Так как последовательность на рис. 1.3 является четным сигналом, представление (1.28) можно рассматривать и как ряд Фурье в форме (1.16) с коэффициентами bk ≡ 0 , и как ряд Фурье в форме (1.19). В последнем случае

фазовый спектр ϕk «обеспечивает» соответствующие знаки перед гармониками разложения, поэтому принимают ϕ1 = 0,ϕ3 = −π,ϕ5 = −2π,ϕ7 = −3π,..., так что

Рис. 1.5. Меандр

В качестве упражнения читателю рекомендуется самостоятельно найти разложение в ряд Фурье для сигнала, изображенного на рис. 1.5. Такой сигнал также часто используется в различных радиотехнических приложениях и называется меандром.

Аналитически формирующий меандр sr(t) представительный

сигнал последовательности r(t) на интервале Т может быть записан так:

Легко видеть, что рассмотренная последовательность прямоугольных видеоимпульсов получается суммированием меандра с постоянной

11

составляющей U/2, которой обязан своим появлением в разложении (1.27) член

C0 =U / 2 .

Заметим, что значения коэффициентов разложения последовательности прямоугольных видеоимпульсов (при q = 2) и меандра убывают по закону 1/k.

Последовательность треугольных видеоимпульсов. Рассмотрим пе-

риодический сигнал, состоящий из треугольных видеоимпульсов (рис. 1.6). Аналитическое выражение для импульса последовательности:

Рис. 1.6. Последовательность треугольных видеоимпульсов Вновь обратившись к ряду Фурье в комплексной форме (1.21), выпишем

выражение для коэффициентов С. k :

После вычисления интегралов и несложных, но громоздких выкладок (которые читателю предлагается проделать самостоятельно), получим

Положивq — 1,чтобыдлительностьтреугольноговидеоимпульса(1.29)«по основанию» τ совпадала с периодом последовательности Т, получим выражение для коэффициентов ряда (1.21):

Обнаруживается связь между спектрами сигналов (1.24) и (1.29); но значения коэффициентов разложения последовательности треугольных

12

т. е. для нахождения функции, комплексно сопряженной исходной спектральной, достаточно поменять знак аргумента ω .

Спектральную функцию можно представить в показательной форме:

Здесь

.

S(ω) = A2 (ω) + B2 (ω) ≥ 0

есть амплитудная спектральная функция (часто, несмотря на неточность термина, говорят «амплитудный спектр»), а

.

ϕ(ω) = arg S. (ω) = arctg Im S. (ω) Re S(ω)

есть фазовая спектральная функция («фазовый спектр» или спектр начальных, т. е. соответствующих моменту времени t=0, фаз). Очевидно, что

функциями ω . Принимая это во внимание и подставляя (1.35) в (1.32), получим соотношение

иллюстрирующее «физический смысл» спектральной функции: сигнал s(t) представляется в виде суммы бесконечно большого числа гармонических

составляющих с бесконечно малыми амплитудами S. (ω) dπω , непрерывно

заполняющих интервал частот от 0 до ∞; начальные фазы этих составляющих заданы функцией ϕ(ω) , а частотная зависимость «плотности» бесконечно малых

.

амплитуд описывается функцией S(ω) . Второй интеграл в соот ношении (1.36)

поясняет смысл «отрицательных» частот, существование которых прямо предполагает выражение (1.32) (см. пределы интегрирования в упомянутой формуле): их появление связано с характером прямого и обратного преобразований Фурье как математических операций и физически нереально. Эти соображения полезно сравнить с результатами, полученными в §§ 1.2 и 1.3.

.

Размерность спектральной функции S(ω) есть размерность сигнала,

.

ответствует вещественный спектр S(ω) = S(ω) , который, в свою очередь, будет

14

являться четной функцией частоты ω ; тогда сигналу S(t) должен соответствовать спектр2πs(ω) . Именно «взаимозаменяемость» аргументов ω и t, входящих в ядро

exp(± jωt) , и подразумевают, говоря о симметрии пары интегральных

преобразований (1.31)и (1.32).Симметрия становитсяочевидной,если врассмот-

рение введены комплексные сигналы.

Связь спектра периодической последовательности и спектральной функции одиночного импульса. Сравнивая выражение (1.22) для ко-

эффициентов ряда Фурье в комплексной форме

.

1T

Сk = T ∫0 r(t)e− jkω1 dt

иформулу (1.31) прямого преобразования Фурье или спектральной

функции представительного импульса периодической последовательности r(t)

. ∞

R(ω) = ∫r(t)e− jkω1t dt,

−∞

устанавливаем простое и часто используемое соотношение

Преобразование Фурье некоторых сигналов

РассмотримпреобразованиеФурьенекоторыхчастоиспользуемыхмоделей видео- и радиосигналов.

Функция Дирака. Воспользуемся фильтрующим свойством δ -функции (1.11) и будем искать ее спектр:

−∞

Во всем частотном диапазоне модуль спектра δ -функции постоянен, фазовый спектр равен нулю.

Естественным является предположение о существовании представления δ(t) в виде обратного преобразования Фурье найденной спектральной функции

а также, в силу отмеченной в § 1.4 симметрии преобразования Фурье относительно переменных t и ω ,

Преобразование Фурье функции δ(t − t0 ) :

−∞

15

Рис. 1.7. Функция Дирака (а) и ее спектр (б) Амплитудный спектр сдвинутой во времени δ -функции не изменяется,

фазовый спектр приобретает дополнительное слагаемое −ωt0 . Принятое графическое обозначениеδ(t − t0 ) , ее амплитудный и фазовый спектры показаны

на рис. 1.7, а, б.

Прямоугольныйвидеоимпульс.Припрактическомвычисленииинтеграла

(1.31) пределы интегрирования определяются интервалом (интервалами)

существования отличных от нуля значений сигнала. Для сигнала (1.4)

2 2

Какиследовалиожидать,Фурье-преобразованиечетнойфункцииоказалось

.

вещественной функцией ω . Показательная форма S(ω) удобна для анализа и

графического построения. На рис. 1.8, а, б приведены графики модуля и фазы спектральной функции прямоугольного видеоимпульса. Здесь

координаты «нулей» модуля определяют при к = ±1, ±2, ... из уравнения ωT / 2 = kπ . Полезно сравнить полученный результат и ряд Фурье последовательности прямоугольных импульсов, рассмотренный в § 1.3.

Фазовый спектр ϕ(ω) в рассматриваемом случае своеобразен: мнимая часть спектральной функции тождественно равна нулю, но

Рис. 1.8. Амплитудный (а) и фазовый (б) спектры прямоугольного видеоимпульса

16

именно exp jϕ(ω) является множителем, который при записи в форме (1.42)

.

отражает знакопеременный характер вещественной функцииS(ω) . Поэтому принимают:

•для интервала частот ω [− 4π / T,−2π / T ]: ϕ(ω) = π ;

•для интервала частотω [− 2π / T,2π / T ]: ϕ(ω) = 0 ;

•для интервала частот ω [2π / T,4π / T ]: ϕ(ω) = −π и т. д.

Прямоугольный радиоимпульс (радиосигнал). Для радиосигнала (1.15)

получим

График модуля выражения (1.43) приведен на рис. 1.9. Оказывается, что умножение видеоимпульса на гармоническую функцию

cosω0t в спектральной области приводит к смещению спектра ви-

деоимпульса влево и вправо по оси частот на величину ±ω0 .

Назовем спектральную функцию (1.42) спектром огибающей, введем обозначение

2

и используем его, переписав выражение (1.43) в виде

подчеркивающем найденную нами связь спектров радиосигнала и его огибающей.

Замечание 1

Поведение спектральной функции (1.43) на всей частотной оси ω (−∞, ∞) определяют оба слагаемых в фигурных скобках, хотя в окрестностях частот ±ω0

17

частоты заполнения ω0 и длительности сигнала Т. Так, чем больше значение ω0

.

при фиксированном Т, тем незначительнее влияние компоненты SU = (ω +ω0 ) на

поведение спектральной функции (1.43) в области положительных частот и т. д.

Эффективная ширина и максимальная (граничная) частота спек-

тральной функции. Амплитудные спектры рассмотренных видео- и радиоимпульсного финитных сигналов оказываются бесконечно широкими, хотя и убывают с ростом ω . В связи с этим обычно ставят вопрос о «практической»,

эффективнойширинеспектрасигнала.Критериидляопределенияэтойвеличины могут быть различными. При «лепестковой» структуре амплитудного спектра, как в рассмотренных случаях, за эффективную иногда принимают ширину «главного» лепестка спектра. При этом становится актуальным уже затрагивавшийся вопрос о физической реальности отрицательных частот: так, за эффективную ширину амплитудного спектра прямоугольного видеоимпульса принимают интервал и

∆ωэфv = 2π / T.

Используя аналогичный критерий, интервал ω [ω0 − 2π / T,ω0 + 2π / T ]

принимают за эффективную ширину амплитудного спектра соответствующего прямоугольного радиоимпульса. Эта величина оказывается в два раза больше,

∆ωэфr ≈ 2 ∆ωэфv = 4π / T.

Длительность сигнала и эффективная ширина его спектра связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем короче сигнал, тем шире его спектр. Это общее, справедливое для сигналов любой формы положение обычно фиксируют эвристически, анализируя конкретные сигналы.

С эффективной шириной спектра тесно связано понятие максимальной

(граничной) частоты спектральной функции. Спектр видеосигнала всегда концентрируется в области нулевой и низких частот {«низкочастотный спектр»), его максимальная частота совпадает (при использовании единого критерия) со значением ∆ωэфv ,

ωmax v = ∆ωэфv.

Максимальная частота спектра соответствующего радиосигнала,

концентрирующегося в области несущей частоты ω0 {«полосовой спектр»), как

легко видеть изрис. 1.9,связана с эффективной шириной спектра соотношениями Экспоненциальный импульс. Гладкой функцией частоты оказывается

спектральная функция сигнала (1.3)

(1.46)

Амплитудный спектр экспоненциального импульса бесконечно широк. Читателю предлагается самостоятельно построить графики амплитудного и фазового спектров сигнала (1.3) и рассчитать его базу. В качестве критерия для

18

При а < О аналогичным образом получим

Объединение обоих случаев дает формулу

Сжатию (растяжению) сигнала во времени отвечает растяжение (сжатие) спектральной функции по оси частот.

Дифференцирование сигнала (спектральная функция производной)

.

Пусть сигналу g(t) соответствует спектральная функцияG(ω) . Будем искать

спектральную функцию сигнала s(t) = dg/dt. Воспользуемся определением производной

и применим преобразование Фурье непосредственно к выражении для предела, принимая во внимание теоремы о сумме сигналов и о сдвиге сигнала во времени:

частотной области. При дифференцировании происходит относительный подъем амплитудного спектра сигнала в области верхних частот.

Интегрирование сигнала (спектральная функция интеграла). Пусть сигнал представлен в виде интеграла с переменным верхним пределом:

t

s(t) = ∫ f (t)dt.

−∞

Исходя из (1.50), формально запишем

(сигналы с «нулевой площадью»).

Замечание

В [3] показано, что если условие (1.52) не выполняется, то спектральную функцию сигнала s(t) следует записывать в виде