книги / Основы математической теории термовязкоупругости
..pdfиндексом а и |
будем писать |
вместо |
|
просто К ^ - Чтобы устано |
|||||||
вить общие сингулярные свойства ядер |
|
(I — тх, . . I — хп), |
введем |
||||||||
некоторые обозначения для его аргументов [3] |
|
|
|||||||||
XI = |
I — Хг, Х ц |
= — Х}% = |
хх — X} = |
Т; — хг, (г = 1 , 2 , . . . , п). |
(30.4) |
||||||
Введем также двухиндексный символ |
(х) по формуле |
|
|||||||||
|
В |
= |
I 6 (*«)• |
когда 1 = /• |
|
|
|
(30.5) |
|||
|
*] (х>— | |
§ (Яу), |
когда |
IФ /. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
Тогда |
наиболее |
общая форма |
сингулярных |
ядер К («) (*, хг, . . ., т„) = |
|||||||
= К{а)(х1, . . ., |
хп) = К(а\х) |
будет иметь вид |
|
|
|||||||
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
КР(Х) |
= |
2 |
|
(х) Ру, (X). . . р*в,в (х). |
(30.6) |
|||||
|
|
|
|
9 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/а |
|
• • •» |
^)» |
Рад’о~ |
^• |
|
Ядра |
(х) должны быть симметричны по х-ъ(&= |
1, 2, . . ., п). Величины |
|||||||||
# Ж - • 1дуд обраэуют объект |
2д-ранга и являются |
регулярными функция |
|||||||||
ми п — 5 числа переменных хи причем не все компоненты этих объектов отличны от нуля, так как многие из них дают при подстановке в соотно шения (28.3) либо еу = 0, либо е# = оо при конечных отличных от нуля напряжениях. Поэтому в разложении (30.6) могут участвовать не все ком бинации
Ру» • • • Р*„*п = <К**,Ж®(.) • • |
• <К*1кЖ * 4*+1у*+1) • |
• • |
(30-7) |
||
Например, |
для объекта |
в |
выражениях (30.7) |
к ^ 1, |
среди |
г1>/и • • |
1Пч1п должны |
обязательно присутствовать все числа от 1 |
до п. |
||
Какое-то число должно встречаться не более одного раза, другое не более двух раз и т. д. Если число 1 встречается х1 раз, число 2 — х2 раз и т. д., число п — х п раз, то нужно составить все различные комбинации (30.7), в которых выполняется условие
*1 + Щ + • . . + = М, тсг О г, М <: 2п — 1.
Это и означает, что число различных независимых компонент объекта -лп1'п будет! п (п — 1)/2 + 1 , причем все они являются констан тами. Аналогичное исследование можно провести и для компонент объекта
К ^^~ лп , которые будут регулярными функциями одной переменной.
Назовем главной частью ядер К^{х) два последних слагаемых в раз ложении (30.6), т. е. из всей совокупности объектов, входящих в (30. 6),
в главную часть ядер К^{х) входят только объекты
<*) " * » » „ )„ М • |
(30.8) |
Нелинейная теория вязко-упругости, в которой учитывается только
главная часть ядер К ^ (х), называется главной нелинейной теорией вяз ко-упругости. Уравнения связи между напряжениями и деформациями в этой теории для произвольно анизотропной среды мы получим, подстав
ляя в уравнения (28.3) вместо ядер К ^ их главную часть (30.8). Аналогич но получаются и обратные соотношения, выражающие напряжения через деформации.
Рассмотрим и з о т р о п н у ю с р е д у . Чтобы получить уравнения связи между напряжениями и деформациями главной нелинейной теории вязко-унругости для этой среды, нужно вместо скалярных ядер, входя щих в соотношения (29.3), подставить главную часть этих ядер. В ре зультате мы получим два различных типа слагаемых. Слагаемые первого типа не будут содержать интегралов вообще, а слагаемые второго типа будут содержать только однократные интегралы. Для того чтобы записать эти соотношения в более компактном виде, воспользуемся сверткой членов, входящих в слагаемые первого типа, основанной на применении формулы Гамильтона — Кели [66], которая позволяет записать функциональную зависимость одного симметричного тензора второго ранга Ъ^ от другого ац в явном виде
А (А» А» А) в„ “Ь А (А? А» А) |
"А /з (А» А» А) |
О'ЬкО'к]') |
(30.9) |
где / 1? / 2, А — три независимых инварианта тензора |
а^ (см. |
§ 1). Для |
|
свертки членов, входящих в подынтегральное выражение слагаемых вто рого типа, применим обобщенную формулу Гамильтона — Кели для функ циональной зависимости симметричного тензора второго ранга от двух
тензоров такого же типа |
[67, 68]. В результате многочисленных выкладок |
||||||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
®у (0 = |
А (<?) «у + |
/ 8 (<?) |
(I) + |
/з (<?) З,к (I) ак} (<) + |
|
||||
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
$ {91(Р) йц+ |
92 (Р)Оц( 0 |
+ |
9з(р)бу (Т) + |
д* (Р)0{к(1)<зк;( 0 + |
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
Яь (Р)<*т(т ) |
(т) + |
Яе (/>) [з1к(0 |
(т) + |
(т) |
, (01 + |
|||
+ |
#7(-Р) [^гТс (0 |
(0 ^ |
(Т) + |
в1к00 вк1(0 |
(О! + |
|
|||
+ |
ЯЬ (Р) [вгк (Т) вк 1 (0 вЦ(0 + |
^г/с (0 вк 1 (*) 0^* (т)] + |
(30.10) |
||||||
“Ь Яд (Р) [^гй(0 в%1(^) <3^ (т) бт Дт) |
|
|
(01 |
||||||
где() представляет собой совокупность аргументов функций /& (А: = 1,2,3) от трех независимых инвариантов тензора напряжений, взятых в момент
времени I, а Р — совокупность |
аргументов |
ядер ^ к (к = |
1,2, |
. . .,9), |
|
в которую наряду с аргументом I — т входят следующие инварианты: |
|||||
б (О, <3(Т), ви{1), <3и(т), 0ы(*)01тЦ)0тк(1), |
|
|
|||
|
вы (г)о1к(х), ок1(*)о1тЦ)атк(т), |
|
|
||
вы (0 ^1т(^) втк (^0» |
О) |
(0 °тп 00 |
00» |
|
(30.11) |
Точно так же можно получить обратные соотношения. Для |
этого |
нужно |
|||
в выражениях (30.10) и (30.11) формально поменять местами тензор напря
жений |
и тензор деформаций 8^. |
разбить на девиаторные и |
Тензор |
деформаций и напряжений можно |
|
шаровые составляющие и написать уравнения связи между ними. |
||
Тогда |
^ |
|
е(*) = Ш ) + и 1 (*>)*, |
(30.12) |
|
|
о |
|
а девиатор деформации будет иметь вид, аналогичный (30.10), где будут отсутствовать члены с 8^, а функции / к (к = 2, 3) и ядра (к = 2, 3,
. . ., 9) будут заменены на соответствующие функции и ядра с волной на верху.
Соотношения (30.10) |
могут быть записаны по-другом у, в так назы вае |
мой прямой тензорной |
записи, т. е. без использования индексного пред |
ставления тензоров |
|
|
|
|
|
|
|
|
к ( 0 = |
Ш ) 1 + Ш ) |
(О + |
/з (<?) & ( 0 |
+ |
|
|
||
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
-I- $ {<71 (Р)I + <72 (Р)Я (0 |
+ |
<?з (р) 5 (т) + |
<?4 (Р ) ^ (7) |
| • |
||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
0» 0») ^ |
(т) + <7в (Р) [Я(7) 5 (Т) + |
(Т) 5 |
(7)1 + |
|
|||
~г 9г(Р) |
$0 0 |
+ ^ (т) |
(01 + |
д8 (Р)[/5*2 (т) .5* (2) + |
||||
+ |
ЛЧ0*5а(т)] + Я,(Р) [ 5 а(0 -5 а(т) + |
5 а( т ) 5 а(0]}с?т, |
(30.10) |
|||||
где I — единичный тензор. В |
дальнейшем мы будем использовать как |
|
запись (30.10), так и запись (30.10)'. |
|
|
В заключение заметим, что |
если в |
соотнош ениях (30.10) исключить |
аргументы, соответствующ ие моменту времени Iв подынтегральном выра |
||
ж ении, то соотнош ения (30.10) |
примут |
вид |
|
8Ъ‘ (0 — А (<?) &Ц+ |
/2(Я) <5г](0 + /з {(?) вгк (0 виз (0 + |
|
|||
|
|
ь |
|
|
|
|
|
+ |
$ { д[(р) |
|
+ ?2(Р)б« (т) + |
?з (-Р) <3»Й(т) 6^ (т)} * |
(30.13) |
или |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
^ ( т » ах, |
|
|
+ |
$ <?; (Р ) / |
+ |
<?; (Р ) я (т) + |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
где |
является, как и преж де, совокупностью независимых инвариантов |
|||||
тензора напряж ений в момент I, а Р в этом случае представляет собой со |
||||||
вокупность следую щ их |
аргументов: |
|
|
|||
|
7 — \х, |
б (т), б„(т), |
<1е1|$ы |. |
|
(30.14) |
|
§ 31. Квазилинейная теория вязко-уиругости
Назовем квазилинейной теорией вязко-упругости теорию, базирующуюся на соотношениях (29.3) изотропной среды, в которой справедливы следую щие два предположения:
1.Справедлив постулат изотропии [69], который в применении к соот ношениям (29.3) означает квазилинейность (тензорную линейность) этих соотношений [1], [3].
2.Выполнены, условия взаимности, определенные в (28.7).
Из предположения 2 следует, что в соотношениях (29.3) будут выпол нены условия
(7, т1( т2) = Ж2>(3> (I, Х1У Т2), Ж»Х»(*, тх, *а, т3) =
= -К(3)(3) (7, Тх, т2, т8), ^ (3)(Б) (7, -сх, т2, ТГ3) = ^Г(3)(7)(7, Тц т2, т3). (31.1)
А из предположения 1 —
*(«<♦> (7, т1( т2) = А(3>(*>(7, т, , т2, т3) = А<3>«» (7, *1( т2) т3) = 0.
(31.2)
Однако из этих двух предположений вытекает еще одно важное следст вие. А именно, в соотношения (29.3) не будут входить скалярные степени тензора порядка п > 3 [59]. Скалярной степенью тензора порядка т называется следующее выражение:
(т1.) Зла (т2) • • • акт_хкт(тт_1) Сктк1 (Тт)* |
(31.3) |
В самом деле, предположим, что это не так и в соотношениях (29.3) встре чается выражение вида (31.3). Тогда оно должно являться некоторой частью тг-кратного импульса п ^ т, т. е. в разложении деформации по интегра лам возрастающей кратности (28.3) под знаком тг-кратного интеграла будет стоять выражение
/Ч™) _ |
т^(п) |
,(*• |
т1> • • |
• • >Т’п) |
(^1) • |
х г) — ^гзгЦх. |
|||||
• |
• • б* ] ,(Хп 1. • |
• Ог |
,(т„)• |
|
(31.4) |
Так как тензор К является изотропным, т. е. представляется в виде всевозможных наборов из дельт Кронеккера, составляющих тензор 2( 1 + п) ранга, то одним из таких наборов будет выражение вида
а д * а ы>. • - |
Ь1т^ тЬ1тНУ, |
(31.5) |
где Ха есть либо 6*л |
либо §цр§лр (т |
р ^ п)1, а У — набор из дельт |
Кронеккера 81д^г(т<^ д, г^Стг). В этом случае выражение (31.4) будет иметь вид
/(п) = |
К(пу,){(>Хъ . . |
Тт) . . |
тп) { Х „ а ,,,Л й . |
• • |
х |
|
х |
01,Н ( т х) Оии (* « ) • |
• • ^ т ]т ( т т ) . . |
. \ * п (* п ) |
Н---------}• |
( 3 1 - 6 ) |
|
Используя предположение 1, т. е. тот факт, что выражение (31.5) симмет рично, например, по паре индексов г/ и г±Д, будем иметь из (31.6)
7(П) = Х(п)(5) (I, х1г . . ., тт , . . . , Т„) { Х ь М и , . . .
• • • |
|
|
• • |
• >бгт |
Ка |
‘ °'1п^п |
‘ ‘ ) = |
|
|
= |
ТЬ |
. . . , Тт |
, . . |
Т„) {ХииОкк (Т Х) Оц , |
( т 2) |
(*з) ' ' • (31.7) |
|||
• •' ° 1т- |
2 1т |
- 1 ( Т т - 1 ) |
0{т - 1 ? |
( Т« ) ^ |
0 * т + 1 ? т + 1 |
( Тт |
+ 1 ) • • • <3гп ,‘п (Т „ ) Н |
} |
|
Подчеркнутое выражение в (31.7) представляет собой тензорную степень тензора порядка т — 1 и может быть оставлено в выражении (31.7) по предположению 2 только в случае, если оно линейно, т. е. т ^ 2. Если же т ]> 2, то ядро в (31.7) должно быть положено равным нулю. Таким обра зом, в соотношения (29.3) могут входить только скалярные степени тензо ра первого и второго порядков.
Как следствие из этой теоремы получается независимость соотношений, связывающих напряжения и деформации в теории малых упруго-пласти ческих деформаций от третьего инварианта, если считать справедливым постулат изотропии (для доказательства нужно представить ядра К<-п) в виде б-функций). В частности, если имеется изотропная функциональная связь между двумя тензорами Ъц и а^, то при выполнении условий взаим ности общая квазилинейная зависимость одного тензора от другого будет1
1 В случае, если т = п, то р = п, и выражение Х ц имеет вид 6$;\
иметь |
вид |
|
|
|
^1] ~ Ф1 (Л.»-^2) ^73 ~Ь Ф*2 (-^1* 12) |
|
|
где |
и / 2 — прямые два инварианта, что следует после применения фор |
||
мулы Гамильтона — Кели (30.9) к доказанной выше теореме г. |
очевидно, |
||
Скалярной степенью первого порядка тензора |
является, |
||
величина |
|
|
|
|
0(т) = За (т). |
|
(31.8) |
Обозначим скалярную степень второго порядка девиатора тензора напря жений через
5 (т1? т2) = |
8Ы(Ту) 8М (т2) = |
о^Ту) ак1 (т2) — Зет (Ту) а (т2). (31.9) |
|
Тогда соотношения |
(29.3) можно переписать в виде [70] |
||
ОО |
V |
ОО |
у , |
ец (0 = 2 2 |
2 ре[ГУ(0. |
0 (0 = 3 2 |
2 (п - 2р + 1) 0<пр)(О, |
п —1 р = 1 |
п = 1 р = 0 |
||
г |
г |
|
|
4 Г Р ) ( 0 = $ • • • $ К Р + 1 ( * , * 1 . • • • . * п ) © (тх) . . . ' © ( Т „ _ 2 р + 1 ) X
оо
X 5 (Тп—2р -|-2 » Т'П—2р + з ) • • • ^ (Т п —2 » ^71—1 ) |
( * п ) ЗТу^, . . . , З Т П) |
(31.10)
* |
г |
|
|
0(ПР) (0 = 5 • • • $ К <&1 (г, т1? . . |
тп) 0 (то ... |
0 (тпЬ2р) X |
|
о |
о |
|
|
X 5 (Тп—2Р+1? ^п—2Р+ 2) • • • $ (^п—1» *п) ^^1 • • •
или, используя операторную запись (29.5), в виде
ООV
= 2 2 2 р К П г ^ 2Р+1^ % г
71 = 1 р = 1
ооуи
|
0 = 3 |
2 |
2 |
( п - 2 р + 1 ) /4 п^ 0 " “ 2р5р , |
|
(31.10)' |
||
|
|
7 1 = 1 Р = 0 |
|
|
|
|
|
|
где V — антье |
(целая |
часть) |
от (п + 1)/2, |
V — |
[(п + 1)/2], |
|х г= [п/2] — |
||
антье от |
п /2, |
а |
ядра |
ДГ^П) |
представляют |
собой |
линейную |
комбинацию |
ядер Й^Ир). Точно так же запишутся и обратные соотношения. |
||||||||
Если |
в соотношениях (31.10) положить |
V = |
п — 1, то |
соответствую |
||||
щая теория будет называться дг-кратной по девиаторам. В частности, квазилипейную теорию вязко-упругости назовем квадратичной по девиатору [71], если в соотношениях (31.10) положить V равным 1, а следовательно,
и ц = |
1, В этом случае в соотношениях (31.10) |
останутся |
для каждого |
ядра |
тг-го порядка только два скалярных ядра — К ^п) и К ^ \ |
Поэтому они1 |
|
1 Легко доказать и обратное утверждение. Если тензор |
является квазилинейной |
||
изотропной функцией от тензора ац и не зависит от третьего инварианта тензора ац, то справедливы условия взаимности.
примут ВИД
со
(о |
= |
2 |
8Ь*(о » |
|
|
|
|
|
|
|
71=1 |
I |
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
(0= |
5 • • • $ (Мп) (*, ТЬ . . |
., тп) © (тх) . . . |
0 (тп) + |
|
||||
|
|
о |
о |
|
|
|
|
|
|
+ |
К!п) (*, ть . . ., |
т„)[(л — 1) © (тх) . . . |
|
© (тгп_2)5(тп_1, тгп)6*г |- |
|||
ИЛИ |
+ 2© (тг) . .. © (т„_!) 5^ (т„)]} Й-Г!. .. йхп |
|
(31.11) |
|||||
со |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
*ц == |
2 |
{Мп,0пбу + 4 |
п) 1(п - 1) 0п25бу + |
|
2© "-^]} • |
(31.11)' |
||
|
71=1 |
|
|
|
|
|
|
|
Точно так же запишутся и обратные соотношения выражения тензора на пряжений через тензор деформации. Если потребовать инвариантности
соотношений (31.11) относительно |
начала |
отсчета времени, |
то ядра |
К(ап) (*, тх, . . ., хп) (а — 1, 2) станут |
ядрами |
разностного типа. |
Предпо |
ложим теперь, что связь между девиаторами тензоров напряжений и де
формаций не зависит от среднего напряжения или от средней объемной деформации. Тогда, если ограничимся первыми тремя членами разложения (31.10), связь между этими тензорами представляется в виде [3]
|
* |
|
III |
|
еа (0 = |
$ ( * , |
(тОйтч + 4\| $$ 4 3) («, ть та, т3) х |
||
х |
0 |
|
0 |
0 0 |
5 (ть т2) 8{](т3) с?тх йхгйт3. |
|
(31.12) |
||
Если рассматриваемый материал подвержен естественному старению или в процессе деформации происходят реакции (окисление, полимеризация
и т. д.), то ядра К 21*и К 33) не будут разностными и будут содержать все четыре аргумента независимо, как и показано в (31.12). Если в процессе деформации изменяются температура, влажность и т. п., то ядра будут сложными функционалами соответствующих параметров, являющихся функциями 4 Рассмотрим стабильные материалы, в которых деформация сопровождается изменениями конфигураций и может сопровождаться «зале чиваемыми» нарушениями механических связей, происходящими только вследствие внутренних напряжений и температуры. Тогда все ядра долж ны быть инвариантны относительно смещения начала отсчета времени, т. е. иметь разностный вид. Обозначим
К ? = К (( — т) = 206 (« — т) + К.{1 — т), |
|
4 4 3 ) Т4. *2, *з) = 4 4 3) (I — ть I — т2) I — т3) = |
|
= Кг {1 — Тх, I — т2, I — т3), |
(31.13) |
где ядро К3 (I — тх, I — т2, I — т3) — симметрично по каждому аргумен ту. Тогда уравнения связи между девиаторами тензоров напряжений и деформаций (31.12) могут быть представлены в виде
|
г |
г |
г г |
|
еи (0 = |
$ П (* — т) |
(т) + |
$$ $ К3 (I — Тх, I — т2, I — т3) X |
|
х |
О |
0 0 0 |
(31.14) |
|
5 (хъ т2) 8у (т3) йхгйхг йт3. |
||||
Теория, базирующаяся на соотношениях (31.14), называется «кубичной» теорией вязко-упругости.
§ 32. Главная квазилн&еиная теория вязко-упр^ гости
Из самого названия этой теории ясно, что она является пересечением двух теорий — главной нелинейной и квазилинейной. Поэтому получить общие соотношения между напряжениями и деформациями главной квазилиней ной теории вязко-упругости можно двумя путями: либо оставить в соот ношениях главной нелинейной теории (30.10) только тензорно-линейные члены, либо в соотношениях квазилинейной теории вязко-упругости
(31.10) оставить только главные части ядер К рП) (30.8). Следуя первым пу тем, мы получим соотношения, связывающие девиаторы тензоров напря жений и деформации и средние значения этих тензоров
««(*) = |
[/2 М О . |
(*, *)} + |
I |
|
|
+$Я 2{* — Т; <з(*), |
<з(т), в(Ь, 0, в(т, Т), 8((, т)}йт]«у (I) + |
|
о |
|
|
|
* |
|
+ |
<\) д3Ц — Х] |
а(1), а (т), 5 (I, I), в (т, т), 5 (I, т)} (т) йх\ (32.1) |
|
о |
|
0 (0 = |
А (о (0, *(«, 0 ) + |
|
|
г |
|
+ \ч1 ^ — ^\0(1),0 (т), 5 (I, (), 8 (X, т), 5 (I, Т)} ЙТ.
о
Следуя вторым путем, мы получим явное выражение для функций / х и / 2 и ядер д1? д2, д3 от инвариантов а (*), а (т), 5 (2, 2), 8 (т, т), 5 (г, т) в виде бесконечной суммы полиномов по этим инвариантам.
Аналогичными рассуждениями формально можно построить обратную
главную квазилинейную теорию, т. е. соотношения типа (32.1) |
записать |
||||
в виде |
|
|
|
|
|
* « (0 = [& { е ( 0 .е ( М )} + |
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
+ |
$Рг {* — т; 0 (0, 0 СО, е (I, |
I), |
е (т, т), е ((, |
т)> <1х] |
(0 + |
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+ |
$ Рз {< — т; 0 (0, 0 (Т), е (I, |
0, |
е (т, т), е (I, |
т)} (т) йт; (32.2) |
|
|
о |
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
6 (0 = ц 1 (0 (0, |
« (0 0} + $ Рг V — 0 (0 . 0 СО, е (0 0» е (т , т)> е (0 |
*)}Лх- |
|||
|
о |
|
|
|
|
Очень важно отметить, что соотношения (32.1), (32.2), вообще говоря, не являются взаимными, т. е. (32.2) не есть решения (32.1) относительно напряжений и обратно.
Однако при некоторых свойствах ядер, т. е. для некоторых материа лов, соотношения (32.1), (32.2) могут оказаться взаимными с некоторой степенью точности. Этот вопрос будет рассмотрен ниже.
Соотношения главной квазилинейной теории вязко-упругости (32.1) и (32.2) являются достаточно общими. Как их частные случаи, можно полу чать различные теории, предлагавшиеся некоторыми авторами в последнее время [72, 73]. Так, если исключить аргументы, соответствующие моменту
I в ядрах |
или р к (к = 1, 2, 3), то получим теорию, основные соотноше |
|||
ния которой часто записываются в виде |
|
|||
|
|
|
I |
|
ец(*) = и |
(б00. «(*, 0} «у (0 + |
— т; <з(т), «(т, т)}ву (т) йх, |
||
|
|
г |
о |
|
|
|
|
|
|
0 (0 |
= и {а (0, 5 ({, т + $ <?1V - |
т; а (г), * (г, т)} йх |
(32.3) |
|
и обратно |
|
о |
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
•и (0 = |
(0 (0. е (*. *)) еа (*) + |
$ Рз {* — Т; 9 (т), е (г, т)} еи (г) йх, |
||
|
|
г |
0 |
|
|
|
|
|
|
6 |
(0 = |
81 {0 (0. *(*» 0} + $ Р1 {I — т; 0 (т), е (т, т)} йх. |
|
|
|
|
О |
|
|
К такому же виду приводятся теории, основанные на обобщении на 3-мер- ный случай выражения [74—77]
г
ср (е) = а (I) + X^ К (I — т) а (т) йт. |
(32.4) |
о |
|
В частности, выбирая конкретный вид функций от инвариантов, полу чим нелинейную теорию вязко-упругости, предложенную в [78]
г
ец (0 = [1 + © (<зи)] («)1+ ^ Г (I — т) [1 + © (ои)] «у (т) йх. |
(32.5) |
О |
|
Разумеется, все нелинейные теории одномерной вязко-упругости, в кото рых связь между напряжениями и деформациями задается в виде одно кратных интегралов, являются частным случаем главной квазилинейной теории вязко-упругости [79].
В соотношение (32.1) входят члены, которые обеспечивают мгновенное изменение деформации при мгновенном изменении напряжений. На опыте наблюдается, что при мгновенных, достаточно малых нагрузках боль шинство материалов ведет себя, как линейно-упругие. Поэтому имеет смысл сохранить в соотношениях (32.1) только линейные члены, которые ответственны за мгновенную упругость. Тогда соотношения (32.1) примут Вид
|
г |
|
|
I |
|
е Ц (*) = |
^ П ~ Т) |
( X) |
+ |
^ Чз {< — X, О (*), « (X, X)} 5у (Т) йХ, |
|
|
0 |
|
|
о |
|
|
1 |
|
|
I |
|
0 {I) = |
§1^ (I — х)йа(х) |
+ ^ { 2 — т, о(т), $(х, т)} йх |
(32.6) |
||
|
о |
|
|
о |
|
и аналогично |
|
|
|
|
|
8у (*)=§-**(*— т) д-Ч] (х) |
+ |
5Р-1 {< — + 0 (т), е (т, т)} еу (т) йх, |
|
||
|
0 |
|
|
о |
|
|
1 |
|
|
г |
|
о{1) = ^ П Х{1 — х)йв(х) |
|
— х, 0(т), е(х, х)}йх. |
(32.7) |
||
|
о |
|
|
о |
|
Теорию, базирующуюся на соотношениях (32.6) и (32.7), назовем главной квазилинейной теорией вязко-упругости с мгновенной линейной упруго стью.
Если будем рассматривать теорию, тг-кратную по девиаторам, опреде ленную в предыдущем параграфе, то в соотношениях (32.1) и (32.6) нели нейные ядра будут зависеть в явной форме от инвариантов 5 (т, т), 5 (г, I) и 5 (I, т). Проиллюстрируем подробно вывод соотношений главной квази линейной теории на примере теории, квадратичной по девиаторам.
Соотношения между напряжениями и деформациями квадратичной по девиаторам теории вязко-упругости представлены уравнениями (31.11). В этих уравнениях для каждого ядра гг-го порядка отличны от нуля только
два скалярных ядра |
Из общего разложения этих ядер в виде |
||
(30.6) |
в главной квадратичной по девиаторам теории |
вязко-упругости |
|
нужно |
держать только два |
главных члена (30.8): |
г зп_г{х) и |
(у== 1,2). Однако, как уже отмечалось ранее, не все компонен ты этих объектов будут независимыми. Обозначим независимые компонен"
ты объектов К ^Т .лпзп и |
(х) через К Т и а" (I — т) соответ |
|
ственно, а независимые компоненты объекта КТиТ.Тп х |
через Ь\ (I — т) |
|
(а = 1, 2, . . М), где М — число независимых компонент. Тогда соот ношения (31.11) примут вид
®у (0 — |
(0 + егР (0 + б|3) (0 Ч~ • • • |
|
I |
(0 = |
(0 + |
(I) + бу $ а}{I — т) © (х) йх + |
|
|
I |
|
о |
|
|
|
|
+ |
5 ъ\ (г — т) яу (т) йх, |
(32.8) |
|
|
0 |
|
|
8^ (*) = |
бу^Г©2 (0 + |
КТ [5 ((, {) бу + 20 (I) «у (*)] + |
|
|
* |
|
|
+ бу 5 [а1(« — т) ©2 (т) + а2 ({ — т) © (х) © (*)] йх + |
|||
|
1 |
|
|
|
* |
|
|
+ |
6у 1 [ Ы Ц - х)8(х, х) .+ 2ь1 ( 1 - х)$({, Х)]йх + |
||
|
о |
|
|
|
I |
|
|
+ |
2 5 {Ь\ (I — Т) 0 (т) Яу (Т) + |
Ь\ (I—т)[в(т)8у(0+5«(т)®(*)]}^. |
|
|
о |
|
|
е*Г (*) = |
буЯ33©3 (*) + |
2К Т [© (0 5 (I, г ) бу + 0 2 (I) «у (01 + |
|
|
* |
|
|
-{- ^ [а| (^ — -г) ©3 (х) + а\(1 — т) 02 (т) © (*) + |
|||
|
0 |
|
г |
|
|
|
|
+ |
а%(I — х) © (т) 02 (01 йх + |
2бу $ (б? Ц— х) 0 (т)«(*» *) + |
|
|
|
|
0 |
-|- Ъ\ (I — т) [2© (т) в(г, х) + © (0 «(т, т)] + |
|||
+ |
Ь%(I — х) [© (х) з(1, 0 + 20 (0 ^(*, т)] йх + |
||
|
г |
|
Ь1(* - т) [20 (т) Яу(х) © (0 + |
+ |
2 5 Ь\ (г - х) ©2 (х) Яу (т) + |
||
|
о |
|
|
+ 02(О«у- (*)] + ь%(1- х) [в2 (г) Яу(т) + 2© (0© (*) *« (*)]} йх
Введем следующие обозначения |
|
|
||
у@(т) = |
а(т) = |
аТ1 |
1© (г) = а(0 = о*, |
|
|
оо |
|
оо |
|
А, (а,) = |
2 |
(1), |
А (а,) = У К ? + 2 |
К Г & 1- 1 (I) , |
|
7 1 = 1 |
|
71 = |
2 |
ОО71— 1
(а,, а„ I - |
X) = |
2 |
2 |
в* (< - |
т) ©”“ * (т) 0 й- 1 (О, |
|||||
|
|
|
|
7 1 = 1 |
7 с = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
71— 1 |
|
|
|
|
|
в 2(бх, о„ « - |
т) = |
2 |
2 |
даы ? (« - |
т) в”-" -1 (т) 0 ' - 1 («), |
|||||
|
|
|
|
7 1 = 2 |
/С = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
71 |
|
|
|
|
|
#3 (*, ««, * - |
7) = |
2 |
2 |
С |
» * |
(* - |
*) 0 ”- ' |
(т) 0*-2(О, |
||
|
|
|
|
7 1 = 2 |
к = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
71 |
|
|
|
|
|
Д4(<^ о{, I — х) = |
2 |
2 |
С |
к П |
ь г р - т ) © |
" - ^ ^ - 9**), (32.9) |
||||
|
|
|
|
7 1 = 3 |
к = 3 |
|
|
|
|
|
где Ск — число |
сочетаний из п по к, причем С% — 1. Для сокращения за |
|||||||||
писи введем еще комбинации функций В { (г — 2, 3, 4) |
||||||||||
1){(бх, а,, 1 — т) = |
|
а,, I — т) + |
ав.(бт, а,, <—т) |
|||||||
|
ат |
5Г |
||||||||
|
|
|
35г(зт, в,, |
г — х) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
(32.10) |
|||||
|
|
+ |
°Г |
|
Об. |
|
|
|
|
|
Тогда соотношения (32.8) примут вид (32.1), где |
|
|||||||||
А = |
л |
(в.) 0 (о + |
4-* ( м ) |
|
|
, |
и = 2 ^ (с ), |
|||
Я1 = # 1 |
(С5Х, а,, I — Т) 0 (Т) + |
Т)2 (бх, б,, 1 — Т) 8(т, т) + |
||||||||
+ |
2^з (<3т, б;* г — т) 8 (г, т) + т>4 (бт, б4, < — т) 8 (г, 0. |
|||||||||
= |
0 А) В3(бх, б,, * — т) + |
2В4 (бх, а,, г — т), |
(32.11) |
|||||||
Яз = |
&}(* — т) + 2©(т) В2 (бх, аь 1 — |
т) + 0 (г )5 3(ат, б,, 1 — х ) . |
||||||||
Рассмотрим теперь главную квадратичную по девиаторам теорию вяз- ко-упругости с мгновенной линейной упругостью. Тогда регулярные функ ции А г и 5; (г = 1, 2; / = 1, 2, 3, 4), определенные в (32.9), не будут зави сеть от о^, и соотношения (32.9) запишутся в виде
А |
/Г 11 |
4 |
— |
— К 11 |
|
|
— ^1 > |
-*2 — |
л 2 » |
|
|
# 1 |
(<3Х, < — т) = |
2 |
«Г (* — 7) [0 (т)]П \ |
|
|
|
|
|
7 1= 1 |
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
В2 (бх, I — т) = |
2 |
Ь ? (* -т )[0 (т)]"-2, |
|
||
|
|
|
7 1 = 2 |
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
#з (б,, < - |
т) = |
2 |
{I - т) [0 (т)]"-2, |
|
|
|
|
|
7 1 = 2 |
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
# 4 (бх, 1 — т) = |
2 |
&з( *- т) [0 (т)]"“2- |
(32.12) |
||
7 1= 3