книги / Функции комплексного переменного и их приложения

Y

сохранения углов между линиями и постоянством растяжений (рис. 2.31).

вточке со0;

2)если в плоскости комплексного переменного (z) возь­ мем бесконечно малый круг с центром в точке z0, то в плоско­

бражение обладает свойством консерватизма углов и подобия в малом.

Если при отображении <в = /( z ) углы между соответст­

вующими направлениями равны не только по величине, но и по направлению отсчета, то такое отображение называется кон­ формным отображением первого рода. Конформное отображе­ ние, при котором углы сохраняются только по абсолютной ве­ личине, но направление их отсчета изменяется на проти­ воположное, называется конформным отображением рода [9].

Простейшим примером конформного отображения первого рода является отображение со = z, а отображение второго рода —

отображение со = z

Условимся в дальнейшем рассматривать только конформ­

ные отображения первого рода.

Остановимся кратко на общих теоремах теории конформ­ ных отображений. Подробное их изложение и доказательства можно найти в работах [1, 4, 7].

1. Теорема Римана. Существует аналитическая функция со —/( z ) , отображающая взаимно-однозначно и конформно од­

ну односвязную плоскую область D на другую G , если только ни одна из этих областей не совпадает со всей плоскостью с од­ ной выколотой точкой или всей расширенной плоскостью.

Имеется бесконечное множество аналитических функций, осуществляющих отображение области D на область G Един­ ственность отображающей функции со = /( z ) будет обеспечена, если потребовать, чтобы выполнялось одно из следующих

отрезок Г, входящий в границу области (рис. 2.32).

Обозначим соответственно через / и L прямые, на кото­ рых лежат отрезки у и Г Принцип симметрии утверждает: ес­

ли функция со = / (z) аналитична в области D, а также во всех внутренних точках граничного отрезка у, то эта функция ана­

литична также в области D*, симметричной с D относительно прямой I , и обладает тем свойством, что любые две точки z, и z2 (из которых одна лежит в D ), симметричные относительно /, отображают в точки со, и со2, симметричные относительно прямой L.

Проиллюстрируем применимость рассмотренных выше теорем на конкретном примере.

Пример 1. В области D , ограниченной контуром у :

х2 + у 2 - 2 х = 0 , задана функция со = 3z + /.

Вкакую область перейдет D при отображении, осуществ­ ляемом этой функцией?

и = З х , v = Ъу +1. Отсюда * = у , у - — . Контур у отобразим

на контур Г :

т.е. окружность радиусом R =3 с центром в точке

Положительное направление обхода контура у соответст­

вует положительному направлению обхода контура Г В этом можно убедиться, задав контуры параметрическими урав­ нениями

Согласно принципу взаимного однозначного соответствия границ область D отобразится в область G - внутренность ок­ ружности, ограниченной контуром Г

Конформные отображения, осуществляемые основными элементарными функциями, подробно рассмотрены в работах [2, 4, 6, 7]. В рамках рассматриваемой работы остановимся лишь на функции Жуковского.

Функция вида

z = О, где она имеет полюс первого порядка, называется функ­

z * ± 1, а значит, отображение, осуществляемое этой функцией, везде конформно, кроме точек z * ± 1. Функция (2.58) отобража­ ет конформно область |z| < 1 на всю плоскость со, разрезанную

по отрезку [ - 1,1] действительной оси. Граница области - ок­ ружность |z( = 1 —отображается на этот отрезок, причем верхняя полуокружность отображается на нижний, а нижняя - на верх­ ний край разреза. Аналогично область |z| > 1 отображается на

^_____

cos2cp sin2 ср

71

Лучи arg z = 0, arg z = ± —, arg z = п отображаются на два­

жды пробегаемые бесконечные отрезки действительной или мнимой осей.

Пример 2. Пользуясь функцией Жуковского, найти образ области

Решение. Подставим z - r - e iy в функцию Жуковского

и —— г + — coscp,

Обходя контур сектора в положительном направлении ОАВО (рис. 2.34), получим: отрезок ОА перейдет в бесконеч­

тельной оси А'В’, а отрезок ВО перейдет в кривую

или w2 —v 2 —— (гипербола).

Согласно принципу взаимно-однозначного соответствия

В заключение пункта Д. 2.4 остановимся на очень важном для прикладных задач конформном отображении прямоуголь­ ника на полуплоскость [6].

и

о

Рис. 2.34

Пусть в плоскости (Q) дан прямоугольник АВВ'А с вер­

шинами в точках и - а , а + Ы, - а + Ы , где а,Ь - некоторые положительные числа.

Требуется конформно отобразить этот прямоугольник на верхнюю половину плоскости (Z ).

Как известно из теории функций комплексного переменно­ го, искомая отображающая функция непрерывна вплоть до гра­ ницы. Если обозначить через с, (/ = 1, 2,3,4) точки действитель­

ной оси, являющейся образами вершин прямоугольника, то по известной формуле Шварца-Кристоффеля [2]

(2.59)

На основании общих теорем отображающая функция впол­ не определится, если задать образы трех граничных точек пря­ моугольника. Потребуем, чтобы точкам и = -а,0,а (рис. 2.35) отвечали точки z = -1,0,1 Этими требованиями определяются

три из констант, а именно:

с - 0, с3= - 1, с4=1.

Рис. 2.35

Таким образом, (2.59) запишется:

По принципу симметрии Римана-Шварца [4] функцию и можно аналитически продолжить через отрезок [-1,1] действи­

тельной оси плоскости (Z ).

Получим прямоугольник, симметричный данному относи­ тельно оси (нижний прямоугольник), и формула (2.60) даст ото­ бражение на этот прямоугольник нижней полуплоскости. Это же отображение получим, если в (2.60) заменим и на. - и , a z на -z. Но если

0 yj(x2 - l ) ( x - c }) { x - c 2)

TO

°\l(x2~l)(x+ ci)(x+ ci)

В силу единственности отображающей функции при принятом соответствии трех граничных точек функция (2.60) должна быть тождественна с (2.61), откуда следует, что

{х ~ с\){х ~ сг) = (х + с\){х + сг) и, следовательно, с2 = -с,