Рис. 12.3
Энергетические соотношения в контуре при резонансе
В колебательном контуре происходит обмен энергией между катушкой индуктивности и конденсатором. В контуре имеют место потери энергии,
обусловленные наличием активного сопротивления R1 в цепи, учитывающего
внутреннее сопротивление источника ЭДС, нагрев элементов (провода и диэлектрика), потери на излучение, расходование энергии в нагрузке и т .д.
Определим величину энергии, запасаемой реактивными элементами WΡ . Предположим, что в контуре при резонансе протекает гармонический ток
i Ρ = ImΡ sin (ωPt). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12.13) |
|||||
Тогда соотношение для напряжения на емкости (12.10) имеет вид |
|||||||||||||||||||||
ucΡ |
|
|
|
ω t − |
π |
|
= ImΡ |
ρcos(ω t). |
|
|
(12.14) |
||||||||||
= ImΡ ρsin |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Энергия, запасаемая в индуктивности, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Li2 |
LI 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
L I 2 |
|
|
|
||||||
W |
= |
Ρ = |
mΡ sin |
|
|
(ω |
t)= |
|
|
mΡ |
1−cos(2ω |
t) |
(12.15) |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
L |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ρ |
|
|
4 |
|
|
Ρ |
. |
||
Энергия , запасаемая в емкости, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
W |
= C Uc2Ρ |
= CIm2 |
Ρρ2 |
cos2 (ω |
t +π )= |
|
|
|
|||||||||||||
C |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Ρ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
= |
|
Im2 |
ΡL |
|
1 |
+cos(2ω |
|
t) |
|
|
(12. 16) |
|||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
. |
|
|
||||
где учтено, что ρ2 = L
C , cos (X + 2π ) = cos X.
Суммируя соотношения (12.15) и (12.16), получим значение всей энергии, запасаемой реактивными элементами контура при резонансе:
W |
=W |
+W = |
|
L I 2 |
=W |
|
|
|
|
mΡ |
(12.17) |
||||||
|
|
|||||||
Ρ |
L |
C |
2 |
|
Ρ . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
Соотношения (12.15) |
и (12.16) можно выразить через uCΡ = iΡ ρ, |
т.е. в |
||||||
соотношение (12.15) вместо iΡ |
|
подставляем |
iΡ = uCΡ ρ . Тогда |
вместо |
||||
выражения (12.17) получим |
|
|
|
|
|
|
||
W |
=W |
+W = |
|
C U 2 |
|
=W |
|
|
|
mCΡ |
(12.18) |
||||||
|
|
|||||||
Ρ |
L |
C |
2 |
|
Ρ . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
Сопоставив выражения (12.17) и (12.18), приходим к заключению, энергия, запасенная в контуре при резонансе, не зависит от времени, а оставаясь постоянной,колеблется междуиндуктивностьюи емкостьюс частотой,вдвараза
большей частоты ωΡ .
Найдем соотношение для энергии активных потерь в контуре за период Т- колебаний:
WaΤ = ∫Τ Ρa (t)dt ,
0
где Ρa (t) - активная мощность потерь:
|
Ρ |
a |
(t) =i2 R |
= |
Im2 |
ΡR |
(1−cos 2ω |
t) |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ρ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Ρ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда выражение для энергии потерь за период Т имеет вид |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Τ |
|
Τ |
I 2 |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I 2 |
R |
|
Τ |
|
||||||
|
W |
|
= |
∫0 |
mΡ |
|
|
|
|
(1−cos 2ω |
t)dt = |
mΡ |
|
T =W |
|
(12.19) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ρ |
|
|
|
|
2 |
|
a , |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где учтено, что ∫Τ cos(2ωΡt)dt = 0 при T = |
2π . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωΡ |
|
|
|
|
||
Взяв отношение WΡΚ |
|
WaΤ , получим |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
W |
Ρ |
|
|
LI 2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
L |
ω |
|
|
Q |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
= |
|
|
mΡ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
0 = |
|
|
|
|
, |
|
|
(12.20) |
|||
|
|
|
|
Τ |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
||||||||
|
Wa |
|
|
|
|
|
|
|
ImΡ RT |
|
R 2π |
|
|
|
|
||||||||||||||
то есть |
Q = 2π |
WΡΤ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Wa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оказывается, что WΡ |
пропорциональна добротности контура. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
Адобротность,сфизическойточкизрения,характеризуетсвойствоконтура запасать энергию в реактивных элементах.
Выражение добротности (12.20) справедливо для колебательных цепей с сосредоточенными и распределенными параметрами.
Резонансные кривые последовательного колебательного контура
Резонансной кривой последовательного колебательного контура
называется зависимость тока в контуре от частоты, питающей ЭДС. На основании соотношения (12.6) можно записать, что
I(ω) = |
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 , |
(12.21) |
|||
R |
2 |
+(ωL − |
1 |
) |
|||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
n |
|
ωC |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где Rn = Ri + R - сопротивление потерь.
Из выражения (12.21) следует, что ток в контуре (его амплитуда или действующее значение) обратно пропорционален полному сопротивлению
контура ZΚ (ω) (рис. 12.4).
I(ω) |
|
Z(ω) |
Z(ω) |
|
|
R1 |
|
I(ω) |
|
|
|
0 |
ωp |
ω |
Рис. 12.4
Криваязависимости I (ω) будетнесимметричнаотносительнорезонансной
частоты.
Из анализа соотношения (12.21) и графической зависимости (рис. 12.4) можно сделать вывод, что последовательный колебательный контур обладает
частотной избирательностью.
Проанализируем резонансную кривую в области малых расстроек. При рассмотрении частотно-избирательных свойств колебательных контуров наибольший интерес представляет область малых расстроек (ОМР), т.е. область
частот вблизи резонансной частоты ωΡ . Именно в этой области обычно
располагается спектр реального радиосигнала. Различают следующие виды расстроек:
Абсолютная расстройка ∆ω или ∆f - это разность между частотой ω гармоническогосигналанавыходеконтураирезонанснойчастотойэтогоконтура
ωΡ :
∆ω =ω −ωΡ , |
∆f = f − fΡ |
(12.22) |
||||
Расстройка считается |
малой, если |
|
∆ω |
|
<<ωΡ , где |
знак << означает |
|
|
|||||
неравенство в 10 и более раз; Относительная расстройка - это отношение абсолютной расстройки к
резонансной частоте: |
∆f |
|
|
ν = ∆ω = |
; |
(12.23) |
|
ωΡ |
fΡ |
|
|
Обобщенная расстройка: |
|
||
∆ω |
|
ω −ω |
|
|
|
|
|
|
ξ = 2Qν = 2Q ωΡ = 2Q |
ωΡ Ρ . |
|
(12.24) |
|
||||
Выведем выражение реактивной составляющей составляющей |
||||||||
сопротивления последовательного |
колебательного контура |
X =ωL − |
1 |
в |
||||
|
||||||||
области малых расстроек. |
|
|
|
|
ωC |
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
||
Поэтому в соотношение для X подставим индуктивность |
L = |
. В этом |
||||||
2 |
||||||||
|
|
|
|
ωΡC |
|
|
|
|
случае получим
X = |
ω |
|
|
1 |
|
|
ω2 −ω |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
= |
2 |
Ρ = |
|
|
|
|
||
2 |
|
ωC |
|
|
|
|
|||||||
|
ωΡC |
|
|
ωΡωC |
|
|
|
|
|
||||
|
= |
(ω +ω)(ω −ωΡ ) |
|
≈ 2 |
ωΡ |
∆ω |
= 2ρν , |
(12.25) |
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
ωΡωC |
|
|
ωΡC ωΡ |
|
|
||||
где учтены приближенные равенства ω ≈ωΡ , ω +ωΡ ≈ 2ωΡ .
С учетом соотношения (12.25) выражение (12.21) резонансной кривой в области расстроек будет иметь вид
I(ξ) = |
|
|
|
|
E |
|
= |
E |
|
1 |
|
= |
|
IΡ |
|
. (12.26) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Rn |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+(2Qν )2 |
|
1+ξ2 |
||||||||||
|
Rn2 +(2ρν )2 |
||||||||||||||||||||
Выражение нормированной резонансной кривой в ОМР имеет вид |
|||||||||||||||||||||
Iн (ξ)= |
I(ξ) |
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
IΡ |
1+ξ2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(12.27) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
График резонансной кривой в области малых расстроек симметричен относительно начала отсчета ξ = 0 (рис. 12.5).
IH(ξ)
t
0 |
ξ |
Рис. 12.5
Следует отметить, что нормированные резонансные кривые удобно использоватьвтомслучае,когданеобходимосравниватьизбирательныесвойства различных контуров.
Комплексный коэффициент передачи. АЧХ и ФЧХ последовательного колебательного контура
В качестве выходного колебания последовательного колебательного контура чаще всего используется напряжение на емкости.
Тогда
K ( jω)= U• mC = |
I•m |
|
|
jωCE . |
|||
• |
|||
Em |
m |
||
Для области малых расстроек полагаем, что