книги / Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

превосходит предел пропорциональности апц. В формуле (98): Е — мо­

то потеря устойчивости происходит за пределами пропорциональности; при этом формула (98) уже не определяет истинного значения крити­ ческого напряжения.

Критической гибкостью называют величину

Теория продольного изгиба центрально сжатого стержня

Теория Кармана. Теория основана на идее Эйлера о том, что потеря устойчивости выражается в появлении смежных форм равновесия при неизменной нагрузке. Предполагается, что свойства материала при сжатии стержня характеризуются некоторой опытной диаграммой о = а (в) (рис. 65). Если потеря устойчивости происходит при некото­ ром напряжении окр^> опЧ (см. точку т на рис. 65), то в волокнах, расположенных с выпуклой стороны стержня, возникнут дополнитель­ ные напряжения сжатия

Соответственно, в волокнах, расположенных с вогнутой стороны стержня, возникнет разгрузка, которую можно считать следующей линейному закону:

= 2000 дан!смг\ модуль упругости Б = 7 ,5 -1 0 5 дан/смг. Для определения

касательного модуля В* через каждую из отмеченных буквами а. Ь, . . ., п точек проводят касательную и находят тангенсы углов, составляемых каса­ тельными с осью абсцисс. Найденные таким способом значения Ет приве­ дены в табл. 37. Далее по формуле (106) вычисляют значения приведенного

Г п И* н а к о н е Ч. о п р е д е л я ю т с п о м о щ ь ю ф о р м у л ы (1 0 7 ) з н а ч е н и я г и б ­ к о с т и X. П о л у ч е н н а я з а в и с и м о с т ь п о к а з а н а н а р и с . 6 8 . П р и X > 6 0 5 т е

в у п р у г о й о б л а с т и , к р и в а я с о о т в е т с т в у е т ф о р м у л е Э й л е р а (9 9 ). Н а ’ т о м ж е

графике даны опытные топки. При К > 60,5 они почти точно лежат на кри­

вой Эйлера, а при К < 60,5 опытные точки располагаются несколько ниже расчетной кривой.

Рис. 68

Теория Шенли. В отличие от концепции Кармана, в теории Шенли изучается возможность появления (и последующего развития) смежной формы равновесия при монотонно возрастающей нагрузке.

Согласно этой теории, смежная (изогнутая) форма равновесия стержня появляется уже при касательно-модульной нагрузке

причем с дальнейшим ростом нагрузки прогибы монотонно возрастают

формально обращаются в бесконечность. При этом каждому значению Р, лежащему в пределах Р* < Р •< Рк, соответствует определенная форма изгиба, характеризуемая конечными прогибами (рис. 69). Указанный процесс сопровождается непрерывным развитием зоны разгрузки и при достаточно больших прогибах могут возникнуть вторичные пластические деформации (в зоне растяжения), благодаря которым полная потеря устойчивости происходит не при Р = Рк, а при несколько меньшей силе, лежащей в интервале [Я*, Р к].

Практическая ценность концепции Шенли вытекает из того, что кривая Шенли является предельной (сверху) кривой для семейства кривых, относящихся к случаям внецентренного нагружения стержня. Поэтому область, расположенная выше кривой Шенли, практически

нереализуема.

За критическое напряжение следует считать напряжение, при котором начинается продольный изгиб стержня, т. е. напряжение, соответствующее касательно-модульной нагрузке.

Для построения кривой «критическое напряжение — гибкость» на основе теории Шенли нужно выполнить операции, указанные выше

Приближенная стандартная кривая для определения коэффициента <р в формуле (112) показана на рис. 70. По оси абсцисс отложены значения

(это приближенно верно для ряда мате­ риалов), так что

9 = 1— у- (0< V< 1)- (П5)

Потеря устойчивости внецентренно сжатых стержней

При внецентренном сжатии изгиб оси стержня возникает уже при сколь угодно малых значениях продольной силы. Характерная кривая зависимостинаибольший прогиб — сжимающая сила имеет вид, изо-

браженный на рис. 71. Для этой зависимости типично существование максимума сжимающей силы, который и определяет критическое состоя­ ние стержня.

При построении теории этого явления считают, что сечения при из­ гибе остаются плоскими, а перемещения малыми. Для точек, в которых деформация сжатия монотонно возрастает, принимают, что напряжения следуют кривой о = а (е), полученной при испытаниях на сжатие, а для точек, в которых возникает разгрузка, считают, что она следует линейному закону.

На рис. 72 показаны теоретически построенные

поперечного сечения; N — сжимающая сила; б — прогиб). Штриховая линия проходит через максимумы построенных кривых; по значениям окр и Я, в этих точках может быть построена зависимость критического на­ пряжения от гибкости. Кривые этого типа даны на рис. 73 (рис. 73, а относится к стержням с прямоугольным сечением, рис. 73, б—к стерж­ ням с тавровым сечением). Верхняя кривая ( т = 0, г д е т —относительный

жения следуют гиперболе Эйлера).

Если за пределом пропорциональности материал следует закону идеальной пластичности, то критические напряжения можно опреде­

Устойчивость сжатых стержней при ползучести материала 89

где о — напряжение; е — деформация; Е — модуль упругости; к и п — коэффициенты, зависящие от температуры; точками обозначена опера­

можно найти такой момент времени, при котором прогибы формально стремятся к бесконечности (рис. 74); при п= 1 прогибы монотонно воз­ растают со временем, причем каж­ дому конечному значению времени соответствует конечное значение прогиба. В последнем случае по­

нятие критического времени должно быть особо обусловлено (например, за критическое время может быть принято такое время, по истечении которого прогибы достигли определенного предела).

Расчетные формулы

Окончательные расчетные формулы могут быть получены лишь для стержней с наиболее простыми формами поперечных сечений. Ниже приведены формулы для двутаврового стержня с весьма тонкой

Рэ — эйлерова сила; Со — наибольший начальный прогиб, отнесенный к высоте сечения.

При Со < 1 можно пользоваться формулой

«Наука», 1966.

3.П о н о м а р е в С. Д. н др. Расчеты на прочность в машиностроении,

Т.III. М., Машгиз, 1959.

6. Л е й т е с С. Д. Справочник по определению свободных длин элемен­ тов стальных конструкций. М., «Проектстальконструкция», 1963.

7.Р ж а н и ц ы н А. Р. Устойчивость равновесия упругих систем. М., Гостехиэдат, 1955.

8.С м и р н о в А. Ф. Статическая и динамическая устойчивость соору­ жений. М.. Госстройиздат, 1947.

10.Т а т у р Г. К- Некоторые обобщения в теории продольного изгиба. Инженерный сборник. Т. VII. М., изд-во АН СССР, 1950.

11.В л а с о в В. 3. Тонкостенные упругие стержни. Изд. 2-е. М.. Фнзматгиз. 1959.

12.Б ы ч к о в Д. В. Расчет балочных и рамных систем из тонкостенных элементов. М.. Стройнздат, 1948.

13.Т и м о ш е н к о С. П. Устойчивость упругих систем. М., Гостсхнздат, 1955.

14.Б о л о т и н В. В. Неконсерватнвные задачи теории упругой устой­ чивости. М., Фнзматгнз, 1961.