книги / Нерегулярные граничные задачи на плоскости

ния из п. 12.2, приходим к заключению, что существует некоторая постоянная Лр, зависящая от плотности ш (s), но не зависящая от /, для которой

по крайней мере для четных р и / е Lip а (С).

16.6.Если рассмотреть оператор

то неравенство (16.18) можно записать в эквивалентном виде

Следовательно, оператор (16.19) в силу (16.20) может быть про­ должен на все пространство Ьр (0, 2я) с сохранением нормы. Покажем сейчас, что это теоретико-функциональное продолжение на каждой g из Ьр (0, 2я) имеет вид интеграла (16.19). В самом

ЛР-т)1р l / - / « l £ r < U -g«fL r ( j | F V ) l - * * * - * * ) '

О

для любого 1 < г < р. Пользуясь формулой (16.14) и результа­ тами п. 13.8, убеждаемся, что для некоторого е > 0 можно по­ ложить б =[(р—2)+е]/[2—е(р + 1 )]> 0 . Абстрактное продолжение

Sg (о) получается как предел последовательности Sgn (б) в смысле метрики Ьр (0, 2я) (см., например [13], гл. IV, § 1). Из теоремы Ф. Рисса (см., например, [18], гл. IV, § 3 и гл. VII, § 2) вытекает,

что Sgn (а) почти всюду сходится к Sg (а). Воспользуемся непре­ рывностью сингулярного оператора в пространстве LTt г > 1 (см. теорему 16.1), и вырааим ядро Гильберта через ядро Коши для единичной окружности (см. формулу (16.21)). Согласно той же теореме Ф. Рисса, можно поэтому считать, что S /„ (о) почти всюду сходится к Sf (о), т. е. к функции, представимой в виде

§ 161 СИНГУЛЯРНЫЙ' ИНТЕГРАЛ КАК ОПЕРАТОР В L , 143

Учитывая, что условия (16.15), (16.17) симметричны относительно р, р' и относятся только к абсолютному значению плотности ш (s) в интеграле (16.13), приходим к выводу, что оператор К* ограни­

когда С — замкнутая кривая Ляпунова. Отнесем С к параметру s, пропорциональному длине дуги и меняющемуся в пределах

гаемыми равенства (16.24), допускает 2я-периодическое по обоим аргументам s, сг продолжение на всю плоскость. Покажем сейчас

которую в силу формул (16.24), (16.21) можно представить в виде

s г-в

Поскольку

то знаменатель первой дроби представляет фупкцшо, не обращаю­ щуюся в нуль при |s — <т |^ Д0 < я и удовлетворяющую по совокупности переменных s, аусловию Гёльдера с тем показателем а, что и угол 6 (s). Следовательно, первая дробь в выражении для to (сг, s) при каждом фиксированном а и |s — а |^ Д0 относи­ тельно s удовлетворяет условию Гёльдера с показателем а > 0 . Аналогичное свойство оставшихся двух слагаемых, проверяется еще проще. Замечая еще, что ш (<т, а) = 0, получим отсюда (16.25) при р = 1 — а.

рассмотреть также вес (16.14) с той же плотностью ш (s), то из

где оператор S определен вьппе, а

27С

(16.30)

о

Из результатов пп. 16.5—16.7 следует ограниченность оператора

даже его полная непрерывность, вытекает из оценки, аналогичной той, которая приведена выше вслед за формулой (16.16) для |Ф (0) |. Это же утверждение имеет место и при достаточно малых положительных {} = 1 — а > 0, при которых интегральный опе­ ратор с ядром, допускающим оценку вида (16.25), действует из

позволяет рассмотреть случай 0 < р < 6/(1 + 6 ) , где 6 — число, указанное выше в п. 16.6. Как будет следовать ив результатов § 20, оператор (16.30) ограничен в Lp (рх, [0, 2я]) в одних только пред­ положениях (16.15), (16.17) без всяких ограничений на 0 = 1 — 0.

Основные результаты, полученные в пп. 16.5—16.8, сформули­ руем в виде утверждения:

Т е о р е м а 16.2 (И. Б. Симоненко, см. [23, б)]). Пусть на кривой Ляпунова С задана вещественная функция се (s), удовлет-

только плотность ы (s) интеграла (16.26) удовлетворяет условиям

(16.15), (16.17).

Теорема 16.2 впервые получена в статье [23,6)] (полное дока­ зательство опубликовано в работе 123, в)]). В гл. V будут изложены методы автора этих работ, дающие возмолшость получить теоре­ му 16.2 в качестве следствия. Изложенный выше прямой подход к апализу операторов вида (16.31) предложен в [8, в)] (см. также [8, б)]); на этом пути, используя оценки § 12, можно также полу­ чить некоторые оценки сверху для норм рассматриваемых опера­ торов. ,

16.9.Снова обращаясь к изучению функции fl (a, s), опреде­

ленной равенством (16.24), вспомним, что z' (s) — ^ exp i0 (s),

где S — длина (замкнутой) кривой С. Вспоминая формулу для [z (s) — z (о)] / (s — а), приведенную в п. 16.8, после элементар­

(s — o) ^ exp i0[o-f l (s —o)] dl^ oxp i [o + £(s — c)] d%

оо

(16.32)

Как и выше, будем считать Q (о, s) продолженной на все вещест­ венные s, а в соответствии с (16.24), где z (а) продолжена по пери­

заострения. Аналогичная оценка для функции z (s) = exp is оче­ видна. Наконец, заметим, что в круге |z | Я <; + оо имеем 11 — exp z.|< Са (Я) |z|. Из формулы (16.32) получаем оценку

■IQ(«.«)I< С.+-f^j-$!|'9|[о+:6'(*■-о)]- О (*)!«,

(16.34)

лишь только |s — а |^ Д0,

где Clt Cz — некоторые постоянные, для всех вещественных s, сг. Если, в частности, кривая удовлетворяет условию Ляпунова, так что 6 (s) удовлетворяет условию. Гельдера, отсюда снова полу­ чаем оценку вида (16.25). Для того чтобы веса (16.14), (16.27) были эквивалентны в смысле неравенств (16.28), необходимо и до­ статочно,' чтобы

Для ограниченных плотностей © (s) оценка (16.34) позволяет уста­ новить некоторые достаточные для этого условия:

snp vrai J р—^Д|0[б + £(«-б)] —8(*)| <%=

=|^|в(р) — 0 (s)|dp|< + оо. (16.36)

поскольку й (a, s) ограничена вне некоторых окрестностей диа­ гонали s = а и параллельных ей прямых, проходящих через точки s ■= ± 2л.

Л е м м а 16.3 (см. [8, г)]). Если кривая С удовлетворяет усло­ виям (16.33), (16.36), то веса (16.14), (16.27) с одной и той же (ограниченной) плотностью © (s) эквивалентны в смысле неравенств

(16.28).

Для кривых, удовлетворяющих условию Ляпунова, условие (16.36) проверяется очевидным образом. Предположим, что

монотонно возрастающая функция. Приближая ее монотонно возрастающей последовательностью 0n (s) кусочно-постоянных фукнций и используя только что полученный результат, убедимся, что левая часть (16.36) для 0П не превосходит полной вариации

148 и н т е г р а л ь н ы е о п е р а т о р ы р а д о н а и КОШИ [ГЛ. IV

где Clt С2, С, — некоторые не зависящие от / постоянные. В силу ограниченности функций 0!, 02 из оценки (14.15) отсюда получаем,

(16.15), (16.17). Тогда

(i) Оператор Радона (14.8) действует и непрерывен в простран­ стве Lp (р2; С), 1 < р < о°; иными словами, оператор

(16.37)

действует и непрерывен в обычном пространстве Lp (C)t 1 <

<Р < ° о-

(ii)Если С — гладкая линия Радона, то в тех же предположе­

ниях операторы(14.8), (16.37) являются вполне непрерывными в со­ ответствующих пространствах.

ы(в) удовлетворяет условиям (16.15), (16.17), то функция (16.26),

атакже l/F1 (z) принадлежат классам EVH(G±), ЕР'+6 (G±) для

достаточно малых е > 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть последовательность юп (в) до­

статочно гладких функций на С сходится почти всюду к ю ($).

(п)

В силу следствия 15.3 функции F0(z), построенные по е п соглас­ но формуле (16.26), непрерывны в G± + С. Поскольку функции ш.д (в) в условиях леммы 16.5 можно считать равномерно огра­ ниченными, то в силу теоремы 14.1 равномерно (по п) будут огра-

Тогда левая часть (16.38) не превосходит величины

Отсюда в силу формул (3.6) получим (16.38), если число г| возьмем достаточно малым (см. также л. 17.1). Непрерывность и 2я-перио-

{р .= 2к). Применение теоремы об интерполяции и рассуждений из п. 16.4 убеждает нас в том, что оператор (16.29) ограничен в в пространстве Lp (рх; С), если скачки угла 0 (а) наклона каса­ тельной к С достаточно малы по абсолютному значению.

Переходя к изучению общего случая, разобьем кривую С на