книги / Переходные процессы в электрических цепях, содержащих машины переменного тока
..pdfПоследнее выражение для |
[L] |
следует |
из |
уравнений |
||||||
(1-62) и (1-63), если |
их |
объединить в одно. |
|
|
||||||
Выполнив дифференцирование клеточной матрицы [L], |
||||||||||
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДО |
= |
л- |
d l^pp] __ n |
|
|
|
|
||
|
|
’ |
|
d U |
Ui |
|
|
|
|
|
<*[Мср) |
— M |
sin 8 |
|
|
sin (8 + |
120°) |
|
|
||
sin (8 — 120°) sin 8 |
|
|
|
|||||||
Д О |
|
|
|
|||||||
|
sin (8 + |
|
120°) sin (0 - |
120°) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
sin (0 — 120°) ‘ |
|
|
|
|
|
||||
|
sin (8 + |
120°) |
; |
|
|
|
|
(1-93) |
||
|
sin 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d[MK\ |
— M |
sin0 |
|
|
sin (8 — 120°) |
|
||||
sin (8 + |
120°) |
sin 0 |
|
|
|
|||||
ДО |
|
|
|
|||||||
|
sin |
(6 - |
|
120°) |
sin (8 -f |
120°) |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||
|
sin (0 + |
120°) "I |
|
|
|
|
|
|||
|
sin (0 — 120°) |
= |
dt |
|
|
|
|
|||
|
■ a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда дчя T будем иметь: |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
d lAlçp) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДО |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1-94) |
||
|
|
|
|
|
d [AÏcmI |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
ДО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вводя преобразованные токи |
[ /с'] |
и |
[ |
согласно |
||||||
(1-79) и учитывая свойства произведения транспонирован
ных матриц [Л. 159, 160], будем иметь: |
|
|
|||
Т = _1_ |
|
|
|
X |
|
2 [ ht ] [Act ‘3 1[ ht ] [Apt '] |
|||||
0 |
d l‘>iCp) |
|
|
|
|
ДО |
[АГМ |
[ 4 ] |
I |
||
d [Aïcp/) |
|||||
0 |
[Лр J |
[ г'р] j |
|||
d U |
|||||
|
|
|
|
||
На основании свойств произведения матриц это выра жение может быть переписано так:
0
|
*с |
. (1-95) |
|
j |
|
0 |
|
|
h |
|
Далее выполняем умножение средней клеточной квад ратной матрицы на клеточную матрицу-столбец, стоящую справа, что допустимо, так как число столбцов матриц, стоящих в каждой из клеток средней клеточной квадратной матрицы, равно числу строк матриц, стоящих в каждой из клеток матрицы-множителя:
т — — |
[ ht ] [ ht ] |
(1-96) |
2 |
|
|
Произведя дальнейшее перемножение клеточной матри цы-строки на клеточную матрицу-столбец, получим:
т = Г , + 7 V = - L [ ,у № '] |
[ V ] [ ] + |
|
+ 1 [ 4 Ч № ] ^ [ А Г ' ] Ш - |
« - W |
|
Выполнив сначала перемножение трех средних матриц в составе Тср, получим для Тср:
_П |
^[Л1, |
|
|
|
|
|
tffl |
|
|
|
|
|
0 — 1 |
0 |
*pd |
|
|
^ [ hd hq 4:0 |
1 |
о |
о |
Кч |
(1-98) |
|
0 |
0 |
0 |
V |
|
Далее, можно показать, что |
Тср «■» Гре, т. е. доказать в |
|
общем случае равенство двух |
составляющих |
и Трс |
электромагнитного момента, обусловленных взаимодействи
ем статорных и роторных токов, если |
учесть, |
что |
[л ^ 1]» |
||||
[Лр1] и |
d[Mçр] |
и их транспонированные |
матрицы явля |
||||
db |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
ются прямоугольными, крайние слева матрицы |
[ |
и [ 4« ] |
|||||
представляют собой матрицы-строки, |
а |
крайние |
справа |
||||
матрицы [ г'р] и [ /с] — матрицы-столбцы. |
|
|
|
||||
В самом деле, |
обозначив [В] = — |
|
[Л|Г'] |
и учтя |
|||
правила умножения транспонированных матриц, получим:
Тогда, обозначив
№ '] [в] |
U r '] = [с], |
получим:
Далее, обозначив
причем из сказанного выше |
следует, |
что |
[О] — матрица- |
|
столбец, получим: |
|
|
|
|
[ < . ] № ■ [ |
|
- |
м |
■ |
причем [Z),] является матрицей-строкой. |
|
|
||
После этого получаем: |
|
|
|
|
- f [ «,] [О] --£ ■ [ |
^ |
[ д |
г ' ] [ |
4 ] - |
Выполнив перемножение в соотношении (1-99), получим известное выражение для электромагнитного момента асин хронного двигателя:
T = T T ^ ~ L ad (ipdic9 - i„ i j . |
(1-100) |
Теперь к полученным выше уравнениям напряжений и потокосцеплений статора и ротора (1-77), (1-84), (1-86) и (1-89) добавим уравнение движения ротора асинхронного двигателя:
|
|
|
|
dP |
|
dt |
'(1-101)’ |
|
Мы получили девять уравнений |
с девятью неизвестными |
|||||
4* |
V |
^сг> |
içd< |
h r |
%<г> 6 |
(иб° Уравнения для |
|
потокосцеплений |
и напряжений |
нулевой последовательно |
|||||
сти |
статора |
и ротора |
являются |
независимыми), решение |
|||
которых позволяет исследовать и рассчитать любые элек тромеханические переходные процессы в асинхронном дви гателе. При этом напряжения на зажимах статора иы, исд,
исg должны быть либо заданы, либо связаны уравнениями с токами и параметрами цепи статора. Напряжения на за
жимах ротора и,**, ирг, «рз должны быть связаны с токами
ротора |
ip,*, itq, /рз, |
если в цепь ротора включены какие- |
либо иззестные сопротивления, индуктивности или емкости. |
||
Если же |
к зажимам |
ротора включен какой-либо источник |
напряжения, то его напряжения uod, ищ и |
также дол |
жны быть заданы. Угловая скорость вращения |
коорди |
натных осей также должна быть задана.
Сравнивая приведенный нами вывод с выводом А. А. Ян- ко-Триницкого [Л. 123], заключаем, что наш вывод проще. Кроме того, достоинством нашего вывода является тот факт, что он не требует применения комплексных чисел, в то время как А. А. Янко-Триницкий как в основном преоб разовании, так и в преобразовании поворота оперирует с комплексами.
Перепишем в развернутом виде уравнения (1-77), (1-84), (1-86) и (1-89) и учтем при этом равенства (1-74) и (1-75). Уравнения закона Ома для цепи статора запишутся в виде:
И.<Х |
|
d Ф,en |
|
'с, + л |
+ ®*Фс*; |
||
И.сО |
Гс'сО + |
d Фер |
|
dt |
|
||
|
|
|
|
Уравнения потокосцеплений статора:
4*oi |
^ 'erf ~Ь ^ай ipd’ |
4*cj |
^Ci 'cç “Ь l"ad îpq’ |
ФоО~ |
-^co'cO- |
Уравнения закона Ома для цени ротора:
(1-102)
(1-103)
“ prf =■ гр *prf + |
dt — |
К |
- |
«) V |
|
°р? ^ |
гр ^р? ”Ь |
+ |
К |
- |
®) V |
*р0 |
гр /ро + |
^ фро |
|
|
|
|
|
4* |
|
|
|
Уравнения потокосцеплений ротора:
V |
^ ad |
“Ь ^pl'prf» |
tpî |
^ad 'с? ~f" ^"pl 'py> j |
|
type = |
^"po 'p(T |
|
(1-104)
(1-105)
И, наконец, уравнение движения ротора с учетом выра жения (1-100) для электромагнитного момента
('pÂy |
'py'crf.:) - Тс |
•(1-106) |
Мы получили, разумеется, те же самые уравнения, ко торые были выведены А. А. Янко-Триницким [Л. 123]. Срав нивая уравнения (1-60) — (1-63) и (1-90) с уравнениями (1-102) — (1-106), заключаем, что последние значительно проще первых, ибо статорные и роторные потокосцепления и электромагнитный момент не содержат периодических коэффициентов. Некоторым усложнением в уравнениях
(1-102) и (1-104) является появление э. д. с. вращения, за висящих от произведений составляющих потокосцеплений на угловые скорости координатной оси относительно обмо ток статора со4 и ротора сол — ш.
Из соотношений (1-102) — (1-106) следует, что из урав нений симметричной в магнитном и электрическом отноше нии машины переменного тока (асинхронная машина) после проведения вышеуказанных преобразований перио дические коэффициенты могут быть исключены при любом выборе значений для угловой скорости сол вращающихся координатных осей.
Система уравнений (1-102) — (1-105) может быть зна чительно упрощена, если из нее исключить потокосцепле-
ния:
«а/ = (Ч + |
A l ~ ) |
A |
+ Lad |
- |
(Al А + |
A i i„)i |
||||
Ucq — {rc + |
A l ~ r j icq + A i |
+ |
Ш* (Al lcd + |
A i A )’ |
||||||
ttc0 == |
4" Ao |
A |
’ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1-107) |
Mpi — ^rp + |
A l |
ipd + |
Lad |
|
(W* |
Ш) (A i A |
4" A l A ^’ |
|||
kp? — (rp + |
A i |
A |
+ |
Aia |
+ |
(®*— |
(Ал A |
4- A A ; |
||
“ po - |
(rp 4- A»-^-) A - |
|
|
|
|
|
|
(bl08^ |
||
Отсюда видно, что если заданы |
и^, и и^, |
легко и при |
||||||||
том |
независимо от |
остальных |
составляющих |
напряжений |
||||||
и токов находятся токи |
А и А - |
Поэтому в дальнейшем |
||||||||
будем рассматривать уравнения только для составляющих d и q. Так как ротор асинхронной машины электрически и магнитно симметричен, в уравнения для иы и ucq (а также
для ирЛ и Ищ ) |
входят одинаковые индуктивности. |
||
Как известно [Л. 51, 93, 123 и др.], для угловой скорости |
|||
координатных |
осей |
берут следующие значения: |
|
1) |
= ш0, |
где |
со0 — синхронная скорость; |
2) |
— ш, т. е. координатные оси будут неподвижными |
||
относительно ротора. В этом случае уравнения (1-107) и (1-108) совпадают с уравнениями Стенли [Л. 51]. Интере сен этот случай тем, что в роторных уравнениях исчезают э. д. с. вращения. Зато в статорных уравнениях э. д. с. вра щения являются произведением составляющих токов и уг ловой скорости ротора со = а>к.
3) о)к = 0, т. е. координатные оси неподвижны относи тельно статора. В этом случае исчезают э. д. с. вращения в статорных уравнениях.
Необходимо, однако, отметить, что случай <ок = 0 не эк вивалентен записи уравнений в фазных координатах, от которых мы отправлялись в самом начале исследования. Дело в том, что, как следует из равенств (1-79) и (1-71), даже при coé= 0 преобразованные к осям dk, qk, 0 значения токов и других величин представляют собой результиру ющие волны, обусловленные обмотками всех трех фаз, и вследствие этого периодические коэффициенты из уравне ния потокосцеплений и электромагнитного момента исче зают.
Как известно из литературы [Л. 25, 27, 49, 51, 92, 93, 123 и др.] и, в частности, из вышеупомянутых работ А. А. ЯнкоТриницкого и Е. Я. Казовского, уравнения (1-102) — (1-108) могут быть записаны в комплексной форме, если
положить: |
|
|
“с “ |
a cd + J ucq> |
|
«P = |
«pd + / и рг; |
|
e |
^cd 4” |
(1-109) |
|
|
|
lp ** hd "bJ^vr |
|
|
Фс = Фс*+/Фсг; |
|
|
Фр “ |
'l’pd +/Ф рг- |
|
Тогда получаем: |
|
|
Фс в ^cl К + ^ad гр ' |
(1-110) |
|
Фр ~ ^аЛ К "Ь ^pi ^р *
или, исключив потокосцепления |
|
|
|
||
Ис — |
+ { j |
+ ~ l LcXJ 4 + |
{ ja k + |
~ г) Aw»*p * |
|
|
|
|
|
|
(Ы Н ) |
|
«р = |
[ J (®* — ®) + |
A i |
+ |
|
|
+ { 'p + [y K - ®> + £ ] v } K • |
о - н з |
|||
получим два дифференциальных уравнения, каждое первого порядка с двумя комплексными неизвестными /с и /р , при
чем при |
©* = 0, ш |
или |
©0 по крайней мере одно из этих |
|
уравнений является |
нелинейным, если мы рассматриваем в |
|||
асинхронном |
двигателе |
переходные электромеханические |
||
процессы |
(т. |
е. процессы |
при переменной угловой скорости |
|
©его ротора).
Для электромагнитного момента на основании равенств
(1-100), (1-109) и (1-110) получаем одно из следующих со отношений:
т - \ |
L*aIm |
= T |
i,,' Re |
[ ^ 4 1 ” |
|
- |
- | - / я [ i . К ] ” |
- f |
Re [ Ы |
] ■ |
0-113) |
Если как частный случай рассматривать в асинхронном двигателе только переходные электромагнитные процессы, т. е. считать скорость ротора © постоянной и, разумеется, для ©4 брать также постоянное значение, то уравнения (1-111) и (1-112) будут линейными. Рассмотрение уравне ния электромагнитного момента и уравнения движения ро
тора при этом отпадает. |
|
и |
(1-112) к изображени |
|
Перейдя в уравнениях (1-111) |
||||
ям, положив: |
|
|
|
|
û j p ) = |
ü c = u , (/) = |
«;,- |
||
ü p (P) = |
0 Р = |
Пр (/) = |
ûp ; |
|
Д (р) = |
Д = |
*c (о = |
|
(1-114) |
4; |
||||
(/>) |
|
(0 = |
*P » |
|
с учетом ненулевых начальных условий получим:
ÛQ= [гс + |
(P + J ш*) K J / с + ( p + j <ùk) |
/ р + |
K i h (0) + |
||||||
|
|
|
+ -^в<1гр(0); |
|
|
|
G-115) |
||
О |
= [ Р + j |
(a k |
®)] Lad i c + |
(гр + [p ~hj (®* |
m)] |
К + |
|||
|
|
|
+ ^ U |
o ) |
+ v U |
° ) - |
|
|
d -Пб) |
И, |
наконец, |
при |
/с (0) = |
ip (0) = 0 |
получаем |
комплексные |
|||
операторные уравнения электромагнитных переходных про цессов асинхронного двигателя:
Оа *= [гс + (Р +У ®*) 7 cd 7С+ (P + У ®é) Au К • (1-117)
Up = [/> +У К - ® ) ] A u  + |
{Гр+\Р + J К - |
®)] Lpl !7р • |
|
|
(1-118) |
Для короткозамкнутого |
ротора ( Up = 0 ), |
исключив 1р |
из уравнений (1-117) и (1-118), найдем наиболее общее вы
ражение полного комплексного операторного |
сопротивле |
||||||||
ния |
асинхронного двигателя: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Ос |
|
|
|
(1-И9) |
|
|
|
|
|
2д[/в+ ;'(“>* — “>)] ’ |
|
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 Г„ I / /щ |
_~\1 _ |
1гс + (Р + / Шк) ^cll frP + \Р + f ( mk — Ю)1Х _ |
|||||||
Д |
4 |
|
|
Гр + [р +/(и>*— U))] Z-pi |
|
|
|||
|
-* |
Х LPl) — Ip + J ^ k — U))! (P +j<»k) L1ad t |
(1_120) |
||||||
Заметим, что мы его называем полным, потому |
что в |
||||||||
состав его входит сопротивление статора |
гс . Его можно за |
||||||||
писать иначе: |
|
|
|
|
|
|
|
||
2д Ip + J к |
~ |
1®)] = Ге + (P + j< 0 k) ХА \р + J |
К |
— ©)]• (1-121) |
|||||
Отметим, что из этого соотношения, как частный случай, |
|||||||||
при |
шА= 0 |
|
или |
шА= ш0 получаются |
формулы |
для |
2 Д, |
||
приведенные у Е. Я. Казовского [Л. 97]. |
|
|
|
|
|
||||
Отсюда имеем |
далее наиболее общее |
выражение |
для |
||||||
комплексного |
операторного реактивного |
сопротивления |
|||||||
\р + j (шл— ш)] |
асинхронного двигателя: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
(1-122) |
К тому же, конечно, выражению для |
хл [р + у (®é — со)] |
||
придем, вы рази в/р через |
/ с из (1-118) при £/р = 0 |
и под |
|
ставив его значение во второе уравнение |
(1-110), |
перепи |
|
санное для изображений |
|
|
|
\ P + j К - |
<*>)] 1С= хд [р + J |
(ш *- «.)] / с . |
|
|
|
|
(1-123) |
Здесь мы приравняли численные значения LA[p -f у (юА— |
|||
— ш)] и хл \р + у (ш* — и)], поскольку при переходе к от |
|||
носительным единицам и выборе синхронной скорости ю0 |
|||
за единицу угловой скорости, индуктивность и индуктивное сопротивление выражаются, как известно [Л. 123 и др.], од ним и тем же числом.
Как частный случай из полученного |
нами |
выражения |
|
(1-122) для операторной реактивности |
хд (р) |
при <о4 = |
ю, |
т. е. при отнесении уравнений асинхронного |
двигателя |
к |
|
координатным осям, жестко связанным с его ротором, сле
дует после некоторых преобразований |
формула, |
которая |
||
имеется в работах |
Е. Я. Казовского |
и других |
авторов |
|
[Л. 25, 27, 92, 93, 97 |
и др]. |
|
|
|
|
|
|
|
(1-124) |
где |
|
|
|
(1-125) |
|
|
|
|
(1-126) |
A* s== |
"Ь |
^"pl— •î'p» "f~ ^ad' |
(1-127) |
|
|
|
|
|
(1-128) |
(1-129)