Литература и лекции / Векторы1

других случаев стоится аналогично). Тогда

Поскольку линейная комбинация двух векторов лежит в плоскости, которой они параллельны (или в которой они лежат), вектор ~c прараллелен той же плоскости (или

в ней лежит). Это и означает компланарность тр¼х векторов.

Замечание Если вектор параллелен заданной прямой, то параллельным переносом, от кото-

рого вектор не изменяется, вектор можно перенести на прямую. Поэтому слова "вектор, параллельный заданной прямой, или лежащий на ней" впредь, для краткости, будут заменяться словами "вектор, лежащий на заданной прямой".

Замечание Если вектор параллелен заданной плоскости, то параллельным переносом, от

которого вектор не изменяется, вектор можно перенести на плоскость. Поэтому слова "вектор, параллельный заданной плоскости, или лежащий на ней" впредь, для краткости, будут заменяться словами "вектор, лежащий на заданной плоскости".

в линейном пространстве E ; åñëè 8x 2 E 9 набор чисел ¸1; ¸2; : : : ; ¸n такой, что x = ¸1g1 + ¸2g2 + : : : + ¸ngn : Количество элементов базиса n называется размерностью пространства E :

Замечание Множество векторов, лежащих на заданной прямой, есть линейное пространство.

Множество векторов, лежащих на заданной плоскости, есть линейное простран-

ñòâî.

Множество векторов в окружающем нас 3 мерном пространстве есть линейное пространство.

Сказанное непосредственно вытекает из определния суммы векторов и определ-

11

ния произведения вектора на число.

Теорема о базисе на прямой

Базисом множества векторов, лежащих на заданной прямой, может служить любой íåнулевой вектор, лежащий на ней.

Доказательство

~

Пусть вектор ~g (ïðè÷¼ì, ~g 6= 0) лежит на прямой ` : Рассмотрим произвольный

антинаправлен с ~g ; òî ~x = ¡jj~x~gjj ¢ ~g :

Теорема о базисе на плоскости

Базисом множества векторов, лежащих на заданной плоскости, может служить любая пара íåколлинеарных векторов, лежащих на ней.

Доказательство

Пусть векторы ~g1 è ~g2 неколлинеарны.

Рассмотрим случай, когда ~x неколлинеарен векторам ~g1 è ~g2 :

Отсутствие коллинеарности автоматически означает, что векторы ~x ; ~g1 ; ~g2 все ненулевые.

Ðèñ. 4

Совместим начала векторов ~x ; ~g1 ; ~g2 в точке O (Рис. 4). Пусть `1 ; `2 прямые, на которых лежат векторы ~g1 ; ~g2 соответственно. Пусть точка M есть конец вектора ~x : Провед¼м через не¼ две пунктирные прямые, параллельные прямым `1 è `2 (на Рис. 3 показаны çåë¼íûì è красным цветом соответственно). Пусть G1 ; G2

12

что и доказывает Теорему.

Теорема о базисе в тр¼хмерном пространстве

Базисом множества векторов в тр¼хмерном пространстве может служить любая тройка некомпланарных векторов.

Доказательство

Пусть векторы ~g1 ; ~g2 è ~g3 некомпланарны.

Доказательство построим только для случая, когда ~x неколлинеарен векторам ~g1 ; ~g2 è ~g3 ; а также некомпланарен парам векторов f~g1; ~g2g ; f~g1; ~g3g ; f~g2; ~g3g :

Провед¼м через точку N плоскость, параллельную плоскости O~g1~g2 (íà Ðèñ. 5

показана голубым цветом).

Упомянутые три пары плоскостей лежат на гранях параллелепипеда ON :

что и доказывает Теорему.

Определение

Ось это прямая, на которой выбрано направление, называемое положительным. Противоположное направление считается отрицательным. Числовая ось это ось, на которой выбрана точка, называемая началом

отсч¼та (чаще всего она обозначается буквой O "Origin"), а также вы-

бран масштаб отсч¼та.

Каждой точке на числовой оси ставится в соответствие число (численное выражение точки на оси), модуль которого выражает расстояние этой точ- ки от начала отсч¼та, прич¼м, число бер¼тся со знаком "плюс", если точка отстоит от начала в положительном направлении оси, и со знаком "минус"в

14

противоположном случае.

Замечание При работе с векторами используются понятия "расстояние", "длина", поэтому

есть смысл далее совместно с векторами рассматривать только числовые оси.

Определение

Проекция точки на ось это основание перпендикуляра, опущенного из точки на ось.

Численное выражение проекции точки на ось это число, поставленное в соответствие проекции точки на ось.

Проекция вектора на ось это вектор с началом и концом соответственно в проекции начала и проекции конца вектора на ось.

Численное выражение проекции вектора на ось это разность численнного выражения проекции конца вектора на ось и численного выражения проекции начала вектора на ось.

Компонента вектора по оси ` это численное выражение проекции вектора на ось ` :

Определение Îðò îñè ` это единичный вектор, параллельный оси ` (или лежащий на

ней) и сонаправленный с ней.

Теорема

Перемещение вектора параллельным переносом не изменяет проекцию вектора на заданную ось.

Без доказательства.

Замечание

В литературе применяется два способа написания проекции вектора ~a íà îñü ` ; а именно, Pr` ~a ; è Ïð` ~a :

15

Координатные плоскости разбивают тр¼хмерное пространство на восемь пронумерованных частей, называемых октантами.

Замечание Нумерация октантов зада¼тся следующей таблицей.

Теорема

Справедливо равенство

~ ~ ~

~a = (ax ; ay ; az) = ax¢ i + ay ¢ j + az ¢ k :

17

Замечание

è ~

Кратчайшим углом между векторами ~a b принято называть угол, подчиня-

c

~

ющийся требованию ¡¼ < ~a b · ¼ :

Замечание

~~

2.~a ¢ b = b ¢ ~a (коммутативность).

Без доказательства.

Замечание

То, что используется в Пункте 1, принято называть "скалярным произведением вектора на себя".

Теорема (признак перпендикулярности векторов)

18

Доказательство достаточности

Теорема о вычислении скалярного произведения векторов в декартовых компонентах

~

Åñëè ~a = (ax; ay; az) ; b = (bx; by; bz) ;

~

òî ~a ¢ b = axbx + ayby + azbz :

Доказательство

произведения единичных векторов на себя.

= axbx + ayby + azbz :

Доказательство закончено. Определение

19

производится против часовой стрелки.

Замечание

~

Мы будем пользоваться обозначением ~c = ~a £b ; которое предпочитают физики

~

и техники. Обозначение ~c = [~a; b] в чести у математиков теоретиков.

Замечание

Если вектор ~c подчиняется только требованиям 1 и 2, то вектор ¡~c также им

подчиняется, то есть требований 1 и 2 недостаточно для однозначного определения вектора ~c :

Если вектор ~c подчиняется требованию 3, то принято говорить, что тройка век-

~

торов ~a ; b ; ~c правая. Название "правая" сложилось потому, что такая тройка векторов похожа на конфигурацию указательного (~a ; направлен горизонтально), сред-

íåãî (~

b ; направлен горизонтально) и большого (~c ; направлен вертикально) пальцев

правой руки.

Если тройка векторов не является правой, то она называется левой тройкой. Если хотя бы один из тр¼х векторов является нулевым, понятие "тройка векто-

ров" утрачивает смысл.

20