![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Теория напряжений
- •1.1. Понятие сплошной среды. Классификация сил
- •1.2. Тензор напряжений
- •1.3. Напряжения на наклонной площадке (формула Коши)
- •1.4. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды (дифференциальные уравнения Коши)
- •1.5. Закон парности касательных напряжений
- •1.6. Главные площадки, главные напряжения и главные оси тензора напряжений
- •1.7. Инварианты тензора напряжений
- •1.8. Разложение тензора напряжений на шаровой тензор и девиатор
- •1.9. Возможные схемы напряженного состояния металла
1. Теория напряжений
1.1. Понятие сплошной среды. Классификация сил
Металл состоит из совокупности атомов, упорядоченно расположенных в кристаллической решетке. То есть металл имеет, строго говоря, дискретное (прерывистое) строение. Так описывать поведение металла при деформации очень сложно. Поэтому применяют гипотезу сплошности - металл рассматривается как среда, заполняющая часть пространства сплошным образом.
То есть, используется понятие сплошная среда – это тело, которое деформируется упруго (обратимо) или пластически (необратимо). Данная гипотеза позволяет применять законы и уравнения механики сплошных сред. В механике движение частиц металла описывается непрерывными функциями. Для их определения используется аппарат дифференциального и интегрального исчисления [11].
Плотность металла можно определить с помощью следующего выражения:
,
где
- масса элементарного объема
.
Силы, действующие на заготовку можно разделить на два вида: 1) объемные; 2) поверхностные.
Объемные силы – это силы, которые распределены по объему тела и действуют в каждой его точке. Величина этих сил пропорциональна массе или объему. Объемные силы – это силы взаимодействия деформируемого тела с полями. Пример объемной силы – вес. Это взаимодействие каждой точки тела с полем тяготения Земли. Другой пример – сила инерции.
В качестве характеристики таких сил используют плотность объемной силы:
,
где
- главный вектор объемной силы. Размерность
–
.
Поверхностные силы – силы, пропорциональные площади или поверхности. Поверхностные силы возникают в результате взаимодействия тел.
В
качестве характеристики поверхностной
силы применяют напряжение. Для определения
вектора напряжения в некоторой
материальной точке М
деформируемого тела V
это тело мысленно разделим сечением,
проходящим через точку М,
на две части. Одна часть тела мысленно
отбрасывается и ее действие на оставшуюся
часть заменяется силой
(рис.
1.1).
Рис. 1.1. Схема, поясняющая понятие «напряжение»
Вектором
напряжения
,
действующим в точке М
некоторого сечения, проведенного через
деформируемое тело, называют величину
.
Напряжение
является плотностью поверхностной
силы. Размерность
-
Па =
;
МПа.
Для
примера определим напряжение при
растяжении круглого стержня (растяжение
равномерное без образования шейки).
Величина растягивающей силы
=
1000 Н. Диаметр стержня
=
10 мм. Тогда площадь поперечного
сечения
стержня (площадки, на которую действует
напряжение
)
.
Вектор напряжения
Вектор напряжения всегда рассматривается действующим на определенную площадку.
1.2. Тензор напряжений
Если
выделить точку тела и рассматривать
площадку, проходящую через эту точку,
то на ней будет действовать напряжение
.
Если рассмотреть другую площадку,
проходящую через эту же точку, то
напряжение на ней -
.
Напряжение на третьей площадке –
и т.д. Совокупность напряжений на всех
площадках, проходящих через данную
точку, называется напряженным
состоянием.
Для того, чтобы задать напряженное состояние достаточно задать в точке три вектора напряжения на трех площадках. Пусть эти площадки совпадают с тремя координатными плоскостями xoy, xoz и yoz прямоугольной системы координат x, y, z .
Внутри
деформируемого тела в окрестности
рассматриваемой точки М
выделим элементарный параллелепипед.
На стороны параллелепипеда (площадки)
действуют напряжения
,
,
.
Эти напряжения уравновешивают действие
отброшенных частей тела. Напряженное
состояние в точке М
характеризуется тремя векторами
,
,
(рис. 1.2).
Векторы
удобнее заменить скалярными величинами
– их проекциями на оси координат
(i
= x,
y,
z;
j
= x,
y,
z).
Первый индекс (
i
)
показывает направление нормали к
площадке, на которую действует напряжение
.
Второй индекс (
j
)
указывает координатную ось, на которую
проецируется
.
Величины
являются проекциями векторов напряжений
.
При
проекции обозначают
,
,
,
,
,
.
Они действуют в плоскостях площадок и
называются касательными
напряжениями.
При
проекции обозначают
,
,
.
Они действуют перпендикулярно площадкам
и называются нормальными
напряжениями.
Рис. 1.2. Векторы напряжений и компоненты тензора напряжений,
действующие на координатных площадках
Напряженное
состояние в точке характеризуется
тензором
напряжений
.
Это таблица, в которую записаны три
проекции каждого из трех напряжений:
.
Столбцы
тензора соответствуют проекциям векторов
напряжений на координатные оси.
Размерность
- Па; МПа. Следует помнить, что
1
.
При записи
выполняется правило циклической
перестановки индексов: x
→ y
→ z→
x.
Правило знаков для нормальных напряжений , , - напряжения положительны ( >0), если они способствуют увеличению размеров частицы, то есть являются растягивающими. Отрицательные напряжения ( <0) способствуют уменьшению размеров частицы, то есть являются сжимающими [4].