax)(t) ( Ay)(t) .
Покажем , что A - ограниченный оператор. Имеем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax |
|
|
|
|
|
|
C |
|
max |
|
( Ax)(t) |
|
max |
|
(t)x(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
x |
|
|
|
C , |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t [a,b] |
|
|
|
t [a,b] |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
поэтому |
|
|
|
A |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
C . |
|
C . |
|
Рассмотрим функцию |
x0 (t) 1. Очевидно, что |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Докажем, |
что |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x0 |
|
C 1 и |
|
|
Ax0 |
|
|
|
C max |
|
(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C . Таким образом, |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t [a,b] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
Пример 2. Показать, что оператор A : l2 l2 , задаваемый для вектора x (x1 , x2 , x3 ,...) l2 соотношением
Ax ( x21 , 23x2 ,..., kkxk1 ,...)
линеен, ограничен в пространстве l2 , и найти его норму.
Решение. Линейность вытекает из правила сложения и умножения на число в пространстве l2 . Для доказательства ограниченности покажем оценку
(1), когда X Y l2 . Имеем
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
( |
k |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Ax |
|
|
|
|
|
|
|
|
( Ax)k |
|
|
|
) |
|
|
xk |
|
|
|
xk |
|
|
1 |
x |
|
|
|
l2 . |
(2) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
l2 |
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Следовательно, |
|
|
|
A |
|
|
|
1. Из |
|
анализа |
|
знака |
неравенства видно, |
что найти |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
элемент, на котором бы в (2) достигался знак равенства, не удается. Однако,
для любого 0 можно указать |
|
такое n , что |
n |
|
1 . Тогда для |
||||||||||||||||
|
n 1 |
||||||||||||||||||||
en (0,...,0,1,0,...) l2 имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Aen |
|
|
|
|
|
|
|
(1 ) |
|
|
|
en |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
l2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому A 1 .
Пример 3. Доказать непрерывность и найти норму оператора
|
( Ax)(t) 1 t 2 sx(s)ds |
|
|
|
0 |
для |
а) A : C[0,1] C[0,1] , |
б) A : L2 [0,1] C[0,1] . |
Решение. Так как оператор линеен, то для доказательства непрерывности достаточно проверить его ограниченность.
В случае а) имеем оценку
Ax |
|
|
|
|
max |
t 2 |
1 |
sx(s)ds |
|
1 |
s |
|
x(s) |
|
ds |
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
. |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
C |
t [0,1] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
10