- •9 Поле электрического диполя
- •10 Диполь во внешнем электростатическом поле
- •11 Ротор векторной функции и его физический смысл
- •Теорема Стокса
- •12 Уравнения электростатического поля в вакууме в интегральной и дифференциальной формах. Уравнение Пуассона. Уравнение Лапласа
- •1. Теорема Гаусса:
- •2. Теорема о циркуляции вектора :
- •Уравнение Пуассона
- •Уравнение Лапласа
11 Ротор векторной функции и его физический смысл
Рассмотрим электростатическое поле . Пусть - граница некоторой поверхности (рис.28).
Рис. 28
Рассмотрим отношение циркуляции вектора к площади . Напомним, что циркуляция равна:
-
- линейный интеграл вектора по кривой ,т.е. по замкнутому контуру. Оказывается, что это отношение стремится к некоторому пределу при , причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориентация контура задается вектором нормали к плоскости контура, причем направление связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел отношения циркуляции вектора по контуру к ограниченной им площадке, стягиваемой к нулю, есть проекция некоторого вектора на направление нормали .
Этот вектор называют ротором (вихрем) вектора и обозначают . Таким образом,
, (1.61)
где - проекция вектора на нормаль (рис. 29).
Рис. 29
Итак, в каждой точке векторного поля имеется вектор , направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Формула (1.61) годится для любого векторного поля.
В математике получают выражение для в координатном представлении.
Формально можно рассматривать как векторное произведение на вектор , т.е. как . Оно позволяет записать векторное произведение с помощью определителя:
(1.62)
Теорема Стокса
От циркуляции вокруг бесконечно малого участка поверхности перейдем к циркуляции вокруг первоначальной большой петли (рис. 28). В соответствии с (1.61) циркуляции вектора по контуру, ограничивающему , может быть представлена в виде:
, (1.63)
где - положительная нормаль к элементу поверхности . Просуммировав выражение (1.63) по всем , получим циркуляцию вектора по контуру , ограничивающему :
.
Наконец, осуществив предельный переход, при котором все стремятся к нулю, придем к формуле:
. (1.64)
Соотношение (1.64) носит название теоремы Стокса: циркуляция вектор по произвольному контуру равна потоку вектора через произвольную поверхность , ограниченную данным контуром.
Как было показано в параграфе 6, в электростатическом поле (см. формулу (1.36)), отсюда следует, что
т.е.
(1.65)
Уравнение является достаточным условием для потенциальности поля, т.е. для того, чтобы поле можно было описать градиентом некоторой потенциальной функции . Нетрудно показать, что . Действительно,
12 Уравнения электростатического поля в вакууме в интегральной и дифференциальной формах. Уравнение Пуассона. Уравнение Лапласа
1. Теорема Гаусса:
или
(1.66)
причина – заряд, следствие – электростатическое поле.
2. Теорема о циркуляции вектора :
или
(1.67)
Это означает, что электростатическое поле безвихревое, потенциальное, в нем нет замкнутых силовых линий.
Решая уравнения (1.66) и (1.67), можно найти , , в каждой точке пространства, т.е. полностью воссоздать картину векторного поля в зависимости от распределения его источников.