Свирщевский - Вопросы и задачи по математическому анализу

3

СОДЕРЖАНИЕ

I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

•Предел последовательности

•Предел функции

•Непрерывность функции

•Производная и дифференциал

•Эластичность

•Локальный экстремум

•Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши

•Формула Тейлора (Маклорена)

2. Функции нескольких переменных . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 10

•Пространство Rn

•Сходимость последовательности точек

•Предел и непрерывность функции

•Частные производные, дифференцируемость, дифференциал

•Производная по направлению, градиент

•Однородные функции

•Локальный экстремум

•Наибольшее и наименьшее значения функции

•Выпуклые множества и выпуклые функции

3. Интегральное исчисление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

•Первообразная и неопределенный интеграл

•Определенный интеграл

•Несобственные интегралы

4. Ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

•Сходимость и сумма числового ряда

•Числовые ряды с неотрицательными членами

•Знакочередующиеся числовые ряды

•Степенные ряды

•Разложение функций в ряд Тейлора (Маклорена)

4

5. Кратные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6. Обыкновенные дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . . 19

•Задача Коши

•Линейные уравнения

2. Функции нескольких переменных . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 22

•Дифференциалы

•Производная по направлению

•Локальный экстремум

•Наибольшее и наименьшее значения функции

3. Интегральное исчисление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

•Неопределенный интеграл

•Определенный интеграл

•Несобственные интегралы

•Геометрические приложения

•Сумма числового ряда

•Числовые ряды с неотрицательными членами

•Знакочередующиеся числовые ряды

•Степенные ряды

•Разложение функций в ряд Тейлора

5. Кратные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6. Обыкновенные дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . . 27

7. Разностные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Ответы к задачам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5

I.Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Е В О П Р О С Ы

1.Функции одной переменной

•Предел последовательности

Определение и некоторые свойства

1.Дайте определение предела последовательности. Приведите примеры: а) последовательности, сходящейся к числу 3; б) ограниченной последовательности, не имеющей предела.

2.Докажите, исходя из определения предела последовательности, что

3.Докажите, что сходящаяся последовательность имеет только один предел.

4.Докажите ограниченность сходящейся последовательности.

Свойства, связанные с неравенствами

5.Дайте определение последовательности, ограниченной снизу. Может ли предел последовательности, ограниченной снизу числом 6, быть равным: а) 5,98; б) 6,02? Ответ обоснуйте.

Свойства, связанные с арифметическими действиями

6.Что можно сказать о пределе суммы двух сходящихся последовательностей? Приведите пример расходящихся последовательностей, сумма которых сходится.

7.Что можно сказать о пределе произведения двух сходящихся последовательностей? Приведите пример расходящихся последовательностей, произведение которых сходится.

6

8.Может ли последовательность {xn + yn} сходиться, если последова-

тельность {xn} сходится, а последовательность {yn} расходится? От-

вет обоснуйте.

Бесконечно малые последовательности

9.Дайте определение бесконечно малой последовательности. Приведите примеры бесконечно малых последовательностей, отношение которых: а) является бесконечно малой последовательностью; б) не является бесконечно малой последовательностью.

10.Докажите, что произведение бесконечно малой и ограниченной по-

следовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Бесконечно большие последовательности

12. Дайте определение бесконечно большой последовательности. Что

означает запись “ lim xn = +∞”? Докажите, исходя из определения,

n→∞

что lim n +9 = +∞.

n→∞

13.Всякая ли неограниченная последовательность является бесконечно большой? Ответ обоснуйте.

14.Приведите пример двух бесконечно больших последовательностей, сумма которых является бесконечно малой последовательностью.

Монотонные последовательности

15.Дайте определение убывающей последовательности. Что можно сказать о пределе убывающей последовательности, если она: а) ограничена снизу; б) не ограничена? Ответ обоснуйте.

7

•Предел функции

16.Дайте определение предела функции в точке. Найдите, исходя из

17.Докажите, что предел суммы двух функций равен сумме их пределов, если последние существуют.

18.Докажите, что функция f (x) = sin 1x не имеет предела в точке x = 0 .

19.Дайте определение предела функции при x → +∞. Докажите, что функция f (x) = cos x не имеет предела при x → +∞.

20.Дайте определения односторонних пределов функции в точке. Что можно сказать об односторонних пределах функции f (x) в точке

x0 , если известно, что lim f (x) = 3? Ответ обоснуйте.

x→x0

21.Что означает запись “ f (x) = o(g(x)) при x → x0 ”? При каком мак-

симальном целом n выполнено условие: x20 / 3 = o(xn ) при x → 0 ?

22. Для каких значений a при x → 0 выполнено xa sin x = o(x3 ) ?

•Непрерывность функции

23. Дайте определение функции, непрерывной в точке. Найдите значе-

9

Дайте определение дифференциала функции f (x) в точке x0 . Исполь-

зуя дифференциал, найдите приближенное значение величины:

•Эластичность

Дайте определение эластичности функции в точке. Найдите эластичность функции f (x) в точке x0 :

40. Докажите, что эластичность произведения двух функций равна сумме их эластичностей.

•Локальный экстремум

41. Дайте определение и сформулируйте необходимое условие локального экстремума функции одной переменной. Приведите пример функции, для которой это условие выполнено в некоторой точке, но экстремум отсутствует.

•Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши

42. Сформулируйте теорему Ролля. Можно ли утверждать, что производная функции f (x) = (x −2)(x −3)(x −4)(x −5) обращается в нуль в трех точках интервала (2,5) ?

43.Сформулируйте теорему Лагранжа. Докажите, что если f ′(x) = 0 на интервале (a, b) , то функция f (x) постоянна на этом интервале.

44.Используя теорему Лагранжа, докажите, что если f ′(x) > 0 на ин-

тервале (a, b) , то функция f (x) возрастает на этом интервале.

10

45. Сформулируйте теорему Коши для пары дифференцируемых функций. Выведите из этой теоремы утверждение теоремы Лагранжа.

•Формула Тейлора (Маклорена)

46. Дайте определение многочлена Тейлора функции f (x) в точке x0 .

Чему равны его производные в этой точке? Укажите какой-либо многочлен P(x) , удовлетворяющий условиям: P(1) = 3, P′(1) = −2 , P′′(1) = 0 ,

P′′′(1) =1.

47. Разложите функцию f (x) = x5 + 2x sinx −cos x +1 по формуле Мак-

лорена до o(x4 ) .

48. Разложите функцию f (x) = ex +e−x −(1 + x2 )5 −1 по формуле Мак-

лорена до o(x3 ) .

2.Функции нескольких переменных

•Пространство Rn

49. Дайте определение расстояния ρ(a, b) между точками a, b Rn .

Сформулируйте и докажите свойства функции ρ(a, b) .

50. Дайте определение открытого множества в R2 . Является ли множе-

ство D ={(x, y) | (x −3)2 + ( y − 2)2 < 64} открытым?

51.Дайте определение замкнутого множества в R2 . Является ли множество D ={(x, y) | 0 < x ≤ 5, 0 ≤ y ≤ 5} замкнутым?

52.Дайте определение предельной точки множества. Приведите примеры: а) множества, содержащего все свои предельные точки; б) множества, для которого существует предельная точка, ему не принадлежащая.