Примеры практического использования некоторых типов конечных элементов при исследовании статических и динамических состояний конструкций Пространственные стержневые конструкции

При проектировании стальных ферменных конструкций считают, что жесткость узлов в местах соединения элементов фермы не существенно влияет на работу конструкции и их рассматривают как шарнирные.

Проблема заключается в необходимости более полного учета жесткостных характеристик элементов в местах их соединений и, в связи с этим, перераспределение силовых потоков.

Стальная опора (рис. 32) моделируется в виде линейно-упругой стержневой пространственной конструкции, нагруженной узловыми силами, возникающими от веса проводов (с учетом покрытия их слоем льда) и ветровой нагрузки.

Рис. 32

При построении модели использовался конечный элемент в виде прямого бруса, воспринимающего в общем случае все виды нагрузок (растяжение, изгиб в двух плоскостях и кручение). В качестве узлов i, j приняты его концы (рис. 7).

Оси локальной системы координат направлены таким образом, чтобы ось X совпала с продольной осью бруса, а оси Y и Z совпадали с главными центральными осями его поперечного сечения.

В каждом узле рассматривается 6 степеней свободы (3 линейных и 3 угловых – они показаны на рис. 7 дуговыми стрелками) и соответствующие им силовые факторы. Матрица жесткости рассматриваемого конечного элемента имеет размерность 1212. Преобразование матрицы жесткости бруса из локальной в глобальную систему координат производится в соответствии с выражением

,

где [k] – матрица жесткости бруса в локальной системе координат;

[] – матрица направляющих косинусов локальных осей.

Модель конструкции выполнена в соответствии с рабочими чертежами опоры ВЛ 220.

В модели выделено 748 конечных элементов, соединенных при помощи 323 узлов. Размерность полученной системы уравнений – 1938, ширина ленты этой системы линейных алгебраических уравнений равна 222. Система уравнений решена при помощи метода Холецкого с фазовой обработкой; число уравнений, входящих в одну фазу – 600.

В результате решения системы уравнений получены векторы перемещений узлов в глобальной системе координат и напряжения в конечных элементах. Характер деформированного состояния опоры представлен на рис. 33.

Анализ массива напряжений в элементах позволяет выявить зоны опоры, в которых напряжения превышают допускаемые. На основании полученной информации можно сделать вывод о необходимости усиления стоек в нижней части опоры.

Рис. 33

Плоская задача теории упругости

Существует широкий класс важных в практическом отношении задач, в которых перемещения, деформации и напряжения зависят лишь от двух координат – x и y. Этот класс задач под общим названием «плоская задача теории упругости» подразделяется на плоскую деформацию и обобщенное плоское напряженное состояние.

Если в процессе нагружения все точки тела перемещаются только параллельно одной плоскости (плоскости xy, например), то соответствующее деформированное состояние называется плоской деформацией. Таким образом, для плоской деформации имеем u_x=u_x(x,y), u_y=u_y(x,y), u_z=0.

Рис. 34

Выделим из тела элементарный параллелепипед сечениями, параллельными координатным плоскостям (рис.34). Обозначим компоненты напряжения в площадке, перпендикулярной оси x, через _x, _xy, _xz, аналогично для других площадок. Первый индекс в этих обозначениях характеризует ориентацию площадки, а второй направление действия соответствующей составляющей напряжения.

В соответствии с уравнениями Коши, деформации _xz=du_x/dz+du_z/dx, _zz=du_z/dz, _yz=du_z/dy+du_y/dz оказываются равными нулю.

Из закона Гука вытекает, что касательные напряжения _xz=G_xz, _yz=G_yz также равны нулю (G — модуль сдвига,  — относительная деформация). Остальные компоненты деформации и напряжения являются функциями только координат x и y.

Если тонкая пластина, параллельная плоскости xy, нагружена объемными и по контуру — поверхностными силами, параллельными ее плоскости и равномерно распределенными по толщине, то имеет место обобщенное плоское напряженное состояние. В этом случае можно пренебречь компонентами напряжения _z, _xz и _yz, а _x, _y и _xy считать постоянными по толщине:

_z=_xz=_yz=0 _x= _x(x,y), _y= _y(x,y) и _xy= _xy(x,y).

Из закона Гука следует, что при обобщенном плоском напряженном состоянии деформации сдвига _xz=_yz=0, а остальные компоненты деформации представляются как функции только координат x и y.

Расчет по методу конечных элементов начинается с дискретизации расчетной модели. Пусть рассматриваемая область двумерна, т.е. все ее характеристики зависят от двух координат (рис. 35). Каждый конечный элемент этой области сохраняет все физические и геометрические свойства исходной среды. На границе области заданы граничные условия /1,2,3/.

Для решения плоской задачи теории упругости разработано много разнообразных конечных элементов, отличающихся друг от друга аппроксимацией перемещений и способом описания геометрии. В качестве наиболее простого рассмотрим плоский треугольный элемент с тремя узлами в углах (рис. 36). Узловые перемещения для такого элемента указаны на рисунке. Вектор перемещений для узла i состоит из двух компонент:

(10)

Рис. 35

Рис. 36

Обход узлов производится против хода часовой стрелки. Шесть компонент перемещений элемента образуют вектор:

. (11)

Перемещения точек внутри элемента однозначно определяются этими шестью величинами. Наиболее простым представлением являются линейные полиномы:

(12)

Значения шести постоянных _i можно найти из двух систем, состоящих из трех уравнений, которые получаются при подстановке в последние уравнения узловых координат и приравнивания перемещений соответствующим перемещениям узловых точек:

(13)

Выражая ₁, ₂, ₃ через величины узловых перемещений, получим

,(14)

где

(15)

Остальные коэффициенты получаются циклической перестановкой индексов i, j, m, а величина 2 определяется соотношением

(площадь треугольника ijm). (16)

Аналогично выражается перемещение v по направлению оси y:

(17)

В стандартной форме

(18)

Полную деформацию в любой точке внутри элемента можно представить тремя составляющими:

(19)

Используя предыдущие равенства (17) и (18), получим,

(20)

что определяет матрицу [B], связывающую деформации с перемещениями. Так как матрица [B] не зависит от координат точки внутри элемента, то деформации в нем постоянны.

Напряжения связаны с деформациями зависимостью:

, (21)

где матрица упругих постоянных для плоского напряженного состояния имеет вид

, (22)

Матрица жесткости элемента ijm определяется с помощью соотношения:

, (23)

где t — толщина элемента, а интегрирование ведется по площади треугольника. Если толщина элемента постоянна, то, поскольку ни одна из матриц не содержит x или y, получим простое выражение:

, где и т.д. (24)

Матрица жесткости может быть записана в виде:

, (25)

Составление матрицы жесткости ансамбля элементов производится суммированием матриц жесткости конечных элементов, имеющих общие узлы.

Для конечноэлементного ансамбля можно записать:

. (26)

— внешние силы; — силы, уравновешивающие действующие на элемент распределенные нагрузки; — силы в узлах, обусловленные начальной деформацией.

На рис. 37 представлена расчетная модель пластинки трапециевидной формы, защемленной вдоль одной из сторон и нагруженной силами в узлах другой стороны. Тонкими линиями показана сетка разбиения на конечные элементы треугольной формы. Толщина пластинки 0.1 см. Материал пластинки имеет следующие характеристики: модуль упругости 200000 МПа, коэффициент Пуассона 0.3. Узловые силы в Н, размеры в см. Число конечных элементов ne=5, число узлов np=7, число граничных узлов nb=3.

Рис. 37

Граничные условия:

nbc(1)=1 nfix(1)=11

nbc(2)=2 nfix(2)=11

nbc(3)=3 nfix(3)=11.

В файле исходных данных содержится следующая информация для рассматриваемого примера (вариант 6):

6

Иванов И.И.

7,5,3,1,2,1,0

1,2000000., 0.3

1,0.,0.

2,4.,0.

3,8.,0.

4,3.,5.

5,9.,5.

6,6.,10.

7,10.,10.

1,1,2,4,1

2,2,5,4,1

3,2,3,5,1

4,4,5,6,1

5,5,7,6,1

1,11

2,11

3,11

6,10.,0.

7,10.,0.

После проведения вычислений в файле 6 содержится следующая информация:

6

Иванов И.И.

7 5 3 1 2 1 0

MATIRIAL PROPERTIES

1 2000000.00 0.30

NODAL POINTS

1 0.000 0.000

2 4.000 0.000

3 8.000 0.000

4 3.000 5.000

5 9.000 5.000

6 6.000 10.000

7 10.000 10.000

ELEMENTS

1 1 2 4 1

2 2 5 4 1

3 2 3 5 1

4 4 5 6 1

5 5 7 6 1

BOUNDARY CONDITIONS

1 11

2 11

3 11

LOADS

6 10.00 0.00

7 10.00 0.00

DISPLACEMENTS

1 0.0000E+00 0.0000E+00

2 0.0000E+00 0.0000E+00

3 0.0000E+00 0.0000E+00

4 0.2948E-04 0.1063E-04

5 0.2812E-04 -0.1856E-04

6 0.8707E-04 0.9949E-06

7 0.9480E-04 -0.3954E-04

element	x-stress	y-stress	xy-stress	max-stress	min-stress	angle
1	2.45	5.73	4.54	8.91	-0.73	35.083
2	0.72	2.84	0.76	3.09	0.48	17.768
3	-4.28	-9.99	4.33	-1.95	-12.32	61.710
4	0.53	2.41	5.22	6.78	-3.84	39.914
5	2.70	-3.61	2.17	3.37	-4.28	72.763

На основе полученных данных делается вывод о напряженно-деформи­ро­ванном состоянии моделируемой конструкции и, при необходимости, вводятся коррективы для обеспечения безопасного уровня напряжений и деформаций. Так как напряжение в элементе постоянно, то для более детального выявления характера распределения напряжений в локальных зонах конструкции можно измельчить сетку конечных элементов и провести аналогичный расчет повторно после подготовки соответствующих исходных данных.