Постовалова Г.А., Пыркина О.Е. Борцова Т.В. - Математический анализ Контрольные работы по математике. Часть 2
.pdfФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Кафедра «Математика и финансовые приложения»
ОБСУЖДЕНО |
УТВЕРЖДАЮ |
Протокол заседания кафедры |
Первый проректор |
№ 8 от 10 марта 2004 года |
Финансовой академии |
Заведующий кафедрой |
при Правительстве Р.Ф. |
И.Г. Шандра |
М.А. Эскиндаров |
|
«___»_________2004 |
Постовалова Г.А., Пыркина О.Е. Борцова Т.В.
Математический анализ:
Контрольные работы
по математике. Часть 2
Москва 2004
УДК 51(078) ББК 22.1я73 П63
Постовалова Г.А., Пыркина О.Е., Борцова Т.В. Математический анализ: Контрольные работы по математике: Часть II – М.: Фин. акад.,
каф. «М и ФП», 2004.- 78 с.
Рецензент: В.В. Донцов, кандидат физ.-мат. наук
Представлено 30 вариантов двух контрольных работ по математическому анализу для студентов 1 курса очного, вечернего и заочного отделений по темам: «Функции нескольких переменных» и «Интегральное исчисление». В конце каждой контрольной работы приводится решение 30-го варианта.
Учебное издание
Постовалова Галина Александровна Пыркина Ольга Евгеньевна Борцова Татьяна Витальевна
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ:
Контрольные работы по математике. Часть II
Компьютерный набор Постовалова Г.А.. Пыркина О.Е., Борцова Т.В. Компьютерная верстка Пыркина О.Е., Борцова Т.В.
Формат 60х90/16. Гарнитура Times
Усл.п. л. 4,7. Изд.№9.29.2-2004
Отпечатано в Финансовой академии при Правительстве РФ
Полное и частичное воспроизведение или размножение каким-либо способом допускается только с письменного разрешения Финансовой академии при Правительстве РФ
©Г.А. Постовалова, О.Е. Пыркина, Т.В. Борцова
©Финансовая академия при Правительстве РФ
2
Контрольная работа № 3
|
|
|
Вариант 1 |
|
1. |
Найти область определения функции z = 9 − x2 − y2 |
|||
2. |
Найти линии уровня функции |
z = (x + 2)2 +(y −3)2 . Сделать |
||
|
чертеж. Привести пример другой функции с такими же |
|||
|
линиями уровня. Чему равна производная функции в точке в |
|||
|
направлении линии уровня в этой точке? |
|||
3. |
Найти первый и второй |
дифференциалы функции |
||
|
z = x ln |
y |
в точке (1; 1). |
|
|
x |
|
||
|
|
|
|
|
4. . Найти градиент функции z = xy e1+ x + y и его модуль в точке М(0; -1) .
5.Найти экстремумы функции z =8x −10 y + 2xy −2x2 −2 y2 +1
6.Найти условный экстремум функции z = 1x + 1y ,
если x + y = 2 . |
|
7. Найти наибольшее и |
наименьшее значение функции |
z = ln(x + y) в области |
D, задаваемой неравенством |
(x −2)2 +( y −2)2 ≤1.
8. Доказать |
выпуклость |
функции |
f =108xy +70xz +10 yz +ex + 2ez +61x2 +82 y2 +74z2 |
|
|
3
Вариант 2
|
Найти область определения функции z = |
1 |
|
1. |
y2 − x4 . |
||
2. |
Найти линии уровня функции z = (x −2)2 −(y +3)2 . Сделать |
||
|
чертеж. Привести пример другой функции с такими же |
||
|
линиями уровня. Чему равна производная функции в точке в |
||
|
направлении линии уровня в этой точке? |
|
|
3. |
Найти первый и второй дифференциалы функции |
||
|
z = sin(x2 + y2 ) |
в точке (0; 0). |
|
4. |
Найти градиент |
функции z = x ln(x + y) |
и его модуль в |
|
точке М(-1;2) |
|
|
5. |
Найти |
экстремумы |
функции |
z=8xy −200 y −200x +6x2 +6 y2 + 2
6.Найти экстремумы функции z = xy , если 2x +3y −5 = 0 .
7. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
z = x2 + y2 |
в области |
D, |
задаваемой |
неравенствами |
x2 + y2 =1; x ≥ 0 ; y ≥ 0 . |
|
|
||
8. Доказать |
выпуклость |
функции |
||
f = 24xy +18xz +84 yz +3ex |
+ 4ez |
+37x2 +53y2 +117z2 |
||
4
|
|
|
|
|
Вариант 3 |
|
|
|
||
1. |
Найти |
область |
определения |
|
функции |
|||||
|
z = arcsin |
x |
+arcsin(1− y). |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
||
2. |
Найти линии |
уровня |
функции z = x −ln (y +1)2 . |
Сделать |
||||||
|
чертеж. Привести пример другой функции с такими же |
|||||||||
|
линиями уровня. Чему равна производная функции в точке в |
|||||||||
|
направлении линии уровня в этой точке? |
|
|
|
||||||
3. |
Найти первый и второй дифференциалы функции |
|
||||||||
|
z = x sin 2 y |
в точке (1; 0). |
|
|
|
|||||
4. |
Вычислить производную функции z = |
x |
в |
точке М(1;1) по |
||||||
y |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
→ |
|
|
|
y = 2x |
−1. |
||
|
направлению l |
– перпендикуляра к прямой |
||||||||
5. Найти экстремумы функции z = xy 1− 491 y2 − 19 x2
6. |
Найти |
условный |
экстремум |
функции |
z = x − y, если |
|
|
x2 + y2 =1. |
|
|
|
|
|
7. |
Найти |
наибольшее и |
наименьшее |
значение функции |
||
|
z = x3 + y2 в |
области |
D, |
задаваемой неравенством |
||
|
x2 + y 2 ≤1. |
|
|
|
|
|
8. |
Доказать |
выпуклость |
функции |
|||
f =108xz −48xy +70 yz +ex +3ez +72x2 +65y2 +106z2
5
|
|
|
|
Вариант 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Найти область определения функции z = arcsin |
y |
. |
|
|
||||||||||
x |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
Найти |
линии уровня |
функции |
z = x −(y − 4)2 . Сделать |
|||||||||||
|
чертеж. Привести пример другой функции с такими же |
||||||||||||||
|
линиями уровня. Чему равна производная функции в точке в |
||||||||||||||
|
направлении линии уровня в этой точке? |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. |
Найти |
первый |
и |
второй |
дифференциалы |
|
функции |
||||||||
|
z = ln(x +ey ) |
в точке (1;0) |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
Найти производную функции |
z = |
x2 |
+ |
y2 |
+ |
z2 |
+ |
t2 |
в точке |
|||||
9 |
6 |
4 |
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
M(1, −1,1,2) по направлению вектора |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
OM , где O – начало |
||||||||||||||
координат.
5.Найти экстремумы функции z = 4x +8y +3
x2 + y2 +1
6. |
Найти |
экстремумы |
функции z = 2x + y при |
условии |
|
x2 + y2 = 5 . |
|
|
|
7. |
Найти |
наибольшее |
и наименьшее значения |
функции |
|
z = x2 +3y2 + x − y в треугольнике, ограниченном прямыми |
|||
|
x =1, y =1, x + y =1 . |
|
|
|
8. |
Доказать |
выпуклость |
функции |
|
f = 60 yz −16xz −64 yx +ez +80x2 +89 y2 +37z2
6
Вариант 5
1. |
Найти область определения функцииz = |
1 |
|
|||||
x2 + y2 −1. |
||||||||
2. |
Найти линии уровня функции |
z = sin (2x +5)− y . |
Сделать |
|||||
|
чертеж. Привести пример другой функции с такими же |
|||||||
|
линиями уровня. Чему равна производная функции в точке в |
|||||||
|
направлении линии уровня в этой точке? |
|
|
|||||
3. Найти первый и второй дифференциалы функции |
|
|||||||
|
z = e3x −2 y в точке 1; |
3 . |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4. |
Вычислить |
производную |
функции |
z = 5x4 −3x − y −1 в |
||||
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
точке М(2; -1) в направлении вектора MN , где N(5; 5). |
|||||||
5. |
Найти экстремумы функции z = x2 −8ln y −98ln x + y2 |
|||||||
6. Найти экстремумы функции z |
= xy |
2 |
, при условии, что |
|||||
|
x +2y = 4. |
|
|
|
|
|
|
|
7. Найти |
наибольшее и |
наименьшее |
значение |
функции |
||||
|
z=x−2y+5 |
в области, |
задаваемой |
неравенствами x ≥ 0; |
||||
|
y ≥ 0; |
x + y ≤1. |
|
|
|
|
|
|
8. |
Доказать |
выпуклость |
|
|
функции |
|||
|
f = 70xz −72xy +6 yz +ex +ey + 41x2 +82 y2 +58z2 |
|
||||||
7
|
|
|
|
|
Вариант 6 |
|
|
1. |
Найти область определения функции z = |
1− x2 + |
y2 −1. |
||||
2. |
Найти линии уровня функции z = ln (x + 4)2 −(y +1). Сделать |
||||||
|
чертеж. Привести пример другой функции с такими же |
||||||
|
линиями уровня. Чему равна производная функции в точке в |
||||||
|
направлении линии уровня в этой точке? |
|
|
||||
3. |
Найти первый и второй дифференциалы функции |
|
|||||
|
z = arctg |
x |
в точке (1; 0). |
|
|
||
|
y |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Вычислить производную функции z = 3x4 − xy + y3 в точке |
||||||
|
А(3; 1) в направлении, составляющем с осью OX угол 60O . |
||||||
5. |
Найти |
|
|
|
экстремумы |
|
функции |
|
z =1−122 y −10xy −6x2 −6 y2 −120x |
|
|
||||
6. |
Найти |
условный экстремум функции |
z = x − y −4 , если |
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x2 + y2 =1. |
|
|
|
|||
7. |
Найти |
наибольшее |
и наименьшее |
значение |
функции |
||
|
z = y2 + 4x2 на круге |
x2 + y2 ≤1. |
|
|
|||
8. |
Доказать |
|
выпуклость |
|
функции |
||
f = 48xz −18xy +8yz +5ey + 2ez +10x2 +82 y2 +80z2
8
Вариант 7
1. Найти область определения функцииz = log2 (x(y + 2)).
2. Найти линии уровня функции z = (x + 4)y . Сделать чертеж.
Привести пример другой функции с такими же линиями уровня. Чему равна производная функции в точке в направлении линии уровня в этой точке?
3.Найти первый и второй дифференциалы функции z = x2 e y в точке (2; 0).
4.Найти производную функции z =2x2 +3xy+y2 в точке А(2;1)
|
по направлению вектора l |
= ( 3 ; − 4 ). |
|
|||||
5. |
Найти |
|
экстремумы |
функции |
||||
|
|
z = 4xy −72 y −72x + 4x2 + 4 y2 + 2 |
|
|||||
6. |
Найти |
условный экстремум |
функции |
z = x2 + y2 , если |
||||
|
|
x |
+ y =1. |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
7. |
Найти |
наибольшее |
и |
наименьшее значение функции |
||||
|
|
z = x2 + y2 −9xy +27, |
на |
множестве |
где 0 ≤ x ≤ 3 и |
|||
|
0 ≤ y ≤ 3. |
|
|
|
|
|||
8. |
Доказать |
выпуклость |
функции |
|||||
f =14xz −30xy +32 yz + 4ey +58x2 + 29 y2 +65z2
9
|
Вариант 8 |
|
|
|
1. |
Найти область определения функцииz = log3 x + log3 y. |
|||
2. |
Найти линии уровня функции z = |
3x + 4 |
. Сделать чертеж. |
|
2 y +5 |
||||
|
|
|
||
Привести пример другой функции с такими же линиями уровня. Чему равна производная функции в точке в направлении линии уровня в этой точке?
3.Найти первый и второй дифференциалы функции z = y2 sin x
в точке (0; 4).
4. . Найти производную функции z = x2 − xy + y2 в точке М(1;1)
по направлению вектора l = (6;8).
5. |
Найти экстремумы функции z = xy 1− |
1 |
y2 |
− |
1 |
|
x2 |
||||
64 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
81 |
|
|
|
|||
6. |
Найти |
условный |
экстремум функции |
z = |
x |
|
+ y , если |
||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
x2 + y2 =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Найти |
наибольшее |
и наименьшее |
значение |
функции |
||||||
|
z = x2 +3y2 + x −12 y в треугольнике, ограниченном прямыми |
||||||||||
|
x = 4; y = 3; x + y = 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. |
Доказать |
выпуклость |
|
|
|
|
|
|
|
функции |
|
f = 2ez −40xz −42 yz +5ex −36xy + 29x2 +90 y2 +65z2
10