Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Электромагнитные эффекты в твердых телах

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

11.93 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1611 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

2.6. Поверхностные волны Рэлея

101

Решения уравнений

(12) представим в виде

(14)

Ф* =

ЛеРх',

%* =

Лepx,,

ф* =

ЛеРх'.

Подставляя

(14)

(12),

приходим

к характеристическому

уравнению

(15)

(р2 -

А2) [I2 (р2 -

А2)2 +

(ч, -

1) (Р2 -

А2) - о2] = О

с корнями

(1 6 )

Р , 2. э, ,

{

Jjr [1 -

Ч ,

( ( 1 -

Ч | ) 2 +

4 а 2/ 2) ' ' > ] } \

Рб, 6 — i

k ,

Pi =

— Рз,

Рг =

P-t*

Таким образом, получаем решения

(17)

ф* =

Л1е~р,Х +

A2e~^Xt + Лэе^'Л-Л^1*1+

Аье~кх'+

Аьекх\

(18)

х*= А1е~&,х,-\-А2е~$зХ1+

A3e$lXt +

Л4еРаХ1 +

Аье~кх' +

Афкх\

(19)

ф* =

Л3еР‘Х| +

Л4е^х>+

1 5е~кх‘+

А6екх'.

Подставляя

(17)

и (18)

в уравнения

(7), получим следующие

соотношения между постоянными Л,- и Л,-:

(20)

Л) — К\А\,

А2— %2A2f Л3— «1Л3, Л4

и2Л4,

Л5= 0, Л3= 0, Л5= 0, Л6= 0,

где

cii (р? ~ * 2+ ffD

‘ii(P i-* 2+*?)

X l =

—

х ,=

—

р? - * 2

Подставляя

(18)

(19)

уравнения

(7), получим зависи

мости

Э0Л1=

Л1,

э0Л22 =

Л2,

э0Л33 =

Л3,

ЭоЛ4 =

Л4,

Л5ф 0, Л6=Ф о*

Аналогично формируется решение уравнения (13). Полагая, что

(22)	Я’ = Bev* К* = Ве™,

получим из уравнения (13) следующее характеристическое уравнение:

(23)	II (у2 -	k2f +	(ъ -	1) (у2 -	V) -	о\ =	0
с корнями
V,. 2, ,	, = *	{ Ъ?+	Jj. [1 -	ч, ±	(О -	Ч2)2 +	4а2/2)''.1 }'•,
(24)
		У\| =	— Y3»	Y? =	- Y v

102 Гл. 2. Теория пьезоэлектричества Тупика и Миндлина

Следовательно,		разрешающими уравнение					(13)	функциями
будут
(25)	Я* =	Вхе~Y.*> +		В2е~	+	Въе^х' +	В4е№ ,
(26)	К* =	Bxe ~ ^ +		В2е-ъ*' +		/Г3е‘' +	В4е’,
где			_		Я3 = Т ^ з,
	ЪХ*=Х{ВЬ		В2*=Т2В2,		Я3 = Т ^ з,		Я4 =	Т2Я4,
_	*44 W -		2 + 2)		_	^4(Y2-fe2+a^)
Т‘ ~-		Y2 _ A		’	Т2 ~		y2 _ k2

В неограниченном пространстве волны ф и %, а также Н и К распространяются отдельно, независимо друг от друга. В рас сматриваемом здесь случае упругого полупространства х\ ^ О эти волны между собой связаны посредством краевых усло вий. В случае упругого полупространства представим решения в виде

Ф* =	Ахе-Ь* + А2е-Ь*‘,		+	А2е~^х',
	Ф* =	Axe~^Xt + A2e~^Xl + Лбе-0-'*,
(28) Я* =	Bxe - M	+ В2е~ъх\	К4= Вхе~^х\ +	В2е ~ м .

Полагаем здесь, что корни р|, j}2, Yi. Y2 вещественны и поло

жительны. Имеем пять независимых постоянных: А х, А2> Л5, Ви В2. В нашем распоряжении имеется также пять краевых условий

<7ц (о, Х2, t) = О, о12(0, х2, /) = 0, Яц(0, х2, 0 = 0,

£ 12(0 , x2t 0 = 0, э0[ф. i] + Pi L-o = 0.

Из формул (2) и (3) § 2.3 получим следующие выражения для напряжений ац, <Ji2 и величин Яц, Е\г\

Оц = 2с44н1(! +	с12{щ, 1+ н2(2) +		2d44P1( 1 + d l2{Piti +	Р2.г)»
ш ) 012=С44 ^ 2' 1	М*'2^^	^°2,1	2^’	P \|(2),
Вп ==2d44M1>1-j- dX2(uu		! -f- м2>2) +	2Я44Р\|, J + 6]2(Pj,i +
В12 = d4A(u2t j +	ttlf2) +	644(P2, i +	Pi. 2) 4* 677(P2, 1— Pi, 2)*
Использование краевых условий			(29) приводит к системе

пяти однородных алгебраических уравнений, коэффициенты которых являются функциями величины k2. Приравнивание нулю определителя системы уравнений приводит к характери стическому уравнению для величины /г2. Определим затем ве щественные корни этого алгебраического уравнения; его наи меньший вещественный корень определяет фазрвую скорость v * a>/k распространения поверхностной волны Рэлея в упру гом полупространстве.

5.7. Основная энергетическая теорема

103

Мы привели только схему решения задачи о распростране нии поверхностной волны Рэлея в упругом диэлектрике. Слож ность задачи не позволяет сделать общих выводов; необхо димо произвести численные расчеты для заданного диэлек трика.

2.7.ОСНОВНАЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА И ТЕОРЕМА ВЗАИМНОСТИ РАБОТ

Вградиентной теории Миндлина мы имеем дело с системой дифференциальных уравнений

(1)		О ц %, +	X t = рй*,
(2)		+	+
(3)		“ “ э0Ф.и + Pi, i = 0
и с определяющими соотношениями
(4)	о ц =	C i j k i H t	4* f k i j P k +	d ki i j P t 4 k>
(5)	Eji — dijki&M + ikt}P k +			bm Plt к 4 Щи
(6)	=	4"a ikP k 4" i m p i. k•
Помножим уравнение (1)			на	и проинтегрируем по об
ласти тела. Получим уравнение
(7)	^ (от/г. / ~i~		— рм*)	г/и «= 0.
	в

После преобразования этого уравнения и введения вектора контактных сил pt = Ojitij приходим к соотношению

(8)	J ptvt da 4- J Xtvt dv		4- \	dv,
	дБ	В	В

Ж\ piitot dv.

Умножим теперь уравнение (2) на Pt и проинтегрируем по области тела

(в)		$ (* /!,/+ * { • - Я
		В
Положим £'5=		0. Преобразование выражения (9) приводит к
уравнению			+Pfi.,) d«.
(10)	$t,P, da =5 (Я,А,-		+Pfi.,) d«.
	дВ	в

£< = Eittij.

104 Гл. 2. Теория пьезоэлектричества Тупика и Миндлина

Наконец, используем уравнение (3), которое запишем в виде JOk, k = 0. Из выражения

(11)	^ £)fti fe<p du = 0, Я, = э0Е, + ^
получим	в
получим

(12)— J DiWi da = — J Pfq>, {dv — э0 J Ф. iEt dv.

дВ

Складывая равенства (8), (10) и (12), приходим к соотноше нию

(13) J	PiVi da-\- ^XiVi dv +	J	£гPt da — ^	=
дБ	В	дВ	дВ
	= ^Ж~ ^ (/ч “Ь ^ liPi. / — E^Pi) dv — э0 J Ф. iEt dv.
	в			в

Подставим в первый интеграл правой части (13) определяю (14)щие соотношения (6). В результате получим выражение

-$F(X + <UL)-3<l \<t,lE,dv =

		=	J	PiVida-f J h P i d a —		^Dt(pnida+ ^XiVt dv.
Здесь			дВ	дВ		дВ	В
Здесь
(15)	<UL=	V2CilklEi}ekl + %ЬцнРи JPUk +					I +
	+	dijkiPj, fiki + fiikPfyk + iiikPiPk, t>					= ^ U Ldv.
Уравнение (14) можно представить также в виде							в
Уравнение (14) можно представить также в виде
(16)	-^ (Х +		<ЭД= J PiVida +		^XiVidv +
				дВ	В
					+	^ hPi da — J Ьмщ da,
						ев	ов
				41 = <UL + j	J э0ф, гф. i dv.
					в

Это другой вид уравнения баланса энергии. Изменение во вре

мени кинетической и	внутренней энергий равно	мощности
внешних сил и двум	поверхностным интегралам,	связанным
с электромагнитным полем.			(1)
Перейдем к теореме взаимности. Выпишем уравнение
для двух систем причин и следствий, последовательно			дей-

срующих на упругое тело. Величины, связанные со второй системой, обозначим штрихами. Будем рассматривать только

2.7. Основная энергетическая теорема

105

статическую задачу. Из уравнения (1) и аналогичного ему уравнения, записанного для системы со штрихами, получим следующее тождество:

(17)	$ (ОЦ' ju\ — a'tl fa) dv + J (Л>; — X\ut) dv =		0,
	в	в
откуда
(18)	J	(р.и\ — р'р() da + $ (XiU't — Х'р^ dv =
	дВ	В
		= \ M i -	i v ■
		в

Подобным же образом поступим с уравнением (2):

<19>	$ (*,<. а	-	£ ;<. а ) * +	5 (е а	-	щ а ) * > =
	В			В
					8=5	\	^ 1 ~~	f t )
Преобразуем (19) к виду						в
Преобразуем (19) к виду
(20)	S (£ Л	-	ЙР,) da = J (£,Д , -		P J A ,) dv -
	дВ		В
			- 5 {ELl P l -	E'Lp,) dv +		5 (ф, ,Р', - ф[ ,Р,) dv.
			В			в
Сложим уравнения (18) и (20). Получим
(21)	5 (Piu' -	p’tu,) d a + 5.(Е,р ; - ?;р,) da +					\ ( Х / - Х [ и , ) dv=*
	дВ		дВ				В
	= \ {{аЦВЧ ~~ aliei])			( ^ 7 Д .	/ “		Д i) “ “
	в		-(£fp;-е г р ,)} d v +			\ (ф.,p;-i		A ) to-

Рассмотрим последовательно входящие в (21) разности, ис пользуя определяющие соотношения

(22)	<Уцв{1	=	fkij {Pketi	^keij) ~Ь	(Д
(23)	EJtp 't, -	е 'пр {1, = dm (eklp'it , - в ; л ,) +
		+	ы, {РА.	, -	(biA,.,- Ь?‘Р>,). /)•+

(24) - Е\Р\ + E’Lp, = fM (H A - L' A I) +1ш (PI. A I ~ P I. A ) -

106 Гл. 2. Теория пьезоэлектричества Тупина и Миндлина

Легко заметить, что сумма левых частей уравнений (22)—• (24) приводит к выражению

М	-	°«е</) + (ЕЛ	/ -	E'ap i. /) - (Е$р ‘ -		E<Lpd =
					“	I ~~	/•
Поэтому уравнение взаимности работ (21) примет вид
(25)	\	(р,«; - р>,) da +		J ( t f t - t ' f , ) d a + \		(* ,В; - Г Л ) л> =
	зв			ав	в
		= S и	л	/ -	, ) d v + \ (ф. л - ч>: л		)

Рассмотрим оставшееся дифференциальное уравнение (3). Очевидно, справедливо тождество

(26)	\ (p i, <ф' — р /. Л1)	= эо $ (Ф. «ф' - Ф!«Ф)
или	в	в
или
(27)	f (P;<p t - P t f t) dv =	э0 $ (ф - ф' ,ф) я, da —

В		дБ
— 5	( р у —	= — 5 (^ .ф7—D W ) ni Ла
ев		дБ

Исключая из (25) и (27) общий член, приходим к оконча тельному виду теоремы взаимности работ

(28)	J	da +	J Xfti] dv + J		P d a +		J Dj(p'nl da +
	дВ		В	дВ		дв
+	^ b'l(jpi'jdv =			J р\и^а +	^X'pfiv +		jj	da +
	В			дв	В		дБ
					+	J D/tq>ni da +		J &°4Р^ i dv.
						дВ		в
Заметим,		что для	краевого условия			Ецщ =	£/ =	0 пропадает

второй из поверхностных интегралов. В случае теории Тупина пропадают члены, содержащие функции и Ь°1Г

2.8.ПОВЕРХНОСТНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ

ИПОЛЯРИЗАЦИИ Г34)

Рассмотрим полную внутреннюю энергию, проинтегриро ванную по области тела В и области В'% окружаю

	2.8. Поверхностная энергия деформации и поляризации				107
щей тело:
(1)	^ U d v — ^ (t/L + -g-90q), *ср, Л d v = [ u L d v - \ -
	в*	в*	в
			+ у	J э0ф. /ф, i dv,
		В' =	В + В \	в*
		В' =	В + В \
Энергию UL =		UL(eij,Pi,Pi,j)	представим в виде	(см. уравне
ние	(14) § 2.2)
(2)	UL= b^P^ t + ^I^O’ijP[Рf + 'ЬЬцыРjt tP /(* + ll2ctjkieijeki +

+ dllklPj. fikl + fiikPle!k + UjkPiPk./•

Легко убедиться в том, что выражение (2) с учетом опреде ляющих соотношений

(3)

а ч =

CiikiHi + fktjPk + dkUjPu k,

(4)

Вij

~Ь / * , Д

~t~ biiklPlt k -|- b°tj,

(5)

£ / =

fjkieui +

aikp k + i]kip i, k

удается представить в виде

(6)

2 u L =

< v „

Б Р

, + b % P ,.

Заметив, что

aHeU — (aijuj).

iUj,

(7)

Bijp i, i =

/ РД i — Eijt tP]t

Ф. iФ. 1 =

(Ф, <ф). i — Ф, «Ф,

приведем

уравнение

(1 ),

используя преобразование Гаусса,

К в и д у 1)

(8)

^Udv =

- T

S ( a 4 . 1 UI

Б И. tp i +

Б Р , +

h f . lit ) d v ~

в*

- Т

•Ф dv +

\ (b]fPt +

Oyytty +

EllPj +

Э01ф, , | ф) nt da.

эо $ 9 . ‘

В'

Рассматривая задачу как статическую, используем уравнения поля

° i l . i + ^ / = 0,

(9)	Вц, i + Bj -	Ф,, +	E°f = 0, x e B,
	— э0ф. и +		p u i — 9,
(10)	Ф, a	= 0,	x GE B',

•') Полагаем, что тензор Ь/у постоянен, т. е. не зависит от положения

точки и времени.

108 Гл. 2. Теория пьезоэлектричества Тупина и Миндлина

и значительно упростим уравнение (8). Тогда получим
(11)	$£/do =	i $ ( j r (B( + £JP,)do +
	В*	в
	+ т \	\ ° а и1 +	E a P i + b%p i — (— эо\| Ф. i \| -Ь p i)]		da.
	дВ
Предположим, что			отсутствуют массовые	силы (Xj =	0)
и что не существует внешнего электрического				поля (£° =	0).

В этом случае видно, что в правой части выражения (11) ис чезает объемный интеграл. Остается лишь поверхностный ин теграл

(11') S V,d v = 1 5 [<гЛ + £ <(Р(—(—э01<р I+ Р , ) + Р № ] " ,da-

В* дВ

Положим далее, что тело свободно от нагрузок на поверхности дВ. Два оставшихся краевых условия также будут однород ными:

(12) vfijtii — 0, E{jtii = 0, (— Эо I ф, i | + Pi) ni 1=10.

Выражение (11') упрощается и остается только член

(13) ^ U d v = ± J b^Pjti.da.

В* дВ

В рассматриваемом случае отсутствия массовых сил и внешнего электрического поля и при однородных краевых условиях интегральная внутренняя энергия выражается в виде поверхностного интеграла (13). Это выражение равно нулю, если положить 6^ = 0. Выражение (13) назовем поверхно

стной энергией деформации и поляризации.

На основе решений Този [53] и Гермера, Мак-Рэя и Харт мана [18] энергию деформации и поляризации (13) можно трактовать как ту часть энергии, которую следует добавить к энергии межатомных связей, чтобы получить энергию, необ ходимую для разделения материала вдоль поверхности А = д В . Покажем, что выражение (13), описывающее поверхностную энергию деформации и поляризации, есть отрицательная ве личина. Это вытекает из следующих рассуждений. Учитывая (1), уравнение (13) можно записать в виде

$ [(UL -	И А , + т эо<р. ,9.,)] do= j $«,И А da -	5 И А . А -
В*	дВ	В*
ИЛИ	$ [ ( i +т ULэ-«фИ.л А<)]dv. + т $ "	( Н А d a
(14)	$ [ ( i +т ULэ-«фИ.л А<)]dv. + т $ "	( Н А d a

В*

дВ

	2.8. Поверхностная энергия	деформации и поляризации	109
Но объемный интеграл положителен. Отсюда следует, что
(15)	$ n tfiP f d a K O .
	дВ
Определим величину
(16)	^ = т №	# Ц

как поверхностную энергию деформации и поляризации, отне сенную к единице поверхности. Эта величина называется по верхностным натяжением.

Рассмотрим простой пример упругого полупространства х\ ^ 0 , свободного от нагрузок на границе. Задачу трактуем как одномерную, зависящую от переменной х\. В этом случае имеем дело со следующей системой уравнений:

	спд]их+ d ndfPl =		0,
(17)	йпд]и{ + (Ьпд] — а )Р х—дх<р =		0,
	— э0с^ф +	=	0,

которую надо решить с учетом однородных краевых условий

*11 — + ^ndiP1= 0

(18) Е\{ = d\\d\Ux+ &n^iPi -f- &о= 0 > при х{ = 0,

э0 {д^+ — 5,ф“) + Pi = 0 )

«!-»(), Pj —>0, ф -»0 при Xi

оо.

К решению системы уравнений применим способ, предло женный в § 2.3. А именно, подставляя

(19)	Н1 = д,ф,	/>i=d,x, К = Н =			0
в (7)	и (8), получим систему уравнений
(17')	V M 5+ (ьпЩ ~ а) * -		Ф=	°*
		— 30d^ + ajx =		0
с однородными краевыми условиями
	а? (СцФ+	= о
(18')	д;(лиф + &пх) + а0= о		при Xi =		0,

—э0[^ф] + ^1Х = 0

ф->0, х-*0» ф-^0 при Xi оо.

Введем функции

(20)	а = спф + с1,1Х» Р = Х — эоФ>

110 Гл. 2. Теория пьезоэлектричества Тупина и Миндлина

которые удовлетворяют уравнениям
(21)		<?2а =		0>	020 =		0.
Отсюда	а = А +	Вх\,	0 =	С + Dxь			Но А =	0,	В =	0, С = 0,
D — 0,	так как при xi-^oo должно быть а->-0, 0->О. По
этому из соотношений (20) имеем
(22)		'Ф=	— (dn/cn)%,			ф= э0"1х.
Подставляя (22) в (17'), получаем уравнение
(23)			( a ? - i//f ) x = o ,
решение которого имеет вид
(24)		yi=	Ee~Xil11		при		Xj^O,
где		сиьп
		сиьп		А х	> 0,		й = а +	Эо*
	'? =		Cnfi		> 0,		й = а +	Эо*
Следует удовлетворить еще краевым условиям. Легко про
верить,	что. условия		(18') 1 , 3		выполняются			тождественно. Из
условия	(18') 2 получим
(25)				Е =	- bjd.
Таким образом, нам известны функции
(26)			Ф = —				$ = ^ Ь - е - х'1К
				* 1 ^ 0 .
При х\ < 0 полагаем, что <р =					0.
Перемещение щ и поляризацию Р ь а также потенциал ф
находим по формулам			(19):
(27)	и1=		P l =		P°le~Xllll} ф= фQe~Xlllt,
где	ио_	badо“ II		по__£о_			0 ____	VQ
	"1	hdcn •		хr 1i	/,Д.л *		ф ”	йэ0
Помимо напряжения Оц в полупространстве х\									0 возникают
также напряжения а2г и а33, при этом
(28) Ц22=сг33 = ^11м1, 1+ ^12^1,1 —
			_	СцЬр / С12		_ (?12 4 / fr\|\|Cl1			_	1 -Jfi/Л
					V сн		/ V			/

Полученные функции «i(*i), P I (*I), q>(ЛГ1) экспоненциально убывают при Xi > 0, а коэффициент затухания /i — постоян ная положительная величина. Поверхностную энергию дефор мации и.поляризации определим по формуле (16):

(29)	и 5= - Ъ Ц ( 2 Щ .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1611 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
20.11.2023675.39 Кб0Электромагнетизм..pdf
#
20.11.20235.05 Mб1Электромагнитное поле..pdf
#
20.11.20236.19 Mб7Электромагнитные волны в технике связи..pdf
#
20.11.202310.48 Mб9Электромагнитные муфты скольжения..pdf
#
20.11.202320.54 Mб3Электромагнитные переходные процессы в электрических системах..pdf
#
20.11.202311.93 Mб8Электромагнитные эффекты в твердых телах..pdf
#
20.11.202336.33 Mб12Электромеханика. Трансформаторы. Электрические машины.pdf
#
20.11.202313.11 Mб6Электромеханические аппараты автоматики..pdf
#
20.11.202311.57 Mб34Электромонтер по обслуживанию буровых установок..pdf
#
20.11.202315.05 Mб3Электроника электрофизические основы, микросхемотехника, приборы и устройства..pdf
#
20.11.20232.45 Mб2Электроника и микропроцессорная техника..pdf