![](/user_photo/_userpic.png)
- •Общие понятия теории о.Д.У., примеры моделей динамических процессов Общие понятия:
- •Примеры задач:
- •Уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные, в полных дифференциалах
- •Уравнения Бернулли и Риккати
- •Уравнения, не разрешенные относительно производной. Задача коши
- •Теорема Коши о голоморфном решении
- •1) Построение формального решения
- •2) Сходимость
- •Метод малого параметра.
- •Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Линейные системы д.У. Общие свойства
- •Линейные системы с постоянными коэффициентами
Теорема Коши о голоморфном решении
Опр
Функция назыв голоморфной в (*), если она
разложима в некоторой И(*) в степенной
ряд по степеням: f(x)
=
+
(x-x0)k
, f является
вещес-ой аналит-ой: f ∈
Теорема: Если (1) y’=f(x,y) голоморфна, в (*)=(0,0), то задача Коши имеет ! решение, которое является голоморфным в (*)
ДОК-ВО: (Нужно док-ть, что ряд сх-ся и построить формальное решение)
1) Построение формального решения
По условию
теоремы: f(x,y)=
xiyj
Будем искать
решение в форме: x
= φ(x) =
xi
Из нулевых
начальных данных получаем φ(0)
= 0 =>
Подставляем
формальный ряд в ур-ие и прировняем
коэф-ты при одинак. степенях x:
φ’(x) = f(x, φ(x))
=>
xk-1
=
xi
(
)j
(1)
=> x0:
=α00,
x1:
=α01+
α01
,
x2:
=
α20+α01
+
α11
+
α02
...
и тд
=> ∞-ая сист ур-ий относит-но
определяется
однозначно => формальное решение
построено. Из единственности опр-ия
=> если голоморфное решение задачи
Коши
,
то оно единственно.
2) Сходимость
Построим мажорирующий ряд
Т.к. f
∈
,
то
=(x0,
y0)
обладает некоторой окрестность
И(|x-x0|<a,
|y=y0|<b).
Пусть
∈ (0,a),
∈ (0,b).
Из абсолютной сх-ти => огранич-ть членов ряда:
|αij
|
M=>
|αij|
α*ij
=
***По теор
Абеля из сх-ти степ ряда
в (*) (
)
следует его сх-ть в комплексном поликруге.
***
=> в
поликруге |x|<
,
|y|<
:
|f|
∑ α*ij
|x|i
|y|j
= M
. Просуммировав произведение двух
геометр. прогрессий =
Рассмотрим
(2)
ур-ие y’=g(x,
y)
=
= M
Это ДУ с раздел переменными:
(1-
)dy=
=>
Это решение
y=
(x)
раскладывается в степенной ряд в И(x0=0)
с коэф-ми
Подстановка y= (x) в мажорантное ур-ие (2) дает тождество по х.
и α*ij отличаются от коэф-ов в (1) лишь обозначениями => получаем ту же сист.реш-ий.
Покажем,
что сх-ся ряд
=
(x)
является мажорирующим для форм-го ряда:
=
00
=> |
|
= |
00|
00
=
2|
|
= |
01|
+ |
01||
|
01
+
01
= 2
=> |
|
и тд
=> ряд сх-ся и явл-ся искомым решением задачи Коши
_________________________
Поликруг – область C-пр-ва, явл-ся топологическим произведением n-кругов.
Пусть
f-вещест-ая,
аналич-ая: f ∈
:
обладает
окрестностью И( |x-x0|<a,
|y=y0|<b
), в которой f:
f(x,y)=
Метод малого параметра.
Рассмотрим уравнения
Пусть
т.е. малое
отклонение от
.
При фиксировании
начальных данных (
)
решение задачи Коши
определено в прямоугольнике
Будем считать, что
задана и непрерывна на замыкании
(наименьшее
замкнутое множество, содержащее Р)
Пучок интегральных
кривых
,
где
находится в G. При
получаем решение
Вычислим функцию φ1(t) = ∂φ/∂μ|μ=0 для оценки скорости изменения решения по параметру.
Продифференцируем
тождество
(t
∈
I, |μ| < ε).
Поменяем в левой части
порядок дифференцирования по
и положим
Определим A(t) как:
Функции A(t) и b1(t) непрерывны на I и решение дается формулой:
,
a(t, τ) :=
Приближение φ(t,µ)≈φ0(t)+φ1(t)µ позволяет по коэффициенту φ1 судить о чувствительности решения к малому возмущению параметра µ. В приложениях зачастую этого достаточно.