новая папка 1 / 336150
.pdf3076
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра физики и биомедицинской техники
ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА. ФИЗИКА ЯДРА. ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ.
Методические указания к практическим занятиям и домашним заданиям
по дисциплинам:
«Взаимодействие излучения с веществом», «Теоретическая физика», «Физические свойства твердых тел»
А.П. Кащенко, Г.С. Строковский, С.И. Шарапов
Липецк Липецкий государственный технический университет
2015
3
УДК 537.9 (07) К-317
Рецензент В.И. Дождиков
Кащенко, А.П.
К-317 Физика твердого тела. Физика ядра. Ядерные реакции [Текст]: методические указания к практическим занятиям и домашним заданиям по дисциплинам: «Взаимодействие излучения с веществом», «Теоретическая физика», «Физические свойства твердых тел» / А.П. Кащенко, Г.С. Строковский, С.И. Шарапов. – Липецк: Изд-во Липецкого государственного технического университета, 2015. – 20 с.
Методические указания предназначены для студентов направлений 12.03.04 «Биотехнические системы и технологии» (профиль подготовки «Инженерное дело в медико-биологической практике»), 28.03.02 «Наноинженерия» (профиль подготовки «Нанотехнологии и наноматериалы»).
Содержат перечень изучаемых тем и разделов, набор заданий и упражнений.
Табл. 2. Ил. 2. Библиогр.: 3 назв.
© ФГБОУ ВПО «Липецкий государственный технический университет»,
2015
4
ФИЗИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА
1. Формула Дебая – молярная колебательная энергия кристалла
|
1 |
|
T |
4 / T |
|
3 |
|
|
|
E 9R |
|
x dx |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x |
|
|||||
|
8 |
|
|
0 |
e |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|||
Здесь R – универсальная газовая |
|
постоянная; |
– характеристическая |
||||||
(дебаевская) температура: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max / k,
где max – максимальная частота колебаний, определяемая из условия, что полное число колебаний равно числу колебательных степеней свободы кристалла.
2. Постоянная Холла для полупроводников
R H |
E |
|
1 |
|
nebe2 ngbg2 |
, |
||||||||||
jB |
e |
|
(n |
e |
b |
e |
n |
g |
b |
g |
)2 |
|||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где е – заряд электрона; ne и ng – концентрации электронов и дырок; be и bg – их подвижности.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача
Определить число n узлов, приходящихся на одну элементарную ячейку в гранецентрированной кубической решётке.
Решение
Выделим элементарную ячейку в кубической решётке (рис. 1) и определим, скольким соседним элементарным ячейкам принадлежит тот или иной узел выделенной ячейки. В этой ячейке имеются узлы двух типов: А (находящиеся в вершинах куба) и В (находящиеся на гранях куба в точке пересечения диагоналей).
Узел А принадлежит одновременно восьми элементарным ячейкам. Следовательно, в данную ячейку узел А входит с долей 1/8. Узел В входит
5
одновременно только в две ячейки и, следовательно, в данную ячейку узел В входит с долей 1/2. Если учесть, что число узлов типа А в ячейке равно восьми, а число узлов типа В равно шести, т.е. числу граней, то общее число узлов, приходящихся на одну элементарную ячейку в гранецентрированной решётке:
n=(1/8) 8+(1/2) 6=1+3=4 узла.
Ответ: так как число узлов равно числу атомов, то в соответствующей структуре на элементарную ячейку приходится четыре атома.
Задача
Определить индексы плоскости, отсекающей на осях решётки отрезки
a 12 , b 2, с 13 .
Решение
Положение плоскости определяется заданием трёх отрезков a, b, c, которые она отсекает на осях решётки. Уравнение такой плоскости имеет вид
x |
|
y |
|
z |
1; |
(1) |
|
a |
b |
c |
|||||
|
|
|
|
где x, y, z – координаты точки, лежащей в этой плоскости. Если плоскость проходит через узлы решётки, а только такая плоскость представляет интерес, то координаты любого узла, лежащего в этой плоскости, будут равны индексам этого узла:
|
|
|
|
|
|
x=u, y=v, z=w. |
(2) |
||||||
Поэтому уравнение плоскости перепишем следующим образом: |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
u |
1 |
v |
1 |
w |
1 |
1. |
(3) |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
c |
|
|||
Так как u, v, w – целые числа, то равенство (3) возможно лишь при |
|||||||||||||
условии, что |
1 |
, |
1 |
, |
1 |
– рациональные |
числа, отношения |
которых можно |
|||||
|
b |
c |
|||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
заменить отношением трёх целых чисел h, k, l:
6
1 |
: |
1 |
: |
1 |
h : k : l . |
(4) |
|
a |
b |
c |
|||||
|
|
|
|
Эти числа являются индексами плоскости. Они заключаются в простые скобки (h k l). Индексы плоскости определяют следующим образом: выражают отрезки a, b, c, которые отсекает плоскость на осях решётки, в осевых
единицах; записывают величины, обратные длинам этих отрезков: 1a , 1b , 1c ;
полученные дроби 1a , 1b , 1c приводят к общему знаменателю. Пусть таковым
будет число d. Тогда подставным множителем для первой дроби будет – da , для
второй – db , для третьей – dc . Целые числа da , db , dc и представляют собой индексы плоскости h, k, l:
h |
d |
|
, k |
d |
, l |
d |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
a |
|
b |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В соответствии с условием |
задачи |
отношения |
1 |
: |
1 |
: |
1 |
|
1 |
: |
1 |
: |
1 |
|||||||
a |
b |
c |
|
12 |
2 |
13 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
представляют рациональные числа. Общим знаменателем правой части
является 2, подставными множителями будут h |
2 |
4, |
k |
2 |
1, |
l |
2 |
6. |
|
1 |
2 |
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
Поэтому h=4, k=1, l=6.
Ответ: индексы плоскости (4 1 6).
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
1. Кристаллические решётки натрия и меди кубические объёмно- и гранецентрированные соответственно. Плотность этих металлов: ρNa =0,97 г/см3 и ρCu =8,9 г/см3. Найти постоянные их кристаллических решёток.
7
2. Определить колебательную энергию и теплоёмкость кристалла при температуре T, считая каждый атом решётки квантовым гармоническим осциллятором и полагая, что кристалл состоит из N одинаковых атомов, колеблющихся независимо друг от друга с одинаковой частотой ω.
Упростить полученное выражение для теплоёмкости при kT>>ħω и kT<<ħω.
3. Доказать, что для трёхмерного кристалла число нормальных колебаний одной поляризации в интервале частот (ω, ω+dω) определяется формулой
dZ (V / 2 2 3) 2d
где V – объём кристалла; – скорость распространения колебаний.
4. Характеристическая температура Дебая для вольфрама равна 310 К. Определить длину волны фононов λ, соответствующих частоте v = 0,1 vmax.
Вычислить усредненную скорость звука в вольфраме. Дисперсией волн в кристалле пренебречь. Плотность вольфрама 19,3 Мг/м3.
5.Определить параметр а (рис. 1) решётки кристалла кальция (решётка гранецентрированная кубической сингонии). Плотность ρ кристалла кальция равна 1,55x103 кг/ м3.
6.Вычислить коэффициент преломления металлического натрия для электронов с кинетической энергией Е=135 эВ. Считать, что на каждый атом приходится один свободный электрон. Плотность натрия 0,97 Мг/м3, работа выхода электронов из натрия 2,27 эВ.
7. Электропроводность металла ne2 / m , где n – концентрация свободных электронов; е и m – заряд и масса электрона; τ – время релаксации,
8
которое связано со средней длиной свободного пробега электрона соотношением <λ> = τ < υ >; < υ > – средняя скорость свободных электронов. Вычислить τ, < λ > и подвижность свободных электронов меди, если n=8,5x1022см-3 и удельное сопротивление р =1,60x10-6 ОМ·см. Сравнить полученное значение < λ > со средним расстоянием между соседними атомами меди.
Рис. 1 |
Рис. 2 |
8.На рис. 2 показан график зависимости логарифма электропроводности от обратной температуры (Т, К) для кремния с примесью бора. Объяснить характер этого графика. Найти с его помощью ширину запрещённой зоны кремния и энергию активации атомов бора.
9.Пластинку из полупроводника p-типа шириной d=10 мм и длиной
l=50мм поместили в магнитное поле с индукцией B=0,5 Тл. К концам планки приложили постоянное напряжение U=10,0 В. При этом холловская разность потенциалов оказалась UH = 50 мВ и удельное сопротивление ρ=2,5 Ом·см. Определить постоянную Холла, концентрацию и подвижность дырок.
10. Оценить максимальные значения энергии и импульса фонона в меди, дебаевская температура которой равна 330 К.
9
11.Оценить энергию нулевых колебаний моля алюминия, если межатомное расстояние a≈0,3 нм и скорость распространения акустических колебаний v=4 км/с.
12.Воспользовавшись распределением свободных электронов в металле вблизи T=0, найти при Т=0:
а) максимальную кинетическую энергию свободных электронов в металле, если их концентрация равна n;
б) среднюю кинетическую энергию свободных электронов, если их максимальная кинетическая энергия равна Еmax.
13.Сколько процентов свободных электронов в металле при Т= 0 имеют кинетическую энергию, превышающую половину максимальной?
14.Имея в виду, что средняя энергия свободного электрона в металле при температуре Т определяется по формуле
E (3/ 5)EF 1 (5 2 /12)(kT / EF)2 ,
найти для серебра, дебаевская температура которого θ =210 К и энергия Ферми ЕF= 5,5 эВ, отношение теплоёмкости электронного газа к теплоёмкости решётки при T=300 К.
15.Найти постоянную решётки каменной соли, зная массу одного киломоля каменной соли и её плотность (ρ=2,2 г/см3). Кристаллы каменной соли обладают простой кубической структурой.
16.В рамках модели Дебая написать выражение для внутренней энергии
Етрёхмерного изотропного кристалла объёма V, имеющего температуру Т и содержащего N атомов. Скорость звука в кристалле равна v.
10
17.Каков физический смысл температуры Дебая кристалла?
18.Приняв, что минимальная длина тепловых волн в кристалле
λmin=2a≈0,6 нм, где а – постоянная решётки, а скорость звука v=5 км/с, оценить по порядку величины температуру Дебая θ.
19.Дебаевская температура для свинца θ=95 К. Найти отношение теплоёмкости свинца при температуре Т=5 К к теплоёмкости, даваемой законом Дюлонга и Пти.
20.Определить максимальную частоту собственных колебаний в кристалле золота по теории Дебая. Характеристическая температура золота
θ=180 К.
21.Вычислить по теории Дебая нулевую энергию одного килограмма кристалла меди. Характеристическая температура θ для меди равна 320 К.
22.При нагревании m=10 г серебра от T1=10 К до Т2=20 К было подведено Q=0,71 Дж теплоты. Определить характеристическую температуру Дебая θ серебра. Считать Т << θ.
23.Полагая, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон, определить:
а) уровень Ферми при абсолютном нуле ЕF (0) для меди;
б) среднюю кинетическую энергию свободных электронов < Е > при абсолютном нуле.
24.Во сколько раз изменяется при повышении температуры от 300 до 310К электропроводность:
11
а) металла; б) собственного полупроводника, ширина запрещённой зоны которого Е
=0,300 эВ? Каков характер изменения в обоих случаях?
25.Найти число свободных электронов, приходящихся на один атом
натрия при Т=0, если уровень Ферми ЕF =3,07 эВ и плотность натрия равна
0,97г/см3.
26.До какой температуры нужно нагреть классический электронный газ, чтобы средняя энергия его электронов оказалась равной средней энергии свободных электронов в меди при Т=0? Считать, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон.
27.Вычислить давление электронного газа в металлическом натрии при Т=0 К, если концентрация свободных электронов в нем n=2,5х1022 см-3.
Воспользоваться уравнением для давления идеального газа.
28. При измерении эффекта Холла в магнитном поле с индукцией В=5,0кГс поперечная напряжённость электрического поля в чистом беспримесном германии оказалось в η=10 раз меньше продольной напряжённости электрического поля. Найти разность подвижностей электроно в проводимости и дырок в данном полупроводнике.
29. Определить индексы плоскости, отсекающей на осях решетки а=1, в=2
ис=3.
30.Определить отрезки, которые отсекает на осях решетки плоскость (123).
12