Tipovoy_raschet_variant_15_ryady_bntu
.docxКонтрольная работа №10.
Вариант 15.
Задание 1. Исследовать данные ряды на сходимость:
Решение:
а)
Воспользуемся признаком сравнения в предельной форме:
Воспользуемся признаком Даламбера. Здесь
Вычислим предел:
Согласно признака Даламбера ряд расходится.
Для ответа на вопрос о сходимости ряда применим радикальный признак Коши
Вычислим предел:
Воспользуемся признаком сравнения в предельной форме:
Ответ: а) ряд сходится; б)ряд расходится; в) ряд сходится; г) ряд сходится;
Задание 2. Найти область сходимости ряда:
Решение: Воспользуемся признаком Даламбера
Выпишем
Воспользуемся признаком Д’Aламбера:
Исследуем данный ряд на концах интервала сходимости:
Применим признак Лейбница:
Проверим необходимое условие сходимости:
Областью сходимости является
Ответ: область сходимости
Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно:
Решение: запишем разложение
Для получения заданной точности нужно первые три члена, поскольку
Ответ:
Задание 4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию:
Решение:
Для представления решения в виде ряда Маклорена необходимо найти первые три отличные от нуля значения . По условию задачи y(0)=0 Выразим из уравнения :
Найдем , продифференцировав обе части равенства по :
Окончательно получим:
Ответ:
Задание 5. Разложить функцию в ряд Фурье по косинусам в интервале ( ; )
Решение: Ряд Фурье будет по косинусам функции f(x) периода T=2 , непрерывной или имеющей конечное число точек разрывов первого рода отрезке (0; ), имеет вид:
Вычисляем коэффициенты:
Тогда разложение имеет вид:
Ответ:
Задание 6. Определить, является ли функция решением дифференциального уравнения в частных производных
Решение:
Вычислим частные производные по х и по у:
Подставим данные значения в дифференциальное равенство: