![](/user_photo/_userpic.png)
- •Методические указания и контрольные задания
- •Характеристика задания
- •Решение типового варианта задания
- •1. Числовые ряды
- •2. Положительные ряды
- •3. Знакочередующиеся ряды
- •4. Функциональные и степенные ряды
- •5. Ряды Маклорена и их приложения
- •6. Ряды Фурье
- •7. Применение рядов Фурье
- •Задания к типовому расчёту № 6 по теме «ряды»
- •Библиографический список литературы
- •Оглавление
- •394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
6. Ряды Фурье
Другим
важным классом функциональных рядов
являются ряды Фурье. Пусть
произвольное
фиксированное положительное число.
Каждой функции
,
интегрируемой на отрезке
,
можно поставить в соответствие
тригонометрический ряд вида
,
(26)
коэффициенты
которого
вычисляются по формулам
,
,
,
(27)
Такой
тригонометрический ряд называется
рядом Фурье функции
,
а коэффициенты
коэффициентами Фурье этой функции.
Ответ на вопрос о сходимости ряда Фурье даёт следующая теорема.
Теорема.
Пусть функция
кусочно-дифференцируема на отрезке
.
Тогда ряд Фурье функции
в каждой точке
сходится и его сумма равна
В
частности, в точках непрерывности
функции
её ряд Фурье сходится к значению функции
в этой точке. В точках
и
ряд также сходится и имеет своей суммой
число
Таким
образом, во всех точках
,
в которых функция непрерывна, справедливо
равенство
Отметим
ещё, что сумма
ряда Фурье кусочно-дифференцируемой
на отрезке
функции
является
периодической
функцией, определенной на всей вещественной
оси.
Для четных и нечетных функций коэффициенты ряда Фурье имеют специальный вид.
Для
четных функций коэффициенты
а коэффициенты
могут быть вычислены по формулам
,
(28)
Для
нечетных функций
,
а
коэффициенты
могут быть найдены по формулам
,
.
(29)
Пример
17. Разложить в ряд Фурье функцию
на отрезке
.
Так
как функция
нечетная, то воспользуемся формулами
(29) при
.
Получаем:
,
,
.
Подставив
найденные коэффициенты Фурье в формулу
(26), получим ряд Фурье для функции
:
.
Функция
непрерывна и кусочно-дифференцируема
на отрезке
,
и в силу приведенной теоремы при
справедливо равенство
.
В
точках
сумма ряда равна 0, т.е. величине
,
и не совпадает со значениями разлагаемой
функции:
7. Применение рядов Фурье
Ряды Фурье являются эффективным средством для решения уравнений математической физики. В частности, при решении волнового уравнения
,
(30)
описывающего
малые поперечные колебания
упругой струны длины
,
закрепленной на концах. Здесь координата
точки струны
,
переменная времени
,
искомая функция
удовлетворяет граничным условиям
,
,
(31)
и начальным условиям
,
,
.
(32)
Граничные
условия обеспечивают закрепление струны
на концах, функция
задает начальное положение струны в
момент времени
,
а функция
- начальную скорость (по вертикали) в
каждой точке
.
Используя ряды Фурье, можно получить
решение в виде ряда
,
(33)
где
коэффициенты
,
находятся по формулам
,
,
(34)
Наконец, решение уравнения теплопроводности
(35)
для стержня длины при начальном распределении температуры в стержне
,
,
(36)
и условии теплоизолированности концов
,
,
(37)
задается формулой
,
(38)
где коэффициенты находятся по формулам
,
. (39)
Пример
18. Струна длины
в начальный момент времени
оттянута в точке
на расстояние
вверх. Найти решение уравнения колебаний
закрепленной струны, для которой
,
если она начинает колебаться из состояния
покоя.
Решение.
В начальный момент времени
струна имеет форму треугольника с
вершиной в точке
(рис. 1).
Уравнение
стороны ОА,
поскольку угловой коэффициент равен
1, будет
.
Составим уравнение стороны АВ:
,
.
Таким образом,
Так как струна начинает колебаться из состояния покоя, то
.
Подставив
,
,
в формулу (33), получим:
.
По
формулам (34) найдем коэффициенты
и
.
Коэффициент
,
так как подынтегральная функция
тождественно равна 0, и коэффициент
(интегрируем
по частям по формуле
)
.
Подставив найденные значения , в формулу для , получим:
.
Это выражение можно записать в более простом виде, если заметить, что
На
тригонометрическом круге всем углам
вида
(при всех возможных
)
соответствуют четыре точки
(рис. 2);
отметим, что аналогично
Следовательно, ответ можно записать в виде
.
Пример 19. Пусть в начальный момент времени распределение температуры в стержне длины 2 задается по закону треугольника (см. рис. 1), и концы стержня теплоизолированы. Найти распределение температуры стержня, если коэффициент температуропроводности .
Решение. Так же, как и при решении примера 18, найдем, что
Подставив , в формулу (38), получим:
,
(40)
где коэффициенты вычисляются по формуле (39) при :
(интегрируем по частям по формуле )
Заметим
теперь, что
.
Осталось
найти коэффициент
по формуле (39) при
,
.
.
Подставив
найденные значения
в формулу (40) для
,
(сначала
,
а затем
),
получим распределение температуры
в каждой точке стержня
в любой момент времени
:
.