![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
ТЕМА 6
Функции случайных величин
Определение функции случайных величин. Функция дискретного случайного аргумента и ее числовые характеристики. Функция непрерывного случайного аргумента и ее числовые характеристики. Функции двух случайных аргументов. Определение функции распределения вероятностей и плотности для функции двух случайных аргументов.
1. Закон распределения функции одной случайной величины.
При решении задач, связанных с оценкой точности работы различных автоматических систем, точности производства отдельных элементов систем и др. часто приходится рассматривать функции одной или нескольких случайных величин. Такие функции тоже являются случайными величинами. Поэтому при решении таких задач необходимо знать законы распределения фигурирующих в задаче случайных величин. При этом обычно закон распределения системы случайных аргументов известен и известна функциональная зависимость.
Таким образом, возникает задача, которую можно сформулировать следующим образом.
Дана система
случайных величин
,
закон распределения которой известен.
Рассматривается некоторая случайная
величина
как функция данных случайных величин:
. (6.1)
Требуется определить
закон распределения случайной величины
,
зная вид функции (6.1) и закон совместного
распределения ее аргументов.
Рассмотрим задачу о законе распределения функции одного случайного аргумента
.
Вначале пусть
- дискретная случайная величина, имеющая
ряд распределения:
|
|
|
... |
|
|
|
|
... |
|
Тогда
- также дискретная случайная величина
с возможными значениями
,
,
... ,
.
Если все значения
,
,
... ,
различны, то для каждого
события
и
тождественны. Следовательно,
и искомый ряд распределения имеет вид:
|
|
|
... |
|
|
|
|
... |
|
Если же среди чисел
,
,
... ,
есть одинаковые, то каждой группе
одинаковых значений
нужно отвести в таблице один столбец и
соответствующие вероятности
сложить.
Для непрерывных
случайных величин задача ставится так:
зная плотность распределения
случайной величины
,
найти плотность распределения
случайной величины
.
При решении поставленной задачи
рассмотрим два случая.
Предположим
сначала, что функция
является монотонно возрастающей,
непрерывной и дифференцируемой на
интервале
,
на котором лежат все возможные значения
величины
.
Тогда обратная функция
существует, при этом является также
монотонно возрастающей, непрерывной и
дифференцируемой функцией. В этом случае
получаем:
. (6.2)
Пример
1. Случайная
величина
ораспределена с плотностью
.
Найти закон
распределения случайной величины
,
связанной с величиной
зависимостью
.
Решение. Так как
функция
монотонна на промежутке
,
то можно применить формулу (6.2). Обратная
функция по отношению к функции
есть
,
ее производная
.
Следовательно,
.
Рассмотрим случай
немонотонной функции. Пусть функция
такова, что обратная функция
неоднозначная, т. е. одному значению
величины
соответствует несколько значений
аргумента
,
которые мы обозначим через
,
,
... ,
,
где
- число участков, на которых функция
изменяется монотонно. Тогда
. (6.3)
Пример 2. В условиях примера 1 найти распределение случайной величины
.
Решение. Обратная
функция
неоднозначна. Одному значению аргумента
соответствует два значения функции
:
.
Применяя формулу (6.3), получим:
.