Король А. В. / Лекции Король А. В. / Лекция 9
.pdfЛекция 9
9.1Циркуляция вектора напряженности электростатического поля
• Пусть в поле неподвижного заряда Q перемещается заряд q.
Элементарная работа, совершаемая силой кулоновского взаимодействия, при бесконечно-малом перемещении dr вычисляется следующим образом:
|
qQ dr |
dr |
|
|
|
|
|||||||
dA = F dr = 4πϵ0 rr3 = qQ r2 |
k=1/4πϵ0 |
|
|||||||||||
Здесь использовали |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
равенство rdr = rdr. Действительно |
||||||||||||
2rdr = 2xdx + 2ydy + 2zdz = d (z |
2 + z2 |
+ z2) = dr2 |
= 2rdr. |
||||||||||
| |
|
|
|
|
{z |
|
|
} |
|
=r2
Работа при конечном перемещении из точки 1 в точку 2:
2 |
r2 |
dr |
1 |
|
1 |
|
|
A12 = Z1 |
F dr = kqQ Zr1 |
|
= kqQ |
|
− |
|
|
r2 |
r1 |
r2 |
= Работа A12 не зависит от траектории, а определяется только положениями начальной и конечной точек.
= электростатическое поле точечного заряда – потенциально, = сила кулоновского взаимодействия – консервативна.
Следствие:
Работа, совершаемая при перемещении заряда q по любому замкнутому пути L, равна нулю:
I
dA = 0. |
(9.1) |
L
• Соотношение (9.1) справедливо не только для кулоновского взаимодействия двух точечных зарядов, но и при перемещении заряда q в произвольном электростатическом поле E.
Действительно, любое эл./ст. поле можно представить в виде суперпозиции полей точечных
H
зарядов. Поэтому dA = 0 для любого внешнего эл./ст. поля E.
Т.к. dA = qEdr, то для любого E справедлива теорема о циркуляции:
I
Edr = 0. |
(9.2) |
L
H
L Edr называется циркуляцией вектора напряженности.
Уравнение (9.2) утверждает, что циркуляция E вдоль любого замкнутого L равна нулю.
А.В. Король. "Электричество и магнетизм". Лекция 9 |
64 |
В качестве иллюстративного примера рассмотрим справедливость соотношения (9.2) в частном случае однородного электростатического поля, E = const. Циркуляция этого вектора вычисляется следующим образом:
II
E dr= 0 .
|L{z }
=перемещение=0
Равенство нулю справедливо для любого замкнутого контура.
• Силовое поле, обладающее свойством (9.2), называется потенциальным.
Силовые линии такого поля не могут быть замкнутыми, они начинаются и кончаются на зарядах или же уходят в бесконечность.
• Свойство (9.2) – только для электростатических полей.
Если поле нестационарно, т.е. E меняется со временем (как, например, в случае поля дви-
H
жущегося заряда), то Edr ≠ 0.
9.2Потенциальная энергия заряда
• В потенциальном поле тела обладают потенциальной энергией.
Работа консервативных (=потенциальных) сил совершается за счет убыли потенциальной энергии.
• Следовательно, работу A12 можно представить как разность потенциальных энергий заряда q в начальной и конечной точках:
A12 = k |
− k |
≡ Eп(r1) − Eп(r2) |
(9.3) |
||
|
|
||||
r1 |
r2 |
• Eп(r) – потенциальная энергия заряда q, находящегося в поле заряда Q на расстоянии r от него:
Eп(r) = |
1 |
|
, |
|
Eп > 0 |
для одноименных зарядов, qQ > 0; |
(9.4) |
|
4πε0 |
|
r |
Eп < 0 |
для разноименных зарядов, qQ < 0. |
• Если поле создается системой N точечных зарядов Q1, Q2, . . . , QN , то потенциальная энергия заряда q, находящегося в этом поле, равна сумме потенциальных энергий, создаваемых каждым из зарядов в отдельности:
Eп = |
n |
Eп = kq |
n |
Qj |
, |
(9.5) |
|
|
|||||
|
=1 |
|
=1 |
rj |
|
|
|
Xj |
|
Xj |
|
где rj – расстояние между зарядями Qj и q.
9.3Потенциал электростатического поля. Разность потенциалов
• Отношение Eп/q не зависит от величины пробного заряда q (см. §9.2) и является, поэтому,
энергетической характеристикой поля, называемой потенциалом:
φ = Eп q
А.В. Король. "Электричество и магнетизм". Лекция 9 |
65 |
Физический смысл: Потенциал φ в какой-л. точке электростатического поля – скалярная физическая величина, равная потенциальной энергией единичного положительного заряда (q = 1 Кл), помещенного в эту точку.
•Единица измерения потенциала – Вольт. 1 В = потенциалу такой точки, в которой заряд 1 Кл обладает потенциальной энергией 1 Дж. = В = Дж/Кл.
•Разность потенциалов. Работа, совершаемая силами произвольного электростатического поля при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2, может быть представлена как
A12 = Eп1 − Eп2 = q(φ1 − φ2) |
(9.6) |
где φ1, φ2 - потенциалы в точках 1 и 2, соответственно.
Разность потенциалов φ1 − φ2 в электростатическом поле определяется работой, совершаемой при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2
φ1 − φ2 = |
A12 |
(9.7) |
q |
Поскольку
Z 2 Z 2
A12 = F dr = q E dr
11
то |
|
|
|
φ1 − φ2 = Z1 |
2 |
E dr |
(9.8) |
где интегрирование производится вдоль любой линии, соединяющей точки 1 и 2.
В частности, для однородного электрического поля E = const уравнение (9.8) связывает разность потенциалов с перемещением ∆r = r2 − r1. Действительно,
φ1 − φ2 = Z 2 |
E dr = E Z 2 dr = E∆r . |
(9.9) |
||||
1 |
| |
1 |
{z |
|
} |
|
|
|
|
|
|||
|
|
=∆r |
|
Как и для потенциальной энергии, физический смысл имеет не само значение потенциала, а разность потенциалов. Поэтому для любого электростатического поля всегда можно выбрать точку в пространстве, где потенциал полагается равным нулю (т.н. "нулевой уровень"). Если перемещать заряд q из произвольной точки, характеризуемую радиус-вектором r, в точку нулевой уровня, то работа сил электростатического поля A0 = qφ(r), откуда
φ(r) = Aq0 .
• Потенциал поля произвольного точечного заряда Q равен: |
|
||||
|
φ = k |
Q |
|
|
(9.10) |
|
r |
||||
|
|
|
А.В. Король. "Электричество и магнетизм". Лекция 9 |
66 |
• Электронвольт.
Удобной единицей измерения энергии оказывается количество энергии, сообщаемой электрону1 в электрическом поле с разностью потенциалов 1 В. Действующее на частицу электрическое поле увеличивает ее кинетическую Eк энергию на величину, называемую электронвольтом (сокращённо, эВ):
∆Eк = −∆Eп = 1.6 × 10−19 Кл (1 В) = 1.6 × 10−19 Дж = 1 эВ .
Производными, часто используемыми единицами являются: килоэлектронвольт, 1кэВ = 103 эВ; мегаэлектронвольт, 1МэВ = 106 эВ; гигаэлектронвольт, 1ГэВ = 109 эВ.
• Принцип суперпозиции для потенциала.
Если поле создается несколькими зарядами, то потенциал данного поля равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов.
В частности, для системы N точечных зарядов, получаем
X |
|
Xj |
|
||
φ = N |
φj = k |
N |
qj |
, |
(9.11) |
j=1 |
|
=1 |
rj |
|
|
|
|
|
|
где rj – расстояние между зарядом qj и точкой наблюдения.
Если заряд распределен непрерывно по некоторому объёму V , или по поверхности S, или по нити L, то принцип суперпозиции позволяет найти потенциал φ электростатического поля распределенного заряда путем соответствующего интегрирования:
|
ρ dV |
|
|
σ dS |
|
λ dl |
|
|
φ = k ZV |
|
или |
φ = k ZS |
|
или |
φ = k ZL |
|
(9.12) |
r |
r |
r |
где ρ, σ, λ – соответствующие плотности зарядов, r – расстояние от элементов dV , dS, dl до точки, в которой определяется потенциал..
9.4Связь напряженности и потенциала
В курсе "Механика" было установлено, что между консервативной (потенциальной) силой F (векторная величина), приложенной к телу в данной точке пространства, её потенциальной энергией Eп (скалярная величина) существует следующая связь:
|
∂E |
∂E |
∂E |
|
|||
F = −grad Eп = − |
п |
i + |
п |
j + |
п |
k . |
(9.13) |
∂x |
∂y |
∂z |
т.о., сила есть взятый с обратным знаком градиент (обозначается как grad) потенциальной энергии.2 Для обозначения операции "взятия (вычисления) градиента" применяется также
запись с использованием векторного оператора ("набла"):
|
где |
|
∂ |
∂ |
∂ |
(9.14) |
|||
grad Eп ≡ Eп, |
= |
∂x |
i + |
∂y |
j + |
∂z |
k . |
1В общем случае, любой частице заряд которой равен по модулю элементарному заряду, e = 1.6 × 10−19
Кл
2Градиент – вектор, направленный в сторону наибольшего возрастания той функции f , к которой он применяется. Величина градиента, |gradf |, показывает быстроту изменения f в данном направлении.
А.В. Король. "Электричество и магнетизм". Лекция 9 |
67 |
Оператор указывает на применение дифференциальной операции (вычисление частных
производных) к функции, которая стоит справа от него.
В электрическом поле F = qE и Eп = qφ. Используя эти соотношения в (9.13), устанавливаем связь между вектором напряженности E электрического поля в данной точке пространства и потенциалом φ в той же точке:
|
(9.15) |
E = −grad φ = − φ. |
Вектор grad φ направлен в сторону наибольшего возрастания потенциала φ. Поэтому, первое равенство в (9.15) явно указывает, что для любого электростатического поля векторы E и grad φ противонаправлены.
В более развернутой форме векторное уравнение записывается в виде трёх уравнений для
декартовых компонент Ex,y,z вектора напряженности: |
|
||||||||
Ex = − |
∂φ |
|
Ey = − |
∂φ |
|
Ez = − |
∂φ |
(9.16) |
|
|
, |
|
, |
|
. |
||||
∂x |
∂y |
∂z |
Используя эти соотношения можно найти E, зная φ, и/или наоборот. Рассмотрим два примера.
1.Потенциал однородного электрического поля.
E = const = компоненты Ex,y,z - тоже постоянные. Тогда, из (9.16) следует
φ = − Exx + Eyy + Ezz , = φ = −E · r + C |
(9.17) |
где r = xi + yj + zk, а C = const обозначает произвольную постоянную.
2.Потенциал поля точечного заряда.
Исходя из выражения (9.10) для потенциала точечного заряда (будем его обозначать че-
рез q) найти вектор напряженности E, используя (9.15). Вычислим производную ∂φ/∂x. p
Учитывая, что r = x2 + y2 + z2, получаем:
∂φ |
|
∂ 1 |
= −kq |
1 ∂r |
= −kq |
x |
|||||
|
= kq |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
∂x |
∂x r |
r2 |
∂x |
r3 |
Вычисления ∂φ/∂y и ∂φ/∂z проводятся аналогично. В результате находим:
E = kq |
x i + y j + z k |
= kq |
r |
, |
|
|
|||
r3 |
r3 |
|||
как и д.б. |
|
|
|
|
А.В. Король. "Электричество и магнетизм". Лекция 9 |
68 |
9.5Эквипотенциальные поверхности
Для графического изображения распределения потенциала используются эквипотенциальные поверхности, – поверхности, во всех точках которых потенциал φ одинаков.
Эквипотенциальные поверхности обычно проводят так, чтобы разности потенциалов между двумя соседними поверхностями были одинаковы. В этом случае, густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках: там, где эти поверхности расположены гуще, |E| больше.
На рисунке пунктиром изображены силовые линии, а сплошными линиями – эквипотенциальных поверхностей для: (а) положительного точечного заряда, (б) диполя, (в) 2-х одноименных зарядов, (г) заряженного проводника сложной конфигурации.
Пример: Эквипотенциальные поверхности поля точечного заряда φ = kq/r. |
|
||||
Из условия φ = const следует, что r = const. Таким обра- |
|
|
|
|
|
зом, для точечного заряда эквипотенциальными поверхно- |
|
|
|
|
|
стями являются концентрические сферы с цетром на заряде, |
|
|
|
|
|
а линии напряженности – радиальные лучи, которые перпен- |
|
|
|
|
|
дикулярны поверхностям. |
φ |
|
|
|
|
4 |
φ |
|
|
|
|
На рисунке справа изображены силовые линии и эквипо- |
|
φ |
|
|
|
|
3 |
|
|
||
тенциальные поверхности электростатического поля положи- |
|
|
2 φ |
+ |
В |
|
|
1 |
|||
|
|
|
|||
тельного заряда, q > 0. Величина потенциала падает с ростом |
|
|
|
|
|
расстояния от заряда, φ 1/r. Поэтому, потенциалы че- |
|
|
|
|
|
тырех изображенных эквипотенциальных поверхностей, удо- |
|
|
|
|
|
влетворяют соотношениям. |
|
|
|
|
|
φ1 > φ2 > φ3 > φ4. |
|
|
|
|
|
случае отрицательного заряда, q < 0, направление силовых линий меняется на противопо- |
|||||
ложное, а в соотношении потенциалов, написанном выше, знаки »" меняются на «". |
|
Можно показать, что для произвольного электростатического поля:
(a)вектор E эквипотенциальным поверхностям;
(b)вектор E направлен в сторону убывания потенциала.
А.В. Король. "Электричество и магнетизм". Лекция 9 |
69 |
9.6Примеры вычисления потенциалов
9.6.1Потенциал поля равномерно заряженной бесконечной плоскости
В §8.9.1 показано, что по обе стороны от плоскости3 электрическое поле однородно, и его силовые линии направлены перпедикулярно плоскости, но в противоположные стороны в полу-пространствах слева и справа от неё, см. рисунок.
Выбирая ось x перпедикулярно плоскости и её начало – на |
+σ |
|
||||
плоскости, записываем вектор E в виде, получаем |
|
|
||||
|
|
|
||||
E = E i |
× |
−1, |
x < 0 |
(9.18) |
|
|
|
+1, |
x > 0 |
|
0 |
X |
|
где E = σ/2ε0, см. ур-ие (8.8). Если σ > 0, то силовые |
|
|
||||
линии направлены от плоскости (как на рисунке), а если |
φ3 < φ2 < φ1 < φ0 > φ1 > φ2 > φ3 |
|
||||
σ < 0, то к плоскости. |
|
|
|
|
Потенциал однородного поля определяется выражением (9.17). Выбирая C так, чтобы потенциал был равен нулю при x = 0, получаем
φ(x) = |
− |
Ex |
× |
−1, |
x < 0 |
= |
− |
E x |
. |
(9.19) |
|
|
+1, |
x > 0 |
|
| | |
|
|
где |x| расстояние до плоскости. Таким образом, по обе стороны положительно-заряженной плоскости её потенциал – отрицателен, и он линейно спадает с расстоянием до неё. Для отрицательно-заряженной плоскости −E > 0, поэтому φ = |E||x| > 0. В обоих случаях, эквипотенциальные поверхности – плоскости, параллельные заряженной.
9.6.2Поле 2х бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей.
Пусть имеется две параллельных плоскости, которые заряжены равномерно разноименными зарядами с поверхностными плотностями +σ (> 0) и −σ (< 0), находящиеся на расстоянии l друг от друга.
Векторы напряженности E+ и E− равны по модулю |E±| = σ/2ϵ0 (см. (8.8)) и всюду направлены плоскостям. В соответсвие с принципом суперпозиции напряженность поля, созданного обеими плоскостями, есть E = E+ + E−.
В пространстве вне плоскостей, области I и III, поля противонаправлены E+ = −E−, так что E = 0.
I |
II |
|
III |
+σ |
|
|
-σ |
E+=-E- |
E+=E- |
|
E+=-E- |
E- |
E- |
|
E- |
E=0 |
E=2E+ |
E=0 |
|
|
O |
|
X |
|
L/2 |
L/2 |
|
В пространстве же между плоскостями, область II, E+ = E− и суммарная напряженность E = 2E+. Её величина равна
E = |
σ |
. |
(9.20) |
|
|||
|
ϵ0 |
|
Для определения потенциала используем уравнение (9.17) . Выбирая нулевое значение вдоль оси x посередине между плоскостями, и определяя постоянную C так, чтобы потенциал
3"Бесконечная плоскость" – это абстракция, которой можно пользоваться в реальности, если поперечные размеры плоского объекта, - пластины, намного превышают расстояния до неё от точки наблюдения.
А.В. Король. "Электричество и магнетизм". Лекция 9 |
70 |
|
||||||||||||||||
был равен нулю при x = l/2 (т.е. на отрицательно-заряженной плоскости, получаем: |
||||||||||||||||||
|
8 |
|
σ |
|
|
|
для x < − |
l |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ϵ0 |
l |
|
|
2 |
|
|
l |
|
|
|||||||
|
> |
|
σ |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|||||
φ = |
> |
|
|
|
|
|
x |
для |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
> |
|
ϵ0 |
2 |
− |
|
|
− 2 ≤ |
|
≤ 2 |
(9.21) |
||||||||
|
> |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
для x > 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
> |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>
>
>
>
>
:
Зависимости E(x) и φ(x) приведены на графиках:
E |
|
σ/ε0 |
σL/ε0 |
|
-L/2 |
L/2 |
X |
-L/2 |
L/2 |
Реальным объектом, приближенный к системе из 2-х параллельных "бесконечных" плоскостей, можнет считаться плоский конденсатор. Он включает в себя две параллельные тонкие металлические пластины, расположенные на расстоянии много меньшем их поперечных размеров. Электрическое поле сосредоточено, в основном, в пространстве между пластинами, и его напряженность и потенциал определяются соотношениями (9.20) и (9.21).
9.6.3 Потенциал поля равномерно заряженной сферы |
|
|
|
|
||||
Пусть сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом q > 0 заряжена равномерно с |
||||||||
поверхностной плотностью σ = q/4πR2. |
|
|
|
|
|
|||
Вне заряженной сферы напряженность E поля совпадает с та- |
E |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||
кое же как поле точечного заряда q, находящегося в центре |
kq/R2 |
|
|
|
||||
сферы, а внутри сферы E = 0, см. §8.9.2. |
|
|
|
|
||||
Поэтому, вне сферы, r > R, потенциал φ(r) определяется выра- |
|
|
|
|
||||
жением (9.10) для потенциала точечного заряда. Внутри заря- |
|
|
|
|
||||
женной сферы потенциал постоянен и равен значению потенци- |
0 |
R |
2R |
3R |
||||
φ |
|
|
|
|||||
ала на поверхности φ(R): |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
φ(r) = 8 |
k q |
|
|
|
kq/R |
|
|
|
если r |
≥ |
R |
|
|
|
|
||
r |
|
(9.22) |
|
|
|
|
||
q |
если r |
|
|
|
|
|||
< k R = const |
|
R |
|
|
|
|
||
: |
|
|
≤ |
|
0 |
R |
2R |
3R |
9.6.4Потенциал поля равномерно заряженного шара
См. материал Практического Занятия к Лекции.
9.6.5Потенциал поля равномерно заряженной нити
См. материал Практического Занятия к Лекции.
Литература: Т. И. Трофимова. "Курс Физики’, §§ 83-84.