4352

11

Из диаграммы видно, что по функциям F131, F132, F133 возникают дефектные зоны. Их наличие связано с требованием к микроминиатюризации конструкции. Сокращение затрат на данные функции возможно путем использования менее миниатюрных, но более дешевых комплектующих. При проектировании приемника конкретно для пейджера необходимым условием является его миниатюрность. Иначе сам пейджер в целом не будет конкурентоспособным.

Как выход из возникшей ситуации можно рассматривать применение современных, специализированных, многофункциональных микросхем, которые будут хорошо выполнять целый ряд поставленных им задач, сохраняя при этом требования к миниатюризации схемы приемника.

Тема 3. Оптимизационные задачи при принятии управленческих решений, методы оценки эффективности

Построение области допустимых решений в задаче линейного программирования с двумя переменными. Целевая функция в задаче линейного программирования с двумя переменными и ее геометрическое представление. Симплекс-метод нахождения управленческих решений. Характеристики качественного управленческого решения. Понятие эффективного управленческого решения. Виды эффективности управленческих решений. Методы оценки эффективности управленческих решений.

Предусмотрено 2 часа практических занятий. Задачи для практических занятий.

Рассмотрим задачу об ассортименте продукции

Предприятие изготавливает два вида продукции Р1и Р2. которая поступает в продажу. Для производства продукции используются два вида сырья – S 1 и S2. Максимально возможные запасы сырья в сутки составляют 7 и 11 единиц соответственно. Известно, что для изготовления единицы продукции P1

12

расходуется 1 ед. сырья S1 и 2 ед. сырья S2, а на изготовление единицы продукции P1 расходуется 2 ед. сырья S1 и 1 ед. сырья S2. Суточный спрос на продукцию P1 никогда не превышает спроса на продукцию P2 более чем на 1 единицы. Кроме того, известно, что спрос на продукцию P2 никогда не превышает 3 ед. в сутки. Оптовые цены единицы продукции: 3 д.е. для продукции P1 и 2 д.е. для продукции P2. Какое количество продукции каждого вида может производить предприятие, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Составим математическую модель данной задачи. Предположим, что предприятие изготавливает x1 единиц продукции P1 и x2 единиц продукции P2. Доход от реализации x1 единиц продукции P1 и x2 единиц продукции P2 составит L = 3x1+ 2x2.

Поскольку производство продукции P1 и P2 ограничено имеющимся на предприятии сырьем каждого вида и спросом на данную продукцию, а также учитывая, что количество продукции не может быть отрицательным, должны выполняться следующие неравенства:

Требуется среди неотрицательных решений системы линейных неравенств найти такие, при которых функция L принимает максимальное значение Lmax. Решим данную ЗЛП графическим способом. Для этого в системе координат x10x2 на плоскости изобразим граничные прямые

Оптимальный план задачи: x1 = 3, x2 = 2, Lmax = 13. Полученное решение означает, что объем производство продукции P1 должен быть равен 3 ед., а продукции P2 – 2 ед. Доход, получаемый в этом случае, составит 13 д.е.

Графическое решение злп с n переменными

Графическим способом можно решить ЗЛП со многими переменными при условии, что в их канонической записи (основная ЗЛП) содержится не более двух свободных переменных. Тогда ЗЛП со многими переменными можно свести к задаче линейного программирования с двумя переменными, когда ограничения выражены неравенствами. Рассмотрим ЗЛП, заданную в канонической форме и содержащую n переменных.

Прибыль от продажи единицы изделия П1 составляет 2 д.е., а от продажи единицы изделия П2 – 3 д.е. Следует выбрать тот из возможных вариантов производственного плана, при котором обеспечивается максимальная прибыль. Решение. Составим математическую модель данной задачи. Обозначим через х1 – количество изделий П1, а через х2 – количество изделий П2. Из норм времени и данных о производственных мощностях цехов следует, что должны выполняться условия

Суммарная прибыль от планируемой продукции составляет

F = 2x1 + 3x2 (14)

Необходимо определить такие объемы плановой продукции П1 и П2, при которых суммарная прибыль максимальна. В полученной математической модели система неравенств (13) описывает такие варианты плана производства, при выполнении которых производственные мощности соответствующих цехов не используется полностью. Производственные мощности цехов будем рассматривать как ресурсы R1, R2, R3, R4. Если от системы неравенств перейти к системе уравнений (ЗЛП приведем к каноническому виду), то полученная система ограничений будет определять такие варианты производственного плана, при выполнении которых полностью используются производственные

17

мощности соответствующих цехов. Введем вспомогательные неотрицательные переменные x3, x4, x5, x6 и получим систему уравнений:

Вспомогательные переменные означают неиспользованные производственные мощности 1, 2, 3, 4 цехов соответственно.

Симплексный метод состоит в последовательном улучшении вариантов плана ЗЛП, до получения оптимального.

Система ограничений (15) приведена к единичному базису, в ней базисные переменные x3, x4, x5, x6 выражены через свободные x1, x2. Целевая функция так же выражена через свободные переменные. Таким образом, имеем:

L = 2x1 + 3x2

В качестве первого допустимого решения можно принять вариант плана, в котором свободные переменные приравниваются к нулю, то есть x1 = x2 = 0, тогда базисные переменные становятся равными соответствующим свободным членам (x3 = 12, x4 = 8, x5 = 16, x6 = 12), а прибыль от реализации продукции равна нулю.

Итак, первое допустимое решение имеет вид: L1 = 0, X1 = (0; 0;12; 8;16;12) . Это самые невыгодный план, так как прибыль равна нулю, а производственные мощности цехов совершенно не используются.

От первого варианта плана перейдем ко второму – лучшему, введя в план одно из изделий. Выгоднее ввести в план изделие П2, ибо оно обеспечивает большую прибыль на единицу изделия. Действительно, из выражения целевой функции L видно, что ее можно увеличить за счет увеличения переменных х1 и х2, но при переменной х2 коэффициент больше, чем при х1 и, следовательно, при

20

Итак, получили наилучший вариант производственного плана. Такой вариант предполагает производство изделия П1 в количестве х1 = 4, изделия П2 – в количестве х2 = 2.

В случае применения такого варианта плана прибыль достигает максимума L = 14, причем производственные мощности первого, второго и третьего цехов использованы полностью: х3 = х4 = х5 = 0, тогда как недоиспользование производственных мощностей четвертого цеха составляет 4 единицы (х6 = 4).

Итак: Lmax = 14, Xmax = (4; 2; 0; 0; 0; 4) .

Идея последовательного улучшения решения легла в основу универсального метода решения ЗЛП – симплексного метода.

Для реализации симплексного метода – последовательного улучшения решения – необходимо освоить три основных элемента: способ определения какого-либо первоначального допустимого базисного решения задачи; правило перехода к лучшему решению; критерий проверки оптимальности найденного решения.

Для использования симплексного метода ЗЛП должна быть приведена к каноническому виду, то есть система ограничений должна быть представлена в виде системы уравнений.

n

L = ∑cjx j ® max(min),

j=1

∑n a x = b , (i = 1,2,…, m) ,

ij j ij=1

x j ³ 0.

Возьмем в качестве базисных неизвестных х1, х2,…,x y, а xr+1 , x r+2 ,…, xn в качестве свободных неизвестных.

Выразим в системе ограничений базисные переменные через свободные