Курсовик

Курсовая работа по ТОИИТ:

Цель работы: найти зависимость шага дискретизации случайного сигнала с известной корреляционной функцией от допустимой погрешности восстановления различными способами.

Вид корреляционной функции:

;

Перейдем к новой переменной t_n=at, и введем обозначение g=b/a:

;

График корреляционной функции:

1.Определение степени дифференцируемости

данного случайного сигнала.

;

;

;

Так как , заключаем, что сигнал один раз дифференцируем.

Производная сигнала имеет корреляционную функцию R_x’(t _n)= -R_x”(t _n).

Поскольку третья производная корреляционной функции R_x⁽³⁾(t _n) имеет в нуле разрыв, сигнал дифференцируем всего один раз.

2. Определение шага равномерной дискретизации при восстановлении сигнала степенными полиномами.

1. Оценка шага дискретизации для равномерного показателя точности.

При восстановлении сигнала степенными полиномами (полиномы Лагранжа и Тейлора) равномерный показатель точности (погрешность) может быть оценен сверху следующим образом:

1. для полинома Лагранжа: ;

2. для полинома Тейлора: ;

Òàê êàê для обоих оценок необходима дифференцируемость сигнала степени на единицу больше степени полинома, в данном случае возможно получить оценку только для полинома нулевой степени.

В качестве узлов интерполяции выбраны границы интервалов дискретизации (t_k);

;

;

Таким образом шаг дискретизации при восстановлении сигнала полиномом нулевой степени можно оценить по формуле:

;

Поскольку мы рассматриваем случайный сигнал с нормальным законом распределения, производная сигнала также имеет нормальный закон распределения, следовательно, максимум модуля произвольной реализации производной сигнала можно оценить по правилу 3s.

;

;

1. Оценка шага дискретизации для среднеквадратического показателя точности.

Для оценки шага дискретизации один раз дифференцируемого случайного сигнала при среднеквадратическом показателе точности используются следующие формулы:

1. восстановление полиномом нулевой степени:

   ;

2. восстановление полиномом Лагранжа первой степени:

   ;

3. восстановление полиномом Тейлора первой степени:

   ;

4. восстановление полиномом Лагранжа второй степени:

   ;

5. восстановление полиномом Тейлора второй степени не используется в виду низкой помехоустойчивости;

1. Оценка шага дискретизации по теореме Котельникова.

По теореме Котельникова сигнал, спектральная плотность которого ограничена частотой полностью определяется совокупностью своих значений, взятых через промежутки .

Спектральная плотность сигнала, рассматриваемого в данной работе не ограничена по частоте, поэтому для применения теоремы Котельникова необходимо искусственно ограничить “спектр” сигнала, и оценить к какой погрешности это может привести.

Спектральная плотность рассматриваемого сигнала:

;

Спектральная плотность ограниченная по частоте:

;

Таким образом, спектральную плотность погрешности можно найти следующим образом:

Корреляционная функция погрешности может быть найдена как обратное преобразование Фурье от ее спектральной плотности:

;

Для оценки максимальной значения погрешности необходимо найти только дисперсию погрешности, и необязательно знать вид корреляционной функции.

;

;