LEKTsIYa_2
.pdfЛЕКЦИЯ № 2.
1.6.Энергетические характеристики случайных процессов.
1)Корреляционная функция стационарного СП.
Пусть (t) - стационарный СП |
с математическим ожиданием (средним |
|||||
значением) M { (t)} m |
x |
и дисперсией M{ (t) m }2 |
2 . Тогда корреляционная |
|||
|
|
|
|
x |
x |
|
и ковариационная функция определяются следующим образом: |
||||||
Rx ( ) M{ (t) (t ), |
|
|
(1.15) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Bx ( ) M{( (t) mx )( (t ) mx )} Rx ( ) mx2 . |
||||||
Значение ковариационной функции при 0 равно дисперсии сигнала: |
||||||
|
|
2 |
B (0) R (0) m2 , |
(1.16) |
||
|
|
x |
x |
x |
x |
|
где Rx (0) M{ (t)}2 m2x . Выражение (1.16) выполняется для стационарных в широком смысле случайных процессов.
Свойства корреляционной и ковариационной функции.
а) Rx ( ) Rx ( ), Bx ( ) Bx ( ) , т.е. функции являются четными.
|
|
|
|
|
|||||
б) |
Rx ( ) |
Rx (0), |
Bx ( ) |
Bx (0) , т.е. функции принимают максимальное значение |
|||||
при 0 . |
|
|
|
|
|
|
|||
в) |
Отношение |
x |
( ) |
Bx |
( ) |
называют нормированной корреляционной |
|||
Bx |
(0) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
функцией. Она обладает следующими свойствами:
x (0) 1, x ( ) 0, x ( ) x ( ),
Rx ( )
x2 mx2
mx2
x ( ) 1
Bx ( )
x2
|
0 |
|
0 |
|
Для стационарного СП всегда можно указать такое |
0 , |
при котором |
||
величины (t) |
и (t ) |
для любого t |
будут |
практически |
некоррелированными, т.е. при 0 |
|
x ( ) 0.05 . Величина |
0 |
называется |
||
интервалом корреляции и определяется следующим образом: |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
0 |
|
x ( ) |
|
d . |
|
(1.17) |
|
|
|
|
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
2) Взаимная корреляционная и ковариационная функция стационарно связанных случайных процессов.
Два стационарных случайных процесса (t) и (t) стационарно связаны в широком смысле, если взаимная корреляционная и ковариационная функция зависит только от временного сдвига :
|
|
|
|
M{ (t) (t )} Rxy ( ), |
(1.18) |
||||||
|
|
|
|
M{( (t) mx )( (t ) my )} Bxy ( ) |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Свойства функций Rxy ( ), Bxy ( ) . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
Rxy ( ) Ryx ( ), Rxy ( ) Rxy ( ), Bxy ( ) Byx ( ), Bxy ( ) Bxy ( ) , т.е. функции не |
|||||||||
являются четными. |
|
||||||||||
б) |
|
Rxy ( ) |
|
Rx (0)Ry (0), |
|
Bxy ( ) |
|
Bx (0)By (0) . |
|
||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) Нормированная взаимная корреляционная функция задается выражением
xy |
( ) |
|
Bxy |
( ) |
|
. |
|
|
|
|
|
||||
Bx (0)By (0) |
|||||||
|
|
|
|
|
3) Спектральный анализ случайных процессов.
Для детерминированных сигналов успешно применяется гармонический анализ: ряды Фурье для периодических функций, интеграл Фурье для апериодических сигналов. Пусть - детерминированный непериодический сигнал. Тогда он связан со своим комплексным спектром парой преобразований Фурье:
|
1 |
|
|
x(t) |
S ( j )e j t d , |
||
2 |
|||
|
|
||
|
|
S ( j ) x(t)e j t dt
|
|
|
|
||||
где j |
1 - мнимая единица. Условие существования спектра: |
|
|
x(t) |
|
dt . |
|
|
|
|
|
|
Непосредственное применение гармонического анализа для СП невозможно,
т.к. x(k ) (t) dt и, следовательно, амплитудный спектр такой реализации не
существует (не ограничен) при любых частотах. Поэтому, для случайных процессов введена спектральная плотность мощности (СПМ) Gx ( ) .
Рассмотрим усеченную реализацию |
x( k ) (t) СП (t) : |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
(k ) |
|
|
|
|
|
|
T |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x |
|
|
|
|
(t), |
t |
|
, |
||||
(k ) |
|
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
xT |
(t) |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
t |
|
|
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда преобразование Фурье финитной (конечной) функции имеет вид:
T
2
ST(k ) ( j ) xT(k ) (t)e j t dt .
T2
Энергию рассматриваемого отрезка реализации можно вычислить с помощью равенства Парсеваля:
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E(k ) |
2 |
|
(x(k ) (t))2 dt |
1 |
|
S (k ) ( j ) |
|
2 d . |
|||
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
||||||||
T |
|
T |
|
T |
|
|
|||||
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Разделив эту энергию на длительность реализации T , получим среднюю
мощность k - ой реализации на отрезке [ |
T |
; |
T |
] : |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
||||||
P(k ) |
E(k ) |
1 |
|
|
ST(k ) ( j ) |
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
||||||||||||
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
T |
T |
2 |
|
T |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При увеличении T энергия реализации ET( k )
P ( k ) |
стремится к некоторому пределу. Тогда |
|||||||||||||
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(k ) |
1 |
|
|
ST(k ) ( j ) |
|
2 |
d |
1 |
|||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
T |
2 |
T |
|
T |
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Gx ( ) lim |
|
ST(k ) ( j ) |
|
2 |
. |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
тоже увеличивается, но величина
Gx ( )d , где
(1.19)
Формула (1.19) – спектральная плотность мощности СП, показывает, как распределена мощность процесса по частоте. Это так называемый двусторонний (математический) спектр, он содержит как положительные, так и отрицательные частоты. СПМ – функция действительная, четная:
Gx ( ) Gx ( ) .
Односторонний (физический) спектр определяется следующим образом:
Fx ( ) 2Gx ( ) .
Gx ( ) |
Fx ( ) |
|
|
0 |
0 |
Размерность СПМ: Вт/Гц.
4) Теорема Винера - Хинчина.
Данная теорема утверждает, что ковариационная функция Bx ( ) и
спектральная плотность мощности СП Gx ( ) связаны парой преобразований Фурье:
|
|
|
|
Gx ( ) Bx ( )e j d , |
|||
|
|
(1.20) |
|
|
|
||
Bx ( ) |
1 |
Gx ( )e j d . |
|
2 |
|||
|
|
||
|
|
|
Из теоремы следует, что чем шире СПМ случайного процесса, тем меньше интервал корреляции 0 и соответственно, чем больше интервал
корреляции, тем уже спектр.
1.7.Классификация случайных процессов по ширине спектра.
1.Узкополосные случайные процессы.
Стационарный в широком смысле СП (t) называется узкополосным, если
его спектральная плотность мощности Gx ( ) или |
Fx ( ) сосредоточена в |
относительно узкой полосе частот около некоторой фиксированной частоты0 . Или СП узкополосный, если 0 , где - ширина спектра.
Пусть имеется односторонний спектр Fx ( ) , Fmax - его максимальное значение. Тогда случайный процесс (t) можно заменить другим СП, у которого СПМ постоянна и равна Fmax в пределах полосы , выбираемых из условия
равенства средних мощностей обоих результате получим:
1 F ( )d .
Fmax 0 x
процессов: Fmax Fx ( )d . В
0
(1.21)
Формула (1.21) - эффективная ширина спектра случайного процесса.
Gx ( ) Вт/Гц |
Fx ( ) Fmax |
|
Вт/Гц |
рад/с |
|
рад/с |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Ковариационная (корреляционная) функция узкополосного СП представляет собой осциллирующую функция с медленно меняющейся огибающей.
Например,
Bx ( ) B0e 2 cos( 0 )
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
-1 |
-10 |
-5 |
0 |
5 |
10 |
15 |
-15 |
График построен при следующих данных: 0 0.4 103 ( рад / с), 2.5 104 (1/с2 ), B0 1(Вт) .
2. Белый шум.
Белый шум (Б.Ш.) – предельно широкополосный случайный процесс. СПМ его сохраняет постоянное значение на всех частотах.
G |
( ) |
N0 |
Вт/Гц |
F ( ) N |
|
Вт/Гц |
|
0 |
|||||
x |
2 |
|
x |
|
||
|
|
|
|
|
0 |
рад/с 0 |
рад/с |
Ковариационная функция белого шума представляет собой дельта функцию.
Это значит, что значения Б.Ш., отстоящие друг от друга на сколь угодно малый интервал времени, некоррелированы.
По теореме Винера-Хинчина (1.20) имеем : Bx ( ) |
1 |
||
2 |
|||
|
|
||
, 0, |
-дельта функция. Тогда x2 Bx (0) . |
|
|
( ) |
|
0, 0.
Bx ( ) , Вт
N 0
2
0 |
,с |
N |
0 |
|
j |
|
N |
0 |
|
|
|
|
e |
d |
|
( ) , где |
|||
2 |
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Белый шум – удобная математическая модель. Многие широкополосные реально существующие случайные процессы можно заменить Б.Ш., если в рассматриваемой задаче существенным является ограниченная полоса частот:
K( j ) 2 - квадрат АЧХ устройства
Fx ( ) -СПМ процесса
N 0
0 |
|
1.8.Основные модели случайных процессов.
1)Детерминированный процесс (t) – процесс, множество реализаций
которого состоит из одной, появляющейся с вероятностью 1. Полное описание детерминированного процесса – функция s(t) . Его можно рассматривать как вырожденный СП с функцией распределения F1 (x, t) U (x s(t)) , где U ( ) - единичный скачок при x s(t) . Среднее значение и дисперсия равны соответственно mx (t) s(t), x2 0 .
2) Квазидетерминированный случайный процесс представляется совокупностью функций времени s(t, ) , зависящих от случайного параметра, в общем случае векторного. Пример: s(t, a, ) a sin( t ) , где - известная
круговая |
частота, |
a, - случайная |
амплитуда |
и фаза колебания. Если |
начальная случайная фаза распределена равномерно в интервале ; , то |
||||
процесс |
является |
стационарным |
в узком |
смысле. При a const он |
эргодический. |
|
|
|
3) Марковские СП – процессы без последействия, т.е
P{ (tn ) xn / x1 ,...., xn 1 , t1 ,..., tn 1} P{ (tn ) xn / xn 1 , tn 1} ,
где P{ / } - условная вероятность. Это значит, что будущее состояние xn и прошлые состояния x1 ,...., xn 2 при фиксированном xn 1 независимы. Многомерная плотность распределения вероятности в этом случае факторизуется следующим образом:
wn (x1 ,..., xn , t1 ,...tn ) w(x1 , t1 ) w(x2 , t2 / x1 , t1 ) .... w(xn , tn / xn 1 , tn 1 ) , |
(1.22) |
w( / ) - условная плотность распределения вероятности. Формула (1.22) описывает односвязный марковский процесс. Аналогично определяется двух, трех и т.д. связный СП.
4) Гауссовские случайные процессы. СП (t) называется гауссовским (нормальным), если совместная плотность распределения вероятности любой конечной совокупности величин (ti ), i 1,2,..... нормальная, т.е.
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
( X |
|
x )T Bx 1 ( X |
|
x ) |
|
|
wn (x1,..., xn ,t1,...,tn ) |
|
|
|
|
m |
m |
|
||||||
|
|
|
|
e |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
, |
(1.23) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
(2 )n det B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где X x1 |
xn T , mx mx (t1 ) |
mx (tn ) T - |
|
вектор средних значений, «Т» - |
||||||||||
операция |
транспонирования, |
Bx - |
ковариационная матрица с |
элементами |
B (t |
, t |
), i 1,2,...n, j 1,2, , , , n , |
det B |
x |
- определитель матрицы B |
x |
, |
B 1 - матрица |
||
x i |
j |
|
|
|
|
|
|
x |
||
обратная |
матрице |
Bx . |
Для |
|
стационарного СП в выражении (1.23) |
|||||
mx mx |
mx T n 1 , |
элементы |
|
ковариационной матрицы |
|
определяются |
значениями Bx (ti t j ), i 1,2, , , n, j 1,2,...n .
Для гауссовского СП из стационарности в широком смысле следует стационарность в узком смысле.
Одномерная плотность распределения стационарного гауссовского процесса имеет вид:
|
|
1 |
|
|
( x mx )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
w(x) |
|
|
|
e |
|
2 x |
. |
(1.24) |
|
|
|
|
|
||||
2 x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
0.7
0.6
0.5
0.4
w(x)
0.3
0.2
0.1
0 |
|
|
|
|
|
-10 |
-5 |
0 |
5 |
10 |
15 |
|
|
|
x |
|
|
Далее отметим несколько важных свойств гауссовского процесса.
1. Достаточным условием эргодичности стационарного гауссовского СП
является непрерывность его СПМ, т.е. ограниченность интеграла x ( ) d
0
.
2. Линейное преобразование гауссовского процесса дает гауссовский процесс.
3. Для гауссовского СП из независимости следует некоррелированность
и обратно: из некоррелированности следует независимость.
4. Если на вход узкополосной линейной системы подать СП с произвольным законом распределения вероятности, то на ее выходе будет гауссовский случайный процесс. Это явление называется эффектом нормализации.
В радиотехнике и связи гауссовский СП является адекватной математической моделью активных и пассивных помех, атмосферных и космических шумов, шумов в каналах с замиранием и многолучевым распространением сигналов. Флуктуационные шумы приемных устройств, обусловленные, например, тепловым движением электронов, также распределены по нормальному закону. Адекватность этой модели реальным помехам и сигналам объясняется во многих случаях действием центральной предельной теоремы теории вероятности (ЦПТ ТВ).
Домашнее задание. Самостоятельно изучить дискретные стационарные случайные процессы.