![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Введение
- •1. Неопределенный интеграл
- •1.1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •1.2. Основные свойства неопределённого интеграла
- •1.3. Таблица основных интегралов
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.4. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование подстановкой
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.5. Интегрирование по частям
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.6. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.7. Интегрирование рациональных дробей
- •1.7.1. Интегрирование простейших дробей
- •1.7.2. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.8. Интегрирование иррациональных функций
- •2. Интегралы вида
- •3. Интегралы вида
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.9. Интегрирование тригонометрических функций
- •1. Интегралы вида , где r – рациональная функция
- •2. Интегралы вида
- •5. Тригонометрические подстановки
- •6. Интегралы вида
- •Задания для самостоятельного решения
- •1.10. Функции, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции
- •2. Интеграл по мере области
- •2.1. Понятие интеграла по мере области
- •2.2. Основные свойства интеграла по мере области
- •2.3. Вычисление определенного интеграла
- •2.3.1. Формула Ньютона − Лейбница
- •Задания для самостоятельного решения
- •2.3.2. Вычисление определённых интегралов с помощью подстановки
- •2.3.3. Вычисление определённых интегралов путём интегрирования по частям
- •2.4. Приближенное вычисление определённых интегралов. Понятие о численном интегрировании
- •2.4.1. Формула прямоугольников
- •2.4.2. Формула трапеций
- •2.4.3. Формула парабол (Симпсона)
- •3. Несобственные интегралы
- •3.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •3.2. Несобственные интегралы от разрывных функций
- •3.3. Теоремы о сходимости несобственных интегралов
- •Задания для самостоятельного решения
- •4. Интеграл как функция пределов интегрирования. Понятие о специальных функциях, определяемых интегралами с переменным верхним пределом
- •5. Понятие об интегралах, зависящих от параметра
- •6. Понятие о гамма-функции
- •7. Вычисление кратных интегралов
- •7.1. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
- •Задания для самостоятельного решения
- •7.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •Задания для самостоятельного решения
- •7.3. Замена переменных в кратных интегралах
- •7.3.1. Общая формула замены переменных
- •7.3.2. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •7.3.3. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
- •7.3.4. Запись тройного интеграла в сферической системе координат
- •Задания для самостоятельного решения
- •8. Криволинейные интегралы
- •8.1. Вычисление криволинейного интеграла по длине дуги кривой
- •Задания для самостоятельного решения
- •8.2. Криволинейные интегралы по координатам
- •8.2.1. Понятие о векторном поле
- •8.2.2. Определение криволинейного интеграла по координатам
- •8.2.3. Вычисление криволинейного интеграла по координатам
- •Задания для самостоятельного решения
- •8.2.4. Формула Грина
- •8.2.5. Независимость криволинейного интеграла от формы кривой интегрирования
- •Задания для самостоятельного решения
- •9. Приложения кратных интегралов
- •9.1. Геометрические приложения кратных интегралов
- •Задания для самостоятельного решения
- •9.2. Вычисление геометрических характеристик тел вращения
- •9.2.1. Объём тела с заданным поперечным сечением
- •9.2.2. Объём тела вращения
- •9.2.3. Площадь поверхности вращения
- •Задания для самостоятельного решения
- •9.3. Механические приложения кратных интегралов
- •Задания для самостоятельного решения
- •9.4. Примеры физических приложений определённых интегралов
- •Задания для самостоятельного решения
- •Предметный указатель
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Интегральное исчисление и его приложения
- •443100, Г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244. Главный корпус
- •443100, Г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
Задания для самостоятельного решения
-
Будет ли криволинейный интеграл
равен нулю по любому замкнутому контуру?
-
Используя формулу Грина, докажите, что площадь области D можно вычислить по одной из формул:
3. Применяя формулу
Грина, вычислить интеграл
,
где L – контур
треугольника с вершинами A(1;
1), B(2; 2), C(1;
3), пробегаемый против хода часовой
стрелки (ответ:
).
4.
Выяснить, зависит ли интеграл
от контура интегрирования (ответ: нет).
9. Приложения кратных интегралов
9.1. Геометрические приложения кратных интегралов
I. Некоторые приложения кратных интегралов вытекают из свойств интеграла по мере области. Напомним 4-е свойство:
если
f
(P)
1, то
,
.
Конкретизируем это важное свойство:
-
– длина отрезка
;
-
– длина линии L;
-
– площадь области D;
-
– площадь поверхности Q;
-
– объём тела Т.
Используя это свойство и его конкретизацию, получим формулы для вычисления таких геометрических характеристик, как объём, площадь поверхности и плоской области, длина дуги кривой.
Рассмотрим формулу для вычисления объёма тела Т
.
Пусть
тело Т
является правильной областью в
пространстве R3,
которое ограничено «снизу» поверхностью
,
а «сверху» −
(рис. 9.1). Найдем объём тела Т:
.
Рис. 9.1
Таким образом, формула
(9.1)
применяется
для вычисления объёма с помощью двойного
интеграла, когда область ограничена
поверхностями
и
и проектируется в правильную область
D
на плоскости х0у.
Если
в формуле (9.1) положить
,
а
,
то получим формулу
,
(9.2)
которая
объясняет геометрический смысл двойного
интеграла: двойной
интеграл от функции f(x,y)
по области D
выражает объём цилиндрического тела,
ограниченного «сверху» поверхностью
,
«снизу» областью D
и боковой цилиндрической поверхностью,
образующие которой параллельны оси 0z,
а направляющая является границей области
D.
Если
в формуле (9.2) положить
,
то получим интеграл, выражающий объём
цилиндра с высотой, равной 1, и основанием
D.
Численно этот объём равен площади
основания. Итак,
.
(9.3)
Очевидно, такой же результат получим, если рассмотрим третий случай свойства 4:
.
Таким образом, формула для вычисления площади плоской фигуры D имеет вид (9.3).
Произведём интегрирование в (9.3) по области D, представленной на рис. 9.2:
.
(9.4)
Это
выражение можно рассматривать как
формулу для вычисления площади плоской
фигуры D, ограниченной
соответствующими линиями.
Если
в (9.4) положить
,
а
,
то получим формулу для вычисления
площади криволинейной трапеции,
ограниченной кривой f
(x),
вертикальными прямыми х
= а и х
= b.
Замечание. При переходе к полярным, цилиндрическим и сферическим координатам получим формулы для вычисления объемов и площадей в данных координатах.
Пример 1. Вычислить площадь плоской фигуры D с помощью двойного интеграла:
1)
;
2)
.
Решение
1.
Область интегрирования ограничена
прямыми
,
,
снизу осью Ox
и сверху ветвью параболы
(рис. 9.3). Тогда
(кв. ед.)
2. Преобразуем уравнения области D:
.
В
этом случае удобно воспользоваться
полярными координатами, переходя к
которым получим
(рис.
9.4).
Тогда
(кв. ед.)
Пример 2. Вычислить объем пространственного тела V, ограниченного поверхностями
.
Решение
Тело
V
сверху ограничено плоскостью
,
снизу −
.
Проекцией тела на плоскость XOY
служит прямоугольник, образованный
прямыми
,
,
и
(рис. 9.5). Вычислим объем фигуры,
воспользовавшись формулой (9.2):
(куб. ед.).
Пример 3. Вычислить объем пространственной области V, ограниченной данными поверхностями
.
Решение
Область
V
ограничена тетраэдром, расположенным
в первом октанте. Проекцией тела на
плоскость XOY
служит треугольник, образованный прямыми
,
,
(рис. 9.6).
Следовательно,
(куб. ед.)
II. Криволинейный интеграл I рода даёт возможность получить формулы для вычисления длины дуги кривой. Их мы уже получали ранее:
– для
плоской кривой, заданной уравнением
,
;
– для пространственной кривой, заданной уравнениями
;
– для плоской кривой, заданной в полярных координатах,
.
Пример
4. Найти
длину первого витка винтовой линии
(рис. 9.7).
Решение
III. Рассмотрим формулу 4-го случая:
− это интеграл по площади поверхности. Рассмотрим метод его вычисления.
Пусть
задана поверхность Q:
(рис. 9.8), dq
– элемент площади поверхности,
− нормальный вектор к поверхности Q
в точке М.
Рис. 9.8
Если
через
обозначить угол между нормалью
и осью
,
то
,
где
.
(9.5)
За
вектор
можно принять вектор
,
где F(x,
y,
z)
− уравнение поверхности уровня, которая
в нашем случае и есть поверхность Q.
Её уравнение в неявном виде
.
Итак,
.
Подставляя
выражение
в (9.5), получим
.
Вычислить интеграл по площади поверхности можно и с помощью двойного интеграла
.
Теперь
нетрудно записать формулу для вычисления
площади поверхности
.
Пример
5. Найти
площадь части поверхности конуса
вырезанной цилиндром
(рис. 9.9).
Решение
Поверхность
ограничена сверху конусом
,
а область D
представляет собой окружность
.
Тогда
Так
как область D
есть круг радиуса a,
то
и площадь поверхности
(кв. ед.)