книги / Статистический анализ данных в геологии. Кн. 2

трех дочек одинаковы для всех трех ортогональных осей. На единичной сфере нет предпочтительного размещения точек (см.

рне. 5.31, д).

Вудкок [81] обобщил эту классификацию, представив гра­ фически логарифмы отношений собственных значений (1п/ф)//.2 и зависимости от (1п А,2)Аз. На его диаграмме все возможные схемы точек на сфере попадают в специфические области. Эта форма графического анализа может быть особенно полезна при работе с петротектоническнми данными. На рис. 5.32 представ­ лена одна из диаграмм Вудкока.

Рис. 3.32. Классификация схем векторов на единичной сфере, соответствующая логарифмам отношений их собственных значений [81].

Дал различных отношений указаны типичные петротектоническне диаграммы. К — отношение 1п(л1,'>1.1п(д2/'.:.)

62

Представление сферических данных

Хотя изображение в перспективе на единичной сфере по­ лезно для целен иллюстрации, оно не может передать деталь­ ную информацию о распределении векторов. По принятому со­ глашению трехмерные векторы показаны в проекции их кон­ дов на плоскость. Так как эти точки действительно лежат на поверхности сферы, представление их в двух измерениях тре­ бует использования уравнения проекции. Геологи традиционно

Р и г . 5.33. Векторы внутри единичной сферы и их проекции иа равноплощадную полярную диаграмму

!

.Л V \ '■

I

V.. "

У

Рис. 5.34. Проектирование полюсов на плоскости:

а — плоскость и ее полюсы на единичной сфере; б — полюсы плоскости, спросктированные на равноплощадную диаграмму. Точка а — проекция на верх­ нюю полусферу, точка b — проекция на нижнюю полусферу

63

используют равноплощадпую полярную проекцию Ламбера, ко­ торая относится к сети Шмидта. Кристаллографы предпочита­ ют полярную стереографическую проекцию, сохраняющую уг­ лы. или сеть Вульфа.

На рис. 5.33 представлены набор векторов на единичной сфере и их проекция на равноплощадную диаграмму. Необхо­ димо отличать векторы, которые имеют концы на нижней по­ лусфере, от векторов с концами на верхней полусфере. Так как

единичной сферы.

В добавление к векторам иногда необходимо нанести трех­ мерные ориентации, такие, как складки и поверхности разло­

а). Однако легче представить плоскость осью, называемой по­ лярной, которая перпендикулярна к плоскости в начале коор­ динат. Геологи изображают пересечение полярной оси с нижней полусферой, хотя кажется более логичным изображать ее пе­ ресечение с верхней полусферой. Тогда проекция полярной оси на плоскость, имеющей наклон к западу, например, будет изо­ бражена на левой стороне западной части диаграммы (см. рис. 5.34,6).

Иногда на диаграмме бывают представлены очень большие множества трехмерных данных, так что общую схему распо­ ложения точек нельзя охватить единым взглядом. В таких случаях локальные скопления точек можно оконтурить, пере­ считав число точек, лежащих внутри некоторой малой площа­ ди диаграммы. Это может быть сделано лишь при использова­ нии равноплощадной проекции. Проекция покрывается регу­ лярной схемой узлов сети и подсчитывается число точек внут­ ри окружности фиксированного радиуса. Обычно радиус выби­ рается так, чтобы площадь описываемого круга заключала 10% общей площади. Так как расстояния между узлами сети меньше радиуса, последовательные площади перекрываются, п плотности точек постепенно изменяются от одной части диаг­

Проверка гипотез о сферически направленных данных

Простейшие критерии, относящиеся к ориентации в трех­ мерном пространстве, — это обобщения критериев, используе­ мых в теории циклических данных. Как и в этом случае, мы нуждаемся в вероятностной модели известной характеристики, гипотезы о значениях которой мы проверяем. Широко исполь*

64

дуемая модель — распределение Фишера — это обобщение рас­ пределения фон Мизеса и сферический эквивалент нормальной кривой. Распределение Фишера характеризуется двумя пара­

него направления имеет три направляющих косинуса по отно­ шению к трем координатным осям.

Вектор среднего оценивается через направляющие косинусы

которое достаточно точно, если к велико, например больше 10. Мандиа Г51] дает таблицу боле^ точных оценок, в зависимости :н величины нормализованного R.

Критерий случайности. Как и в циклическом случае, можно проверить гипотезу о том, что данные распределены равномер­ но во всех направлениях. Это эквивалентно утверждению о том, 1то параметр концентрации равен нулю.

Нулевая гипотеза и альтернатива таковы: Я0: /с=0, Hi : к > >0. Проверяемая статистика вычисляется так же, как и для циклических данных; она равна нормализованному R. Эта ста­ тистика затем сравнивается с критическим значением для выб­ ранного уровня значимости (табл. 5.9). Если вычисленное зна­ чение Л превышает табличное, то гипотеза о том, что наблюде­ ния извлечены из равномерно распределенной совокупности, отклоняется при заданном уровне значимости.

Также можно проверить гипотезу о заданной ориентации среднего вектора и построить конус доверия относительно это­ го вектора. Эти критерии, однако, требуют обширных таблиц, аналогичных опубликованным Стефенсом [73] и Мардиа [51J. Там же приводятся двухвыборочные критерии эквивалентности средних направлений двух множеств наблюдений и необходи­ мые таблицы.

ФОРМА

Форма — очень нелегкое для измерения свойство, которому лаже нельзя дать какое-либо точное определение. Возможно по этой причине имеется так много предложенных мер формы, ни одну из которых нельзя считать вполне удовлетворительной. Мера формы должна обладать некоторыми обязательными свойствами. Очевидно, объекты различной формы должны иметь различные меры, а подобные формы должны давать по­ добные значения, независимо от размера и ориентации объек­ тов. К сожалению, меры формы, обладающие этими свойства­ ми, оказываются нереальными. Математическими методами по-

казано, что никакая конкретно выбранная мера не может быть единственной только для одной формы [49].

Ученые, изучающие Землю, пытались охарактеризовать ши­ рокий спектр форм, начиная с относительно простых, например проекции контуров песчаных зерен, до более сложных форм, соответствующих ископаемым остаткам организмов. Геоморфо­ логи особенно преуспели в образовании мер формы, применив их к изучению дренажных бассейнов, друмлинов, коралловых атоллов и некоторых других форм ландшафта. Были исследо­ ваны формы нефтеносных полей по отношениям их осей,, а также по форме некоторых типов структурных ловушек. Об­ ширную литературу по этим вопросам приводят Меллеринг и Рейнер [61] и Кларк [14]; в обеих работах обсуждаются так­ же теоретические аспекты измерения формы.

В табл. 5.10 приведены меры форм, характеризуемых одним' значением, взятым из геологической и географической литера­ туры. Этот перечень никоим образом не является исчерпываю-

66

3.Меры, включающие как периметры, так и пло­ щади:

4.Меры, основанные на площадях:

цикличность

фактор формы

Sf. _A ХЮ0

Л

5*

67

Продолжение табл 5.10

ник; w — ширина объекта по перпендикуляру к длинной оси.

щим. Большинство из них вычислены по таким основным изме­ рениям, как длины осей, периметры и площади. Некоторые меры форм содержат сравнения со стандартными формами, например окружностью.

Любая из этих мер формы может быть использована таким же образом, как и какой-либо другой дескриптор. Хотя и нет гарантий того, что измерения подчиняются нормальному рас­ пределению, по мерам формы для собранных объектов могут быть вычислены обобщающие статистики, такие, как средние и дисперсии.

Измерения формы с помощью преобразований Фурье

Относительная польза методов исследования совокупностей измерений, характеризующих форму, иногда отстаивается с некоторой горячностью и, возможно, это плодотворная область, для одной или двух кандидатских диссертаций. Однако мы сейчас обратим наше внимание на более перспективные спосо­

бе

Рис. 5.35. Проекция контура зерна веска, выраженная в полярных координатах.

Координатные пары образованы длиной /•/ и углом 0/ радиуса, про­ веденного из центроида к краю

Рис. 5.36. Определение цент­ роида трапециевидной аппрок­ симации.

Оцифрованная форма подраз­ деляется на трапеции, состоя­ щие из прямоугольника и пря­ моугольного треугольника. Точ­ ками представлены их цент­

роиды

бы описания формы, не являющиеся однозначными. Среди них находятся различные модификации преобразований Фурье, уже использовавшихся в гл. 4 (см. кн. 1) для анализа временных рядов.

Координаты замкнутой линии, например проекция контура зерна песка или ископаемой раковины, можно выразить в по­ лярных координатах, как это изображено на рис. 5.35. Одна из

расстояния вдоль всех радиусов изменяются и, конечно, соот­ ветствующие преобразования Фурье будут различными. Если мы пожелаем сравнить несколько различных форм, мы должны будем отождествить эквивалентные точки внутри каждой из них, считая их центрами соответствующих координатных сис­ тем. Если этого не сделать, то мы не сможем сказать, явля­ ются ли видимые различия между спектрами Фурье следстви­

69

ем различий формы или же они проистекают из-за нашего выбора центра.

В некоторых приложениях имеется единственная точка вну­

кушковых рачков до контура их раковины. К сожалению, большинство форм (зерна песка, галька, контуры соляных ко­ пей) не имеют ярко выраженных точек, которые можно было бы считать центрами отсчета. Мы можем, однако, внутри каж­ дой замкнутой формы произвольно выбрать точку, которая бу­ дет служить началом системы координат.

Центроид — это центр тяжести формы, он единственен для каждого объекта. Если контур некоторого объекта представля­ ется набором декартовых координат, аналогичным порожден­ ному компьютером, то центроид может быть найден интегриро­ ванием координат X и Y. Простая процедура интегрирования построена на использовании метода трапеций.

Ряды точек размещаются на границе объекта (рис. 5.36). Для определения трапеций используются пары этих точек в комбинации с осями. Выбрав произвольную начальную точку, построим серию трапеций, расположенных на рисунке против часовой стрелки. Можно найти центр тяжести каждой трапе­ ции, и комбинация этих центров тяжести даст центр тяжести

с помощью простых геометрических процедур. Каждая трапе­

их середины. Центроид треугольной части расположен на рас­ стоянии 1/3 пути между прямым углом и двумя острыми угла­ ми. Центроиды двух частей комбинируются с весами, соответ­ ствующими их относительным площадям. Эти операции могут быть скомбинированы и упрощены до выражений следующего вида:

70

Эта процедура может быть легко проделана ЭВМ, которая даст положение центроида сложной фигуры. Точность положе­ ния зависит от числа точек, размещенных по периметру.

Теперь мы установили положение центроида фигуры и мо­ жем провести радиусы из центроида к точкам периметра фи­ гуры. Длины этих радиусов вместе с их угловой ориентацией дают пары полярных координат, которые можно анализировать методами Фурье, рассмотренными в предыдущей главе. Анализ даст спектр замкнутой фигуры, и из этого спектра мы можем вывести много интересных свойств формы фигуры. Цикличес­ кий спектр Фурье имеет все желаемые свойства, как и обыч­ ный спектр Фурье: он содержит всю информацию, содержащу­ юся в исходной фигуре, последовательные гармоники не зави­ сят друг от друга и каждое спектральное значение есть мера вклада соответствующей гармонической формы в общую дис­ персию.

Для того, чтобы сделать циклический анализ Фурье прием­ лемым, радиусы должны выбираться с равными угловыми при­ ращениями. Как в обычном анализе Фурье, пробы равномерно размещаются во времени или пространстве. К сожалению, не­ вероятно, чтобы координаты исходных точек на периметре фи­ гуры, используемые для определения центроида, размещались так, чтобы соответствующие им радиусы образовывали равные углы. Мы должны найти вдоль периметра новое множество точек, которые определяют равные углы относительно данного центроида либо осуществить новый ряд измерений или интер­ поляцию между этими точками.

Однако каждая процедура вводит новые усложнения, так как центроид, вычисленный по новому ряду точек, не обяза­ тельно в точности совпадает с центроидом, определенным для исходного множества точек. Если радиусы измеряются не от истинного центра, то в спектр Фурье вводится смещение. Эф­ фект от этого аналогичен нецентрированному колесу, которое дает восьмерку при каждом вращении. Эта восьмерка дает вклад в первую гармонику, которая иначе равнялась бы нулю. Так как обычно для сравнения спектр стандартизуется, то на­ личие ложной первой гармоники уменьшает относительные ве­ личины остальных гармоник. В статье [9] описана итерацион­ ная процедура, которая дает на каждом шаге все более близ­ кую аппроксимацию к истинному центроиду ряда точек, распо­ ложенных вдоль периметра объекта так, что соответствующие нм радиусы образуют равные углы

Преобразования прямоугольной системы координат в по­ лярную дают «развертку» замкнутого контура (рис. 5.37). Ме­ тоды обычного анализа Фурье очевидно применимы для не­ развернутой фигуры.

71